【原】好文薦讀 | 傅種孫幾何作圖思想探析——紀念傅種孫先生誕辰120周年

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傅種孫幾何作圖思想探析

?——紀念傅種孫先生誕辰120周年

?張彩云，代欽(內蒙古師范大學)

摘要：傅種孫是我國上世紀著名的數學家和數學教育家，畢生致力于我國數學和數學教育事業，被學界譽為數學教育的一代宗師和中國現代數學教育的先驅。他是將數理邏輯和西方數學基礎研究引入中國的第一個數學家。他的數學教育思想和數學方法論是豐富而又博大精深的。他的《初級混合數學》、《高中平面幾何》、《幾何基礎研究》、《作圖漫談》等著作中所蘊含的幾何作圖教育思想對今天的幾何課程改革、中學數學教材編寫和數學教師教育具有一定的啟示和借鑒作用。

關鍵詞：傅種孫；幾何作圖思想；初級混合數學；高中平面幾何；幾何基礎研究；作圖漫談

1 傅種孫生平及主要貢獻

傅種孫(1898-1962)，字仲嘉，于1898年2月27日出生于江西省高安縣朱湖村，是我國上世紀著名的數學家和數學教育家。他從小讀書聰慧刻苦、思維敏捷，在5個孩子中獨受父親傅元弼(清末秀才)重視，其父在病逝前曾留遺囑：“不要使種孫輟學，他大可造就”。傅種孫在讀中學時數學成績已很突出，尤其酷愛幾何，幾何題做得多，老師幾乎找不到題目給他練習了，在南昌二中時寫的軌跡論文曾留校展覽多年。1916年被北京高等師范學院(國立北平師范學校前身，以下簡稱北高師)數理部錄取。在北高師一年級的立體幾何課上曾反駁老師關于“斜圓柱的側面展開是平行四邊形”的講解，當場用報紙制成一個斜圓柱側面后，沿母線把紙展開并指著其波形邊沿說：“請看，這能是平行四邊形嗎？”師生不禁佩服他的反應快和想得深。他是《數理雜志》主要創始人之一。他先后在該雜志上發表幾何、代數等方面的論文和譯文16篇。他的論文《大衍(求一術)》用近代數學研究中國古算的創舉影響很大，中算史專家李儼先生曾說：“我看了傅先生的《大衍(求一術)》一文后，對中國古算發生了興趣，決心把中國數學史整理出來。”[參見：傅章秀.熱愛教育事業的數學家——傅種孫先生[J].數學通報，1991(6)：2.]1920年7月北高師畢業，被留其附中任教。于1922年在國內率先翻譯出版了羅素(B·Russell，1872-1970)的《羅素算學哲理》(Introduction to Mathematical Philosophy)，又于1924年翻譯出版了德國著名數學家D.希爾伯特(David Hilbert，1862-1943)的名著《幾何原理》(The Foundations of Geometry，今譯《幾何基礎》)。抗戰前兼任過北京大學、輔仁大學、北平大學女子文理學院教授；流亡時在陜西城固停留期間曾任西安臨時大學、西北聯合大學和西北大學教授；抗戰勝利后，赴英國牛津大學、劍橋大學考察兩年。1947年11月回國，任國立北平師范學校(今北京師范大學前身)教授，直至1962年1月18日去世，一直未脫離一線教學，有很多全國知名的學者都曾受教于他，如錢學森院士、段學復院士、閔嗣鶴、熊全淹、魏庚人、趙慈庚、金保赤、張元達、袁兆鼎等，并深受其影響。錢學森院士曾回憶說：“聽傅老師(種孫)講幾何課，使我第一次懂得了什么是嚴謹科學。”[參見：祁淑英，魏根發.錢學森[M].石家莊：花山文藝出版社，1997：15.]在美國學習時，錢學森的導師馮·卡門(Von Karmann)曾稱贊他的科學基礎好，而他本人則認為得益于從傅種孫老師那里學會了嚴密的數學方法。還有，在段學復院士的傳中說：“在傅種孫先生等的影響下，段學復對數學產生了濃厚的興趣。”