 這本書的全名是：趣談概率——從擲骰子到阿爾法狗。這本書的作者張天蓉，是一位女士，美國德州奧斯丁大學理論物理博士，雖然她的知識淵博，但她出版的書籍都深入淺出，哪怕是小白也特別容易看懂。我將用兩周的時間，為大家領讀這本書。 概率論誕生于17世紀，源于一場賭博。發明概率論的法國的數學家帕斯卡，首先我們科普一下帕斯卡這個人。帕斯卡是一個神童，12歲的時候就發現了幾何學里邊的一個規律，三角形的三個角之和等于180度，如果你對數學有研究的就知道，這個正是在歐幾里得的《幾何原本》證明過的第32條定理。在16歲的時候，帕斯卡創作了論文《圓錐曲線專論》，證明了：圓錐內曲線內接六邊形，它的三對底邊延長線的交點，在一條直線上。這個就是帕斯卡定理。當時的專家學者感覺太不可思議了，是不是真的他證明的啊？甚至還懷疑是不是他父親代寫的？  除了對數學方面的成就，帕斯卡在物理領域也有很大的貢獻，他用水銀柱測量氣壓，水銀柱越高，說明氣壓越高。經過無數次實驗，證實了水銀柱的高度隨著海拔的高度減少。后人為了紀念帕斯卡，就把氣壓的單位用“帕”表示。說句題外話，我當年做軟件開發的時候，接觸過一門編程語言，是Pascal，也是以帕斯卡的名字命名的編程語言，由此可見帕斯卡在歷史上的地位多高。其實，這些都不是本書的重點，帕斯卡最偉大的地方，就是創立了概率論。概率論怎么誕生的呢？我們就從一場貴族的賭博游戲說起。 1 賭博中途退賽，如何分錢？當年有一位貴族，特別喜歡賭博，尤其是擲骰子的游戲。當然，他在玩的過程中，也會思考一些相關的數學問題。1654年，他向帕斯卡請教一個親身經歷的分錢問題。這個問題大概是這樣的：貴族約了一個賭友各自拿出10元出來對賭，誰先贏了就可以把20元全部拿走。他們怎么對賭呢？比如說是拋硬幣，拋到正面的就是貴族贏1分，反面的就是賭友贏1分，誰先拿到10分的，就贏得全部賭金。問題來了，當對賭進行到中途，貴族得到8分，而賭友也獲得7分的時候，貴族有點急事要出去處理，這場賭博就不能進行下去了，此時此刻，這20元應該怎么分？ 如果說，把這20元都物歸原主，那么貴族肯定不干，因為他都贏了8分，還有2分就勝利了；如果說就判貴族贏吧，那賭友肯定不干，他也贏了7分，雖然比貴族少了1分，但還沒到最后，誰說他一定會輸呢？如何分錢，才算是合理呢？ 前面得了多少分，這個已經是確定性的了，如何分錢是取決于后面得分的可能性，所以要重點關注后邊幾局，要是貴族再得2分，就贏得賭局；反之要是賭友再得3分，就是他贏。只要再比4次，就可以分出勝負。所以，帕斯卡所有可能發生的情況，都排列組合一遍，我們把貴族看作是甲方，而賭友看作是乙方，一共有16種情況，能夠讓甲方贏的有11種，而讓乙方贏的有5種。  這也就說明，貴族最終贏的勝利的概率是11/16，而賭友贏的概率是5/16，再把這個賭金重新乘以這個概率，我們可以得出；貴族應該拿回13.75元，而賭友拿回剩下的6.25元，問題解決了！ 2 真實的概率，可能跟我們的直覺大相徑庭在年初的時候，在某個小區做了全員核酸檢測，張三“幸運地”檢測出了陽性，這個結果把他嚇了一跳，到底張三有沒有中招呢？我不知道核酸檢測的準確率是多少，姑且假定為“1%的假陽性率，1%的假陰性率”，也就是說，本來是陽性，檢測出陰性的概率是1%，或者本來是陰性，檢測出陽性的概率是1%。那么，對于中招的人來說，99%真的是陽性，而沒有中招的人，也有可能1%是假陽性。所以，張三被拉去隔離了。 在隔離的時候，張三跟醫生交談，內心害怕得要命。他恰好遇到一個懂數學的醫生，告訴他：怕啥呢，這種好事沒這么容易輪到你！張三說：“不是啊，檢測出來的結果，不是99%的概率正確的嗎？”醫生笑了笑，說道：別忘了，真正被感染的人，也許1000個只有一個，所以你中招的概率，并不是99%。那么，到底是多少呢？ 我們從概率論去分析，因為核酸檢測的誤報率是1%，所以說在1000人里邊，有10個是誤報的，只有1個是真正的中招（真陽性只有1個）。所以，11個人里邊，只有1個是真正的陽性，所以張三中招的概率，不是99%，而是1/11=0.09%！這個過程怎么推算的呢？考慮到大多數人看公式不一定能看懂，你就記住這個答案可以了。