【原】【高考數學】解題能力提升, 每日一題：第634題，三角函數的題型講解三角函數的題型講解

典型例題分析1：

若α，β∈[﹣π/2，π/2]，且αsinα﹣βsinβ＞0，則下列關系式：

①α＞β；②α＜β；③α+β＞0；④α²＞β²；⑤α²≤β²

其中正確的序號是： ．

解：令f（x）=xsinx，x∈[﹣π/2，π/2]，

∵f（﹣x）=﹣x·sin（﹣x）=x·sinx=f（x），

∴f（x）=xsinx，x∈[﹣π/2，π/2]為偶函數．

又f′（x）=sinx+xcosx，

∴當x∈[0，π/2]，f′（x）＞0，

即f（x）=xsinx在x∈[0，π/2]單調遞增；

同理可證偶函數f（x）=xsinx在x∈[﹣π/2，0]單調遞減；

∴當0≤|β|＜|α|≤π/2時，f（α）＞f（β），

即αsinα﹣βsinβ＞0，反之也成立，

∴α²＞β²．

故答案為④．

考點分析：

三角函數線．

題干分析：

構造函數f（x）=xsinx，x∈[﹣π/2，π/2]，利用奇偶函數的定義可判斷其奇偶性，利用f′（x）=sinx+xcosx可判斷f（x）=xsinx，x∈[0，π/2]，與x∈[﹣π/2，0]上的單調性，從而可選出正確答案．

典型例題分析2：

已知函數f（x）=√3sin2x-cos2x的圖象在區間[0，a/3]和[2a，4π/3]上均單調遞增，則正數a的取值范圍是

A．[π/6，5π/12]

B． [5π/12，π]

C． [π/4，π]

D．[π/4，2π/3]

解：由函數f（x）=√3sin2x-cos2x=2sin（2x﹣π/6），

令-π/2+2kπ≤2x﹣π/6≤π/2+2kπ

得：-π/6+kπ≤x≤π/3+kπ，k∈Z．

當k=0時，可得增區間為[-π/6，π/3]，

∵在區間[0，a/3]和[2a，4π/3]上均單調遞增

則a/3≤π/3，

∴0＜a≤π．

當k=1時，可得增區間為[5π/6，4π/3]，

則2a≥5π/6，

∴a≥5π/12．

綜上可得：π≥a≥5π/12．

故選B

考點分析：

正弦函數的單調性；三角函數中的恒等變換應用．

題干分析：

求解出函數f（x）=√3sin2x-cos2x的單調增區間，根據在區間[0，a/3]和[2a，4π/3]上均單調遞增建立關系可得答案．