[參見：程民德等.中國現代數學家傳(第二卷)[M].南京：江蘇教育出版社，1995：228.]更有，熊全淹教授的傳中說：“提到老師，熊全淹認為，他的業師中，影響他最大的有兩位。一位是中學時的老師，傅種孫教授。他為人正直，剛正不阿，學問淵博，深受學生愛戴。熊全淹選學數學，與傅先生之關懷與誘導有很大關系。”[參見：程民德等.中國現代數學家傳(第一卷)[M].南京：江蘇教育出版社，1995：168.]傅種孫先生學術與經驗了然于胸，講授之中輒有深見，即使在抗戰后方講學的四五年間亦譽冠當時，成為西北地區的名教授。[參見：趙慈庚.傅種孫先生的教育思想[J].數學通報，1997(8)：1.]傅種孫先生是民國時期中國數學教育的領袖人物。[參見：張奠宙.中國數學教育拒絕實用主義——從徐光啟、傅種孫到姜伯駒[J].教育科學研究，2014(12)：5-9.]被張英伯教授譽為中國數理邏輯與數學基礎研究的先驅、我國現代數學教育的先驅和最出色的數學老師。[參見：張英伯.傅種孫——中國現代數學教育的先驅[J].數學通報，2008，47(1)：8-10.]他居高聲遠，影響很大，不愧為數學教育的一代宗師。[參見：王光明，楊世明，周學智.傅種孫關于“中學數學基礎”的思想初探[J].數學通報，2003(3)：3-5.]傅種孫先生雖然未能像弗賴登塔爾那樣寫出數學教育專著，但是凝聚了他數學教育思想的著作如《初級混合數學》、《高中平面幾何教科書》(1982年改稱《平面幾何教本》，以下簡稱《高中平面幾何》)、《初等幾何研究》(原名為《初等數學研究》)等都獨具匠心、特色鮮明，在當時的教育界影響頗大。在1998年北京師范大學數學系紀念傅種孫先生誕辰100周年的座談會上，主持人劉紹學教授在致辭中說：“中國的傅種孫，德國的F.Klein(1849-1925)，美國的G.Polya(1887-1985)，都同樣得到我們的敬仰和熱愛。”[參見：傅種孫.傅種孫教育文選[M].北京：人民教育出版社，2005：代序9-10.]可見學界對傅種孫數學和數學教育研究工作的認可和肯定。截止目前，從宏觀研究的角度而言，對傅種孫先生教育思想研究的碩果累累，如：“教不嚴，師之惰”的為學生服務的原則，修業與進德并行的育人宗旨，“賣米賣糠說”所體現的唯物主義人才觀，極度認真、嚴于律己、勇于任事、剛直不阿、憂國惜才的治學之道，修根固本、正源清流的遠見卓識，等等，對我國數學教育的發展起到了積極的促進作用；但從微觀研究角度的看，對他的幾何作圖思想至今沒有深入的涉獵。幾何作圖是傅種孫先生初等數學研究工作中重要的一部分，他在幾何作圖方面有開創性的工作。在他的著作《初級混合數學》、《高中平面幾何》和《幾何基礎研究》中都有作圖的章節進行闡述。此外，還有一個《作圖漫談》的講題，專門講述幾何作圖。它們是傅種孫大部分知識和智慧的結晶，本文主要結合如上著作來闡述他的幾何作圖思想。

?2 傅種孫的幾何作圖思想

傅種孫的幾何作圖思想是滲透在他的初等數學研究和教育工作中的，實實在在的有兩件事：一是編寫《初級混合數學》和《高中平面幾何》教科書；二是開展中學數學研究，從理論上和教法上進行分量輕重和深淺程度的分析后結合國內教育實況寫出若干專題，借師資培訓之機，深入淺出地講給教師聽。《幾何基礎研究》和《作圖漫談》便是他講題當中的主要內容和研究成果。傅種孫從高等數學的視角審視初等數學的基礎重要性，將數學的“高觀點”深入淺出得編入教材，有的介紹給學生，有的供教師和高材生研究參考，從而達到“以其昭昭，使人昭昭”的目的。[參見：楊之.傅種孫的數學教育思想(上)[J].中學數學教學參考，2000，(8)：4-6.]