總之，因為真正是有病的人概率很小的，哪怕它檢測出來99%準確，其實中招的概率也并不大。 如果說，核酸檢測離我們太遠，不足以說明真實的概率，跟我們的直覺有很大的差異，那么再看看我們常見的情況。比如說拋硬幣，要是你連續5次拋出的都是正面，那么你可以告訴我，第6次是正面還是反面呢？這也許就有兩種聲音：第一種，既然前面這么多次都是正面，那么還是正面也很合理啊；第二種，都已經出了這么多次正面了，下一次是不是應該來一次反面呢？但是，我想說的是，這兩個想法都是錯的！為什么呢？假如沒有前面5次拋硬幣的結果，你覺得是正面還是反面呢？這就不確定了！只要這個硬幣沒有做過手腳，每一次拋出正反兩面出現的概率，都是50%，跟上一次的結果并沒有任何關系。  只要拋硬幣的次數足夠多，正反兩面出現的概率，都會出現50%！問題來了，是不是我們可以認為，“風水輪流轉”呢？有很多人研究彩票的時候，都會很認真分析每一期開出的數字，試圖從中找到規律，比如說，某個冷門的數字好像很久沒有開過獎了，這一期會不會開它呢？但我想要說的是，研究彩票規律，都是妥妥的無用功！你可以認為，每一期數字出現的概率是相等的，但要多少期才會出現對等的情形呢？答案是——無窮大！你想要通過“風水輪流轉”來實現中獎的目標，你要么就是有無窮多的錢，要么就是有無窮大的壽命，而且彩票公司還不能破產。  古語有說“善有善報惡有惡報”，這句話正確嗎？如果單純是從古典概率來說，這絕對是扯淡。某個人做了好事，但并沒有記載下來，所以做了跟沒做，結果都是一樣的；同樣道理，一個人做了坑蒙拐騙的事情，只要沒有被人逮到，換了一個環境，同樣還是會得逞。做好事并沒有感動上天，做壞事也并沒有人會知曉，在這種情況下，其實并不成立。當然，現在是大數據的時代，你做過的事情，不論是好事或者壞事，都會記錄下來評判一個人，就需要用到貝葉斯定律，這個我們再下一篇會講到。 3 正態分布：印在鈔票上的函數圖形如果說，有一張鈔票，印有函數的圖像，你相信嗎？德國的10馬克鈔票，就印有高斯的頭像，以及他的偉大發明，正態分布的函數圖形，由此可見，正態分布的價值有多大。我們觀察一下這個函數圖像，中間大，兩邊小。這意味著什么呢？  我們還是拿拋硬幣的例子來說吧，假如你拋硬幣拋4次，會有多少次的正面呢？這就有16種組合，其中一個正面都沒有的，只有1種組合；全部都是正面的，也是只有1種組合；出現一個正面的，或者三個正面的，分別有4種組合；出現2個正面的情況最多，有6種組合。我們把這個組合圖形畫出來，是不是就是一個正態分布圖像，中間大，兩邊小？  說了這么多，到底正態分布跟我們生活有什么關系呢？其實關系大著呢！比如很多人吃自助餐，總想把人家的自助餐廳吃垮。到底能不能把人家的餐廳吃垮呢？為了簡化期間，我就只假設自助餐的價格是每個人88元，它是根據什么來定這個價格的呢？作為餐飲行業，保守估計，好歹也得賺一半吧，那它的成本是每個人44元這樣子。在配食材之前，它就會用到正態分布，中間的那個峰值就是44元，這就是一個均值，至少有68%的人，都在44元這個范圍內波動。你想要吃垮自助餐，就得吃得超過這個成本價。雖然說，偶爾會有幾個人能夠吃超這個成本，也頂多是在68%~95%這個范圍內波動。  也就是說，你想要吃垮自助餐，除非你的食量驚人，超過95%以上的人，要不然吃垮只是一個傳說。你能確定自己的食量這么拔尖嗎？哪怕偶爾有這么幾個像你這樣有256G的胃口，但畢竟占5%左右，對于自助餐廳而言，根本是無傷大雅。 從另一個方面看，自助餐廳的定價也是很講究的，如何能夠實現盈利呢？最重要的，就是人多，畢竟食材的成本都是固定的，越多人來付餐費，錢就賺得越多。所以，他們價格不能定得太高，因為太高的話，來就餐的人就少了；如果說定價低了呢，跟這個平均食量不匹配，那真的就會有大量的大胃王涌入，這回真的是會被吃垮的。所以說，要是你做自助餐的老板，也得好好琢磨一下正態分布的模型。 好了，今天我們就先聊到這里，主要是談論了相互獨立的概率；但是，每一件事情往往是有關聯的，這就要用到貝葉斯定理。關于這個話題，我們下一篇再談。我是@狂人先生，我們下一篇不見不散！ |
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