【原】球泡動(dòng)力學(xué)(1)

Seisman 2020-07-11

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地震地?zé)嵴f原理：知識(shí)庫9

球泡動(dòng)力學(xué)(1)

本文節(jié)譯自《CAVITATION AND BUBBLE DYNAMICS》by Christopher Earls Brennen ? Oxford University Press 1995。此書從網(wǎng)上免費(fèi)下載。作者只節(jié)譯自己所需章節(jié)，用作公益性科學(xué)研究的基礎(chǔ)資料，非商業(yè)用途。作者不懂節(jié)譯是否涉及版權(quán)問題。如有不當(dāng)，請(qǐng)專家們指正。謝謝本書的原作者，也謝謝張宇寧先生的推薦。 Seisman 2011.8.6 記

2 球泡動(dòng)力學(xué)

2.1 前言

在討論了泡沫的初步形成之后，現(xiàn)在我們繼續(xù)探討隨之而來的泡沫生長(zhǎng)與潰滅的動(dòng)力學(xué)問題。首先我們來考察在一個(gè)無限液體內(nèi)遠(yuǎn)離其它泡而且遠(yuǎn)處具有均勻溫度的單個(gè)空泡的行為。這種球面對(duì)稱的情況提供了一種簡(jiǎn)單的情況來分析和揭示一些重要的現(xiàn)象。固體邊界附近的類似問題將在隨后的章節(jié)中討論。

2.2 RAYLEIGH—PLESSET方程

設(shè)有一半徑為 R(t) 的空泡（t 為時(shí)間）位于無限液體內(nèi)，離它無窮遠(yuǎn)處溫度和壓力分別為 T_∞和 p_∞(t)。溫度 T_∞是假設(shè)一個(gè)簡(jiǎn)單恒定的情形，將溫度梯度先驗(yàn)性排除，只考慮均勻加熱而不采用內(nèi)置熱源或者光照加熱。另外，是假設(shè)一個(gè)已知的（或者是可控的）輸入以調(diào)節(jié)空泡的生長(zhǎng)或潰滅。

雖然液體的可壓縮性在空泡潰滅時(shí)是很重要的，但現(xiàn)在我們假設(shè)液體的密度ρ_L是一個(gè)常數(shù)。此外，動(dòng)態(tài)粘度·L 假定是常數(shù)而且是均勻的。還要假定空泡的內(nèi)含是均勻的，泡內(nèi)的溫度 T_B(t) 和壓力 P_B(t) 始終是均一的。這些假設(shè)在分析鑒別結(jié)果的情況下是不變的。

圖2.1 無限液體中的球泡原理示意圖

空泡的半徑 R(t) 是一個(gè)主要的分析結(jié)果。如圖2.1所示，液體中空泡的徑向位置用從空泡中心起的距離 r 表示，液體中的壓力為 p(r,t)，向外的徑向速度為 u (r,t)，溫度為 T(r,t)。質(zhì)量守恒要求

U(r,t) = F(t) / r² (2.1)

式中 F(t) 為空泡表面根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)邊界條件而與 R(t) 有關(guān)的量。在穿過界面質(zhì)量為 0 的理想情況下，顯然 u (r,t) = dR/dt，因此

(2.2)

但是，這往往是一個(gè)很好的近似，即使蒸發(fā)或冷凝是在界面上發(fā)生。為了證明這一點(diǎn)，考慮一個(gè)蒸汽泡。產(chǎn)生蒸汽的容積率必須等于空泡大小增加的速度 4πR²dR/dt，因此，蒸發(fā)的質(zhì)量率必須等于 ρV(TB)4πR²dR/dt。這里的 ρV(T_B) 為溫度 T_B下飽和蒸氣的密度。反過來說，這必須等于向界面內(nèi)流動(dòng)的液體質(zhì)量，因此相對(duì)界面的液體向內(nèi)的速度為 ρV(T_B)(dR /dT)/ρ_L。故有

(2.3)

和

(2.4)

在許多實(shí)際情況下 ρV(T_B)<<ρ_L，因此公式2.2的近似形式可能就足夠了。為了清楚起見，我們將繼續(xù)用到公式2.2的近似形式。

假設(shè)一個(gè)牛頓液體，在 r 方向運(yùn)動(dòng)的Navier - Stokes方程為

(2.5)

用 u = F(t)/r²替代 u，則有

(2.6)

需要注意的是，這里粘性項(xiàng)消失了。事實(shí)上，粘性貢獻(xiàn)只在 Rayleigh – Plesset 方程2.10的空泡表面動(dòng)態(tài)邊界條件下起作用。因此，當(dāng)在r→∞而P→P_∞的條件下，式2.6可整合為

(2.7)

要完成這部分的分析，必須構(gòu)造氣泡表面上的動(dòng)態(tài)邊界條件。為此，設(shè)有一體積可控的小氣泡，氣泡表面無限地薄，如圖2.2所示。在此薄層徑向向外方向的單位面積的凈力為

(2.8)

或者，因?yàn)?/span> σ_rr= -p+2·L?u/?r，則單位面積的力為

(2.9)