2.1 傅種孫幾何作圖研究成果簡介

《初級混合數學》是1923年在北京高師附中率先進行學制改革實驗時為適應新學制下數學課程，由傅種孫和程廷熙編寫的一套教科書(共6冊，商務印書館，1923-1926)。這套書的特點是內容豐富，理論嚴密，語言準確，例題生動，并且將算術、代數、幾何、三角等知識混合編排進行聯絡教學，因此被當時很多學校選用。[參見：羅德建.傅種孫先生在北京師大附中[J].數學通報，2008，47(2)：11-20.]其中，除第四冊外都有幾何作圖的相關內容。

傅種孫先生的著作《高中平面幾何》給出了在中學階段數學課的嚴格化處理的一種模式和范本，這本書直到今天還有價值。[參見：孫永生.紀念傅種孫先生[J].數學通報，1999，(4)：1.]《高中平面幾何》于1933年初版，到1937年共印四版，每版都進行了修訂。該書理論體系完備，語言嚴謹，在當時盛行全國。在基本訓練方面也有獨到之處，如書中很多題目一開始就給出與之相關的圖形，有些題目甚至一題多圖。圖形的使用，在一定程度上幫助學生更好地理解問題，尋找解決問題的方法。[參見：陳婷，田麗娜，詹紫浪.傅種孫《高總平面幾何講義》之考察[J].數學教學研究，2012，31(8)：57.]全書共有七篇，第四篇專講作圖。

幾何基礎是傅先生用力最勤、宣講最多的數學科目之一。[參見：王世強.懷念傅種孫先生改革數學教育的幾點感想[J].數學通報，1998，(12)：2-4，24.]《幾何基礎研究》是傅種孫先生從教10多年，在了解了羅素和希爾伯特的數學工作后敏銳地洞見了它們的重要性和當時的數學趨勢，在汲取精髓的基礎上根據自己的教學、科研經驗感知到許多中學教師不善于把高等數學的理論和中學教材結合起來，而他認為師范院校的學生需要在這方面有所引導，所以于1930年前后在北高師開設了初等數學研究的課程，為此編寫的講義。《幾何基礎研究》有四部分組成，它們是總論篇(P1-P36)、幾何基礎篇(P37-P128)、作圖篇·上(P129-P262)和作圖篇·下(P263-P293)，作圖篇占了一半以上的篇幅。

《作圖漫談》[參見：傅種孫.傅種孫數學教育文選[M].北京：人民教育出版社，2005：147-155.]是傅種孫先生在1934-1944年間歷次在北平師大(西北師院前身)、西北師院(今西北師范大學前身)和陜西省舉辦的中學理科教員暑期講習會的講稿之一，它的小標題為“工具和賦予它們的全能”。

 傅種孫著作中幾何作圖的主要內容如表1所示：

表1 傅種孫著作中幾何作圖的主要內容

傅種孫對幾何作圖研究的成果是他幾何作圖思想的具體呈現和集中反映。其有如下特點：(1)幾何作圖是數學基礎中的必不可少的內容。無論是在他編寫的中學教科書中，還是大學講義中，甚至師資培訓的教材中，都有專門講解幾何作圖的章節；(2)幾何作圖的主要內容集中于作圖題與存在問題、作圖方法、作圖工具、正多邊形作圖和尺規作圖不能問題；(3)隨著接受對象的不同，其著作中所涉及幾何作圖的理論深淺亦不同。從初中—高中—大學—師資培訓，作圖也從基本作圖—正多邊形作圖—尺規作圖不能問題—探討作圖理論；(4)對于作圖方法，主要介紹了8種：如拼合法、造因法、三角形奠基法、遷移法、放大法、分析法與輔助線、代數分析法、軌跡交點法。并強調了造因法是其中最重要的方法；(5)對于作圖工具，談到了尺規作圖、直尺作圖、直尺及一、二無窮遠點作圖、直尺及遷線器作圖、直尺和一個有圓心的定圓作圖、直尺與銅圓作圖、圓規作圖；(6)對于正多邊形的作圖和尺規作圖不能問題有專門的、且深入的理論分析，用代數方法進行了能否作圖的一些代數性質充分條件的討論，正是這些知識的引導學習者對幾何作圖產生本質的認識和啟發，激發學習者更深的思考和探索。

