【原】從三角函數(shù)開始Ⅰ——傅里葉級數(shù)

曲線總是給人一種動感的美……

傅里葉變換是一種重要的方法。它不但能用于解決數(shù)學(xué)問題，還是力學(xué)、聲學(xué)、電子學(xué)及信號分析等領(lǐng)域中描述許多重要物理現(xiàn)象的基礎(chǔ)。之后的一系列文章中，我們將對傅里葉變換及其應(yīng)用作一簡單介紹。

1 傅里葉級數(shù)

如同我們較為熟悉的泰勒展開一樣，傅里葉級數(shù)也是一種函數(shù)展開。本節(jié)將先對傅里葉級數(shù)作一簡單介紹。

1.1 傅里葉級數(shù)的基本原理

將一個函數(shù)傅里葉展開時，我們選取的基底函數(shù)是，，，，，，，，。與泰勒級數(shù)不同的是，在傅里葉級數(shù)中，基底函數(shù)是正交的，即

因此我們說，傅里葉級數(shù)其實(shí)是一種正交分解。求系數(shù)的過程其實(shí)是在計算目標(biāo)函數(shù)在三角函數(shù)這種基底上的坐標(biāo)。

1.2 周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)

一個傅里葉級數(shù)在一般情況下可以表示為其中，、和是展開系數(shù)。假定一個周期為的函數(shù)，，能按式()展開?，F(xiàn)在來求展開系數(shù)，其關(guān)鍵便是利用基底的正交性。對式()兩邊乘上基底，并在上積分，即可求出對應(yīng)的展開系數(shù)。

式()兩邊同乘再積分有

這樣

式()兩邊同乘再積分有

這樣

同理，式()兩邊同乘再積分可得

以上幾式中我們積分區(qū)間均選了，事實(shí)上由于被積函數(shù)以為周期，積分范圍可以選擇任何一個寬為的區(qū)間。

本小節(jié)最后我們再說一下傅里葉級數(shù)的收斂條件，即狄利克雷定理。

假定

1. 在內(nèi)除了有限個點(diǎn)外有定義且單值；

2. 在外是周期函數(shù)，周期為；

3. 和在內(nèi)分段連續(xù),

則傅里葉級數(shù)收斂于

對于周期為而非的周期函數(shù)，式()轉(zhuǎn)化為

相同方法可求出展開系數(shù)