 翻譯: 方正Michael 后期: 公理 有時候，人類科學的發展需要超越傳統的思維方式。 在 20 世紀早期，物理學上的兩次革命——愛因斯坦的相對論(首先是狹義的，然后是廣義的)和量子力學——帶來了對數學的需求，而所需要的工具僅用實數是滿足不了的。從那時起，由實部和虛部組成的復數就與我們對宇宙的理解不可分割地糾纏在一起。 從數學上講，當我們想到數字時，可以想到幾種不同的分類方法：
但是，盡管正數的平方根是實數，負數的平方根卻沒有明確的定義。至少，它還未被定義，直到數學家并發明了虛數來進行定義！  虛數和實數沒什么兩樣，不過是實數概念的延伸，有個虛數單位 ，或者說 。任一復數其中既有實部()也有虛部()，通常用()表示，復數直接同樣可以進行加減乘除，總而言之，復數系統是一個域。 現在你知道它們是什么了，下面 個是我認為關于虛數最有趣的事實！ 1. 的平方根既有實部也有虛部一個負實數的平方根是純虛數，但一個純虛數的平方根必須同時有實部和虛部！下面是你證明自己的方法。你需要某個數的平方等于 。假設它有一個實部 和一個虛部 ，所以我們可以把它寫成 ，然后我們可以算出 和 的值是多少。 兩邊同時平方 現在我們讓實部與實部對應，虛部與虛部對應。 通過這兩個方程，我們可以把右邊方程的 代入左邊方程， 然后，我們便可以解出 ： 如你所見，有兩種可能的解，如果我們用方程的右邊(虛部)來解 (兩種情況下 的值都一樣)，我們得到兩個解： 這就引出了下一個有趣的事實… 2. 的任意根有多個不相同的解，N 次根有 N 個不相同的解對于正實數，開方(即，第二個根)會給出兩種可能的解：正的和負的。例如， 可以是 ，也可以是 ，因為任意一個的平方都是 。 但對于 i，也就是 ，如果你想求根，你需要做一個多項式方程，就像我們上面做的那樣。問題是，多項式方程的階取決于我們取它的根。所以 的三、四、五次方根必須滿足： 所以對于方程中的每一個 和 都有 個， 個， 個不同的解。例如， 的三次方根的三個解為：  (嘗試把它們立方，然后自己動手嘗試下吧！)這甚至還沒有涉及更復雜點的分數，請繼續往下看…… 3. 分子或分母？在虛數分數中， 究竟是在分子中還是分母中是很重要的。如果你考慮 這個數，在分數形式的情況下，不管你是用 還是 來考慮它，其結果都是 。但對 來說事實并非如此！我來問你們，你們認為這個分數是多少? 看著它，你可能認為它等于 ，但實際上它是 ！ 想要證明嗎？只要分數上下同時乘以一個 ，然后看吧 所以當對復數分數進行合并或分解時要小心謹慎，必須遵循一些復雜的規則才能得到正確的結果。違反它們，你可以做各種瘋狂的事情，比如證明 ，這樣數學上稱之為無效的證明。 4. 、 和 都是彼此關聯的在數學中，我們可以用極坐標來表示二維坐標空間，其中有一個距離原點的徑向坐標()和一個極角()，就像下圖所示這樣：  如果你不用 軸和 軸，而是用復平面(complex plane)中水平的實軸與垂直的虛軸建立起來的幾何表示，這樣也可以解釋復數，只不過角度 可以帶你在實平面與虛平面之間轉換，比如利用下面圖形中的歐拉公式：  令人驚奇的是，如果我們在實軸上定位到 的位置，會得到一個漂亮的恒等式，如下圖中間的歐拉恒等式：  就是這樣數學中最基本的 5 個常數：、 、 、 和 之間存在有一種簡單而又出人意料的關系，被美國物理學家費曼稱之為“數學最奇妙的公式”。 利用證明如下： 上面的歐拉公式會在復分析中經常出現，因為它把三角函數與復指數函數聯系起來。現在看最后一個事實，也是很有意思的。 5. 的 次方的 次方是 100% 的實數。考慮上圖中的方程（歐拉公式）——但我們不是在實軸上指向 而是在虛軸上指向 。在這種情況下，我們會得到一個等式：  如果我們想知道 的 次方是多少，我們需要做的就是對等式兩邊同時取 次方， 記得 的平方等于 嗎，然后我們可以發現： 大概就是實數 |
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