2.2 傅種孫幾何作圖個案賞析

傅種孫在《高中平面幾何》的自序中說“幾何之務，不在知其然，而在知其所以然；不在知其所以然，而在何由以知其所以然？”[參見：傅種孫.高中平面幾何教科書(序)[M]北京：算學叢刻社，1933.]傅種孫對幾何作圖問題的研究就充分證明了這一點。從幾何作圖與存在問題之間的關系、作圖方法、作圖工具、正多邊形作圖、作圖不能問題，一步步闡述了幾何作圖的本質，幾何作圖的根據、限制及能否作圖的條件，并更進一步地進行代數方法的解析和證明。也許，只有這樣才算達到他所追求的“幾何之務”，不僅能做出符合某種條件的幾何圖形，還要知道它的作圖根據是什么，更要明白為什么會有如此限制，最終領會作圖的內涵。

對于作圖題與存在問題之間的關系，傅種孫認為幾何作圖是證實某種圖形存在與否的一種方法，如果符合某個條件的圖形可以作出，則證明該存在定理為真，即作圖題就是研究某種圖形是否存在的問題。如“兩點決定一條直線”本來是存在定理，而通常用來證明“該直線存在”的卻是通過作出此圖形(直線)。作圖題分“有解”、“無解”和“不能解”。“有解”則斷定所求作的圖形存在；“無解”則斷定所求作的圖形不存在；“不能解”既不能斷定所求作圖形存在也不能斷定它不存在。

對于作圖工具及其效能，傅種孫明確指出：初等幾何只講直線和圓。因此，它所采用的作圖工具也只限于直尺和圓規兩種。直尺，既直又長。圓規，腿長而且開閉靈活。它們有定線、作圓、求交點三種功能。即給出兩點，可以用直尺作出直線(見圖1)；給出任意點為圓心，任意長為半徑，可以用圓規畫出圓(見圖2)；對于應該相交的兩直線、兩圓或一直線和一圓，就可用直尺和圓規確定它們的交點(見圖3、4、5)。一道作圖題是否能尺規作圖解答，判斷的依據則是其能否通過有限次的以上五種基本作圖解決。另外，在《作圖漫談》中，他如是說：“工藝制造，土木建筑，各有工具。工具各有功能。工事的精粗，往往因所用工具而不同。成果的多少，又因我們賦予工具的權能大小而不同。幾何作圖也是這樣；成就的范圍如何，由所選的工具和賦予它們的權能來定。”在該篇中，他特別介紹了直尺作圖法、直尺及一、二無窮遠點作圖法、直尺及遷線器作圖法、直尺圓規作圖法、直尺和一個有圓心的定圓作圖法、直尺與銅圓作圖法、圓規作圖法。當然這些作圖法都有各自所遵循的一套公理體系，如此一來，幾何作圖的成就的多少便取決于所選的作圖工具和公理體系。

對于作圖的根據，傅種孫指出有三種：第一種是存在公理，如截割公理、平行公理、遷線公理、交圓公理等；第二種是存在定理，常用的有六個。如一條直線和一個多邊形，如果有一個公共點，只要它不是頂點，就一定還有第二個公共點；第三種是作圖成法，以有解的情形而論，給出了如下十種：1、以一條定線段作為一邊，作一個角使它符合于一個已知角；2、已知三邊(任何兩邊的和都大于第三邊)或兩邊和夾角或兩角和一邊(兩角之和小于二直角)或兩邊和其中一邊所對的角(角和兩邊有限制)，求作一三角形；3、過一定點作一直線垂直于一條定直線；4、過一定點作一直線平行于一定直線；5、平分一個角；6、平分一個弧；7、作線段的垂直平分線；8、把一個線段分為若干等份；9、作一三角形的內切圓、旁切圓和外接圓；10、作正方形、正三角形。就作圖成法，傅種孫強調，在作圖時沒有成法不許動手亦如證定理時沒有根據不能開口。

