鄒生書——2020年高考全國一卷第20題直線過定點問題的 簡證與變式 拓展與背景

2020年高考全國一卷第20題直線過定點

問題的簡證與變式   拓展與背景

湖北省陽新縣高級中學      鄒生書 

1.試題簡解

20.已知A,B分別為橢圓E:x²/a²+y²=1(a>1)的左、右頂點，G為E的上頂點，向量AG與向量GB的數量積為8，P為直線x=6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D.

(1)求橢圓E的方程；

(2)證明直線CD過定點。

（2）由對稱性知，若直線CD過定點，則定點必在X軸上,且在線段AB上。

當點P在x軸上時，線段CD與線段BA重合。

當點P不在x軸上時，依題意直線PA,PB不垂直于x軸，故可設直線PA的方程為x=my-3（m≠0），將其代入橢圓方程整理得

由對稱性知，若直線CD過定點，則定點必在x軸上。設動直線CD與x軸的交點為M(t,0),則只需證明t為定值即可。

當點P在x軸上時，線段CD與線段BA重合，顯然過定點M.

故直線CD恒過定點（3/2,0)

2.試題變式

變式題：已知A,B分別為橢圓E:x²/a²+y²=1(a>1)的左、右頂點，G為E的上頂點，向量AG與向量GB的數量積為8，過點M(3/2,0)的動直線CD與橢圓分別相交于C,D兩點.

(1)求橢圓E的方程；

(2)證明直線AC與BD的交點在一條定直線上。

評注：變式題是高考題的逆向探究問題，所得結論是高考題的逆命題。無獨有偶，編者發表于《河北理科教學研究》2012年第6期的文章《先猜后證破解圓錐曲線“三定”探索題》中的“先猜后證破定線”例3如出一轍，原題如下：

例3：已知橢圓C的離心率e=√3/2，長軸的左右端點分別為A₁(-2,0),A₂(2,0).

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)設直線x=my+1與橢圓C交于P,Q兩點, 直線A₁P與A₂Q交于點S，試問：當m變化時，點S是否恒在一條定直線上？若是，請寫出這條直線方程，并證明你的結論；若不是，請說明理由。

3.試題背景與結論拓展

評注：直線AC與BD的交點在定直線x=6上.上面試題與變式題中的點M(1.5,0)與直線x=6,恰好是已知橢圓的一對極點與極線，這就是這道高考題的命題背景。

綜合歸納上述高考試題與變式，可得橢圓有如下更一般性結論：

性質：已知A,B分別為橢圓E:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的左、右頂點，點M(t,0)（t≠0）和直線l:x=a²/t是橢圓的一對極點與極線。

（1）若點P是極線l上一動點，直線PA與E的另一交點為C，直線PB與E的另一交點為D，則直線CD恒過極點M。

(2)若過極點M的直線與橢圓分別相交于C,D兩點，則直線AC與BD的交點在極線l上。

4.下附圓錐曲線極點和極線的定義與幾何意義

4.1.圓錐曲線極點和極線的定義

4.2.圓錐曲線的極點和極線的幾何意義

定理：已知點P和直線L是圓錐曲線C的一對極點和極線。則

（1）若極點P在曲線C上，則極線L就是曲線C在點P處的切線；

（2）若過極點P可作曲線C的兩條切線,M,N為切點，則極線L就是直線MN；

（3）若過極點P的直線與曲線C相交于M,N兩點，則曲線C在M,N兩點處的兩

條切線的交點Q在極線L上；

（4）若過極線L上一點Q可作C的兩條切線,M,N為切點，則直線MN必過極點P.