在沒有通過邊界的質(zhì)量交換（蒸發(fā)或冷凝）的情況下，這股力必為零，從（文獻(xiàn){BE7}）方程用 F = R²dR/dt 替代（P）_{r = R} 的值即得到廣義的 Rayleigh-Plesset 空泡動(dòng)力學(xué)方程：

(2.10)

給定p_∞（t），這代表由P_B（t）求解R（t）的方程是已知的。在沒有表面張力和黏性項(xiàng)的情況下，第一個(gè)得到和運(yùn)用方程的人是瑞利（Rayleigh 1917）。Plesset（1949）第一個(gè)采用方程來解決空化氣泡的問題。

圖2.2 球泡表面的一部分

2.3 空泡的內(nèi)容

除了 Rayleigh – Plesset 方程之外，考慮到空泡的內(nèi)容是必要的。假設(shè)空泡內(nèi)含有相當(dāng)數(shù)量的雜質(zhì)氣體，這是很普遍的，在某種設(shè)定大小為 R₀時(shí)其分壓為 P_Go，溫度為 T_∞，則如果沒有明顯的傳質(zhì)，氣體或液體進(jìn)出，它遵循

(2.11)

在某些情況下這最后的一個(gè)假設(shè)是沒有道理的，而且有必要使用下一節(jié)中用于熱擴(kuò)散問題的類似方式來解決液體中的質(zhì)量交換問題（參見第2.6節(jié)）。

仍然限定 T_B（t）。這并非總是必要的，因?yàn)樵谀承l件下的未知T_B和已知的T_∞之間的差異是可以忽略不計(jì)的。但也有些情況下溫差（T_B（t）- T_∞）是重要的，是這種差異控制的空泡動(dòng)力學(xué)所造成的效應(yīng)。顯然，溫差（T_B（t）- T_∞）導(dǎo)致不同的蒸氣壓 P_V（T_B）會(huì)比沒有這種熱效應(yīng)的情況下要大，從而改變空泡的生長(zhǎng)率或潰滅率。因此，將公式2.11代入到2.10，從而寫成 Rayleigh – Plesset 方程的一般形式：

(2.12)

第一項(xiàng)（1），是遠(yuǎn)離空泡的條件確定的瞬間張力或驅(qū)動(dòng)項(xiàng)。第二項(xiàng)（2），被稱為熱力項(xiàng)，將會(huì)看到非常不同的空泡動(dòng)力學(xué)取決于這一項(xiàng)的大小。當(dāng)溫差很小時(shí)，可以很方便地利用泰勒展開，僅保留其中的一階導(dǎo)數(shù)，得

(2.13)

式中 A 值可按 Clausius-Clapeyron 關(guān)系取為

(2.14)

這與泰勒展開近似在已知溫度 T_∞下評(píng)估的 ρ_V和 L 是一致的。因此，對(duì)于微小的溫度差異，公式2.12中的（2）是由 A（T_B - T_∞）給定的。

空泡溫度 T_B偏離遠(yuǎn)處液體溫度 T_∞的大小，可以大大影響到空泡動(dòng)力學(xué)，因此有必要討論如何評(píng)估這種偏離。（T_B- T_∞）的測(cè)定方法需要兩個(gè)步驟。首先，它要求求解熱擴(kuò)散方程

(2.15)

以確定液體內(nèi)的溫度分布 T（r，t）。式中 αL 是液體的熱擴(kuò)散率。其次，它需要該空泡的能量平衡。液體提供給邊界面的熱量為

(2.16)

式中 k_L是液體的導(dǎo)熱系數(shù)。假設(shè)，所有這一切都是用于液體的汽化（這忽視的熱量用于加熱或冷卻現(xiàn)有的空泡內(nèi)容，這是在許多情況下可以忽略不計(jì)的），我們可以評(píng)估蒸汽產(chǎn)生的質(zhì)量速度和與之相關(guān)的空泡體積增加的速率。于是生成

(2.17)

式中的 k_L、ρ_V、L 可在 T=T_B時(shí)求得。然而，如果 T_B-T_∞很小，則可以像早先說過的在 T=T_∞下估值一樣作線性估計(jì)。

現(xiàn)在，熱效應(yīng)問題的性質(zhì)已經(jīng)很清楚了。熱的 Rayleigh – Plesset 方程2.12中的熱力項(xiàng)需要（T_B（t）- T_∞）和 R（t）之間的關(guān)系。能量平衡方程2.17生成了（?T /?R）_{r = R} 和R（t）之間的關(guān)系。（?T /?R）_{r = R} 和（T_B（t）- T_∞）的最后關(guān)系需要求解熱擴(kuò)散方程。這是最后一步，但有相當(dāng)大的難度，因?yàn)闊釘U(kuò)散方程明顯是非線性的，沒有確切的解析解的存在。然而，Plesset和Zwick（1952）的解決方案提供了多種用途有用的近似值。這個(gè)解決方案只限于在熱邊界層的厚度 δ_T 與空泡半徑相比是很小的情況，大致可用下式判定