對于作圖的規范，傅種孫認為作圖題的解法應該按照五個步驟來敘述。第一步是設定，即羅列題中的設定件，一定要齊全；第二步是求作，即說明題中求作的圖形，要連帶說明它必須滿足的全部條件；第三步是作法，即敘述作圖的方法，其中是否添加輔助線等，動手的次序一定要記錄詳細明白；第四步是證明，即證明按照上述作法所得到的圖形正是所求作圖形。在“作法”的末尾有一句說“某圖形就是求作的”，而這句話是否正確是需要證明的；第五步是推究，即按照設定件的多少、位置以及相互關系對作圖題的有解、無解、能解、定解、不定解、一解、多解進行判定。如果能找到一個適用于設定件各種情形時的作法，應在“作法”中寫出，至于因情形有別的細節，則放到“推究”去討論；反之，按不同使用不同作法。

對于作圖方法，傅種孫認為“馭作圖題之方法”[參見：傅種孫.《幾何基礎研究》[M]北京：北京師范大學出版社，2001：143-204.]較淺易的有8種：拼合法、造因法、三角形奠基法、遷移法、放大法、軌跡交點法、反映法、代數分析法。此外，還有平移法、翻褶法、旋轉法、倒極法、嘗試法(二重點)。他還指出用拼合法時必須注意拼合時的先后次序；造因法是各法中最重的，分為兩步：第一步，選出一條學過的定理，使它的題斷與本作圖題的求作相吻合。第二步，設法作圖以實現該定理的題設，獲得題斷，達到求作的目的；旋轉法在解作圖題時有很多應用之處；軌跡交點法應用很廣，但須將軌跡了然于胸；思考探究幾何作圖方法雖多，但往往顧此失彼，或者常用的則熟練生巧而不常用的則拙劣生疏，而應用比較廣泛，并且最有準繩規矩可以遵循的，非代數分析法莫屬。諸種作圖法無論遵循哪種公理體系，但在正式作圖前都必須進行“分析”。步驟是：1繪出草圖，具備設定件和求作件；2添繪有重要關系的點、線等；3盡量考究圖中各件之大小、位置及相互關系，逐漸推斷并標識；4繼續增添次要之輔助線，直至問題解決。此種分析中的添加的輔助線對于正確而快速地的解題尤其重要，適時的添加輔助線因題不同而不同，也取決于學習者的眼光。另外還應特別注意作圖中交點的有、無、個數與作圖題有解、無解和解的個數的關系。

以上諸種見解在傅種孫的著作中都有具體而又詳細的論述。幾何作圖題有一個解并簡單者少，而復雜需要推究者多，下面選取其著作中“作圖規范”一節的例題如下，關于其幾何作圖工具及效能、作圖根據、作圖規范、作圖方法、交點與解的個數關系、添加輔助線等思想可見一斑。

2.3 傅種孫幾何作圖思想的特點

(1)強調對幾何作圖本質的認識

傅種孫強調幾何作圖是存在問題的變形，其依據為存在問題所本公理體系，就性質而言，幾何作圖是幾何事理的另一種表現形式，然其作圖依據依然是幾何事理。于是，他格外提醒學習者從概念上注意問題中所設的條件(包括所采用的公理體系及允許用的工具)，并要從認識上分清客觀的可能性與人們主觀能力大小的區別。他在《高中平面幾何》和《幾何基礎研究》中明確指出：“作圖題乃存在問題之變形。” [參見：傅種孫.高中平面幾何教科書[M]北京：算學叢刻社，1933：153.] “而存在問題之解決，胥視全部公理以為準據。” [參見：傅種孫.幾何基礎研究[M]北京：北京師范大學出版社，2001：130-131.]即符合某種條件的圖形是否存在，能否作出，決定于公理。他更生動的論述道：“Klein，數學泰斗也，授之以規矩不能為正七邊形。Hilbert，幾何巨臂也，挾其所謂遷線之器不能變矩形為正方。豈其才智之不如人，所本則不同耳”。[參見：傅種孫.幾何基礎研究(序2)[M]北京：北京師范大學出版社，2001：6.]對于非歐幾何，他也談到由于公理體系不同而出現的不同于歐氏幾何的現象。每門科學的發展史就是人類對于這門科學的認識過程。傅種孫強調學生的幾何學習亦不能過遠地脫離這個認識過程，從歐氏幾何誕生到當前的幾何，這一步的飛躍不是十幾歲的學生所能輕易接受的。而幾何作圖的各種變形可以靈活而直觀的示以公理的條件和工具限制的不同層次。數學的本質是三種關系，一種是數和數的關系，也就是代數關系，然后是圖形和圖形的關系，就是幾何關系，還有一種是隨機的關系，一部分表現在統計中，一部分在概率里。[參見：史寧中.《平面幾何》改造計劃[J].數學通報，2007，46(6)：1-3.]幾何作圖是探討“圖形和圖形關系”時必不可少的過程，而這也正是認識幾何公理體系的過程。如幾何學上的三大幾何作圖難題，在先輩們堅持不懈的探索中，清晰地認識了歐氏幾何公理體系的全貌，領會了尺規作圖的真諦，而且在突破作圖限制的大膽嘗試后有了新的發現和成果。傅種孫著述中的“正多邊形作圖”、“作圖不能問題”、“規矩作圖之根本意義”、“求作線段所能適合之方程”、“圓規直尺不可解之作圖題”等內容都是從幾何作圖的依據出發，用代數解析法闡述了尺規作圖的本質，以供學習者進入“何由以知其所以然”的境界。當然，對于幾何作圖問題的難易層次問題，傅種孫有著清晰的認識，對于幾何作圖的教學他有獨到的見解。傅種孫所編寫的初中、高中、大學及教師培訓的幾何教材中，幾何作圖不僅是必不可少的內容，且因為學段不同而有側重。

