中考數(shù)學(xué)壓軸題分析：旋轉(zhuǎn)與三垂直

（2020·鄂爾多斯）（1）【操作發(fā)現(xiàn)】
如圖1，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．
①請(qǐng)按要求畫圖：將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B′，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C′．連接BB′；②在①中所畫圖形中，∠AB′B＝___°．
（2）【問(wèn)題解決】
如圖2，在Rt△ABC中，BC＝1，∠C＝90°，延長(zhǎng)CA到D，使CD＝1，將斜邊AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到AE，連接DE，求∠ADE的度數(shù)．
（3）【拓展延伸】
如圖3，在四邊形ABCD中，AE⊥BC，垂足為E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝1，CD＝3，AD＝kAB（k為常數(shù)），求BD的長(zhǎng)（用含k的式子表示）．

【分析】

題（1）①先確定AC旋轉(zhuǎn)后的位置，再確定點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后的位置即可，目測(cè)或者用三角板一對(duì)就出來(lái)了。
題（1）②易證△ABB′是等腰直角三角形，得到結(jié)論為45°。

題（2）先猜測(cè)∠ADE的大小，然后再證明。因?yàn)樾D(zhuǎn)90°，且∠C=90°，可以考慮構(gòu)造三垂直。過(guò)點(diǎn)E作EH⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于H．證明△ABC≌△EAH（AAS）即可解決問(wèn)題．

題（3）根據(jù)AE⊥BC，BE＝EC得AE為垂直平分線，那么AB＝AC，遇到“等長(zhǎng)共點(diǎn)”的兩線段，可以考慮利用旋轉(zhuǎn)進(jìn)行構(gòu)造輔助線求解。

將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ACG，連接DG．則BD＝CG，只要證明∠GDC＝90°，可得CG，由此即可解決問(wèn)題．
【答案】解：（1）①如圖1中，△AB′C′即為所求．

②由作圖可知，△ABB′是等腰直角三角形，
∴∠AB′B＝45°，
故答案為45．

（2）如圖2中，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于H．

∵∠C＝∠BAE＝∠H＝90°，
∴∠B+∠CAB＝90°，∠CAB+∠EAH＝90°，
∴∠B＝∠EAH，
∵AB＝AE，
∴△ABC≌△EAH（AAS），
∴BC＝AH，EH＝AC，
∵BC＝CD，
∴CD＝AH，
∴DH＝AC＝EH，
∴∠EDH＝45°，
∴∠ADE＝135°．

（3）如圖3中，連接AC，
∵AE⊥BC，BE＝EC，
∴AB＝AC，
將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ACG，連接DG．則BD＝CG，

∵∠BAD＝∠CAG，
∴∠BAC＝∠DAG，
∵AB＝AC，AD＝AG，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADG＝∠AGD，
∴△ABC∽△ADG，
∵AD＝kAB，
∴DG＝kBC＝2k，
∵∠BAE+∠ABC＝90°，∠BAE＝∠ADC，
∴∠ADG+∠ADC＝90°，
∴∠GDC＝90°，
∴CG．
∴BD＝CG．