(2)注重幾何作圖對數學邏輯思維能力的培養

就作用而言，幾何作圖在訓練學生數學邏輯性和嚴密性方面很多時候大有裨益。在幾何作圖的過程中要經歷一系列的、復雜的邏輯思維過程，如解答幾何作圖問題中的“分析”、“討論”等過程，都是在學習者大腦中將幾何事實具體化的同時學習幾何事理，掌握幾何知識，領悟幾何精神，在潛移默化中培養和塑造學習者的數學邏輯性和嚴密性，進而探索更深的知識和人生哲理。正如前文錢學森院士所說：“聽傅老師講幾何課，使我第一次懂得了什么是嚴謹科學。”而且錢學森院士本人也認為其科學基礎得益于從傅老師那里學會了嚴密的數學方法。談到數學的邏輯性和嚴密性，歐幾里得的《幾何原本》是世界公認的，這主要源于它演繹推理的方法和其奉為金科玉律的尺規作圖。數學的邏輯性和嚴密性是統一的，簡單說就是在概念、判斷和推理的過程中把所有的可能性都考慮到并說明白。幾何作圖問題尤其能突出這一點，比如從分析題目的條件和結論，條件中包含哪些概念、定理和公理及它們之間的聯系，如何在此基礎上選擇合理優化的策略達到目的，然后體會對結論進行證明的必要性，討論如此作圖的正確性和可能性。傅種孫邏輯造詣精深，很多著述都能給讀者以思維方法的深刻啟迪。[參見：王樹銘.學習《平面幾何教本》推進數學思維方法的教學——紀念傅種孫先生百年誕辰[J].數學通報，1998，(1)：7-10.]如在《作圖漫談》中提到傅種孫在幾何課上看到學生拿銅圓代替圓規畫圓，于是出了這樣一個題目，讓他們研究“一個銅圓代替圓規，能否做直尺與圓規所能作的一切工作？”不僅引起同學們極大的興趣，讓他們在研究中認清作圖工具的條件限制，而且從中受到教育，養成嚴謹的數學習慣。當然，這不是他心血來潮，而是他對幾何作圖在培養學生嚴謹的邏輯思維能力的深刻認識和重視，讓學生在潛移默化中受到教育。也正是如此，他面對Malfatti[即：求作三圓互切，且各切于一定三角形之二邊.]問題，根據自己的經驗發現前人的著作中解的個數為32個或36個，在數目上都不對，太小。于是在1936年的整個寒假夜以繼日地寫、畫，在屋中四壁掛滿了圖，紙簍的廢紙每天倒出三四筐，右手食指外側因使用圓規磨出了老繭，終于得出了108個解，后又用整個暑假復查一遍無誤后才寫成論文《Malfatti問題之108解》，并在1936年8月的中國數學會上宣讀過，這是傅種孫開創性的成果，也是他“幾何追求”之下的必然結果。不難發現，幾何作圖已經成為傅種孫研究幾何問題時的必要手段和一種習慣，這與他處理幾何問題時內在的思維過程是密切相關的，幾何作圖的過程既是解題的過程亦是他研究幾何問題時的思考和探索過程。

3 結語

傅種孫所著教材中編排的幾何作圖內容分量輕重、深淺程度都是他精心設計，既聯系當時國外數學發展動態，又兼顧國內數學教育實況。每一個作圖問題既具體又博大精深，在不同層次的教材中講述亦深亦淺，尤其對于幾何作圖的真諦和意義的剖析，在代數分析法的解析之下，無論是學生還是教師通過學習和鉆研這些內容有助于更清楚地掌握幾何作圖背后的幾何公理，更直觀地認識 “亦欲進學者于有無能否之辨，而不以畫法技能自足耳”[參見：傅種孫.高中平面幾何教科書(序)[M]北京：算學叢刻社，1933.]，減少學習者在“作圖不能問題”上的徒勞。史寧中教授在他的《<平面幾何>改造計劃》中如是說：“平面幾何的教育價值何在？我以為除了公認的幾何證明外，就是培養幾何直觀能力了。”“幾乎所有幾何問題和證明都要借助圖形。一個人如果能夠借助圖形來思考問題，便稱這個人具有幾何直觀，這里所說的思考問題包括描述問題、探討本質、啟發思路、預測結果等等。”[參見：史寧中.《平面幾何》改造計劃[J].數學通報，2007，46(6)：1-3.]代欽教授在他的《作圖是幾何教育的根基》中談到圖有以下功能：其一是圖將具體事物進行抽象化，將復雜的事物進行簡單化，表示個別事物的普遍意義。其二是將抽象的思想事物進行形象化、直觀化，幫助人們易于把握抽象思想。圖在從具體到抽象、從抽象到具體之間起到橋梁作用，正如古希臘哲學家柏拉圖所說那樣數學是“把靈魂拖著離開變化世界進入實在世界的學問。”其三，作圖過程也許點燃創造的火花，激起靈感，引出問題，從而推動數學的健康發展。古希臘的“幾何作圖不能問題”的提出就是一個明證。[參見：代欽.作圖是幾何教育的根基——兼論清末民國時期幾何作圖教科書的發展[J].數學通報，2017，56(10)：1-7.]幾何問題雖屬千差萬別，但要按性質來區分，不外證明題和作圖題兩大類。給出圖形，證明它適合某種條件，這是證明題；給出條件，求作一圖使適合某種條件，這是作圖題。作圖之后，照例應有證明，證明題中也少不了作圖。這兩件事是互相聯系，互相啟發，原無先后之分的。[參見：王聯芳.關于幾何作圖的幾點意見[J].數學通報，1963(7)：14.]幾何作圖可以說貫穿和存在于一切初等幾何問題之中。

就今天的數學課標和教科書來看，其中與幾何作圖相關的要求和內容都不同往昔，在數學課堂上也有幾何畫板等軟件可以方便快捷地作圖，但有句老話說得好，“眼過千邊不如手過一遍”。只有教師和學生親自作圖，在一條線、一個圓以及相切、相交等過程中潛移默化地理解每一個動作的意義，才更有利于切身體會構圖的每一步操作所遵循的條件限制，揣摩其包含的幾何性質，理解尺規作圖的真諦，在此基礎上可借助幾何畫板等軟件，在作圖需要突破常規條件的限制時發揮其尺規不能作圖的優勢，探討幾何作圖的多種可能，提升其幾何學習能力，提高幾何學業水平。而中學數學教師對幾何作圖全面而深刻的認識和掌握亦有助于分析教材、把握重點和難點、利用幾何作圖的直觀性選取靈活多樣的教學方法，提高幾何教學的水平。面對長久以來一直存在的關于平面幾何的爭論，如平面幾何教學中弱化邏輯推理、為了減負過渡地刪減繁難破壞了幾何完整的體系，等等。從數學史和數學教育史的角度，是否可以從傅種孫的幾何作圖思想得到一些啟發，為今天的數學教育改革，教材編寫和中學數學教師教學提供一些幾何教育方面的借鑒和啟示，值得進一步探討。

參考文獻：

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