一個數(shù)學(xué)家的嘆息：2個方法擺脫背公式教學(xué)桎梏，讓孩子愛上數(shù)學(xué)

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今天分享的書籍是《一個數(shù)學(xué)家的嘆息》。

作者保羅·洛克哈特，一位杰出的富有傳奇色彩的數(shù)學(xué)家。大概14歲時，他對數(shù)學(xué)產(chǎn)生濃厚興趣（他特別指出，不是由于學(xué)校的數(shù)學(xué)課程）。為專心研究數(shù)學(xué)，他從大學(xué)退學(xué)，靠編程和當(dāng)小學(xué)老師為生。1990年在哥倫比亞大學(xué)獲得博士學(xué)位后，洛克哈特先后在加州大學(xué)伯克利分校的數(shù)學(xué)科學(xué)研究中心和布朗大學(xué)任職。2000年加入紐約的獨立學(xué)校圣安學(xué)校，教導(dǎo)從幼兒園到12年級的數(shù)學(xué)課至今。

數(shù)學(xué)教育，不僅困擾孩子，也是很多成年人的噩夢。如何才能擺脫當(dāng)下“刷題”“背公式”的教學(xué)桎梏，讓孩子真正愛上數(shù)學(xué)？又如何讓成年人意識到數(shù)學(xué)并不是只代表恐懼，而是神奇而美妙的藝術(shù)？

作者認為，就像繪畫、音樂和詩歌一樣，數(shù)學(xué)是一門藝術(shù)，我們的靈感需要被激發(fā)；數(shù)學(xué)又與游戲一樣，要基于好奇心去探索。在本書中，作者既替孩子所接受的數(shù)學(xué)教育感到憤懣，也替數(shù)學(xué)本身感到惋惜，因此而呼吁教育者反思和嘗試改變自己的教學(xué)方式，帶領(lǐng)孩子能夠真正走進數(shù)學(xué)的世界，領(lǐng)略數(shù)學(xué)之美。

01、當(dāng)代美國的數(shù)學(xué)教育

音樂家夢到，音樂教育就是要讓孩子掌握音樂這種語言，先學(xué)音樂理論，學(xué)五線譜，理解什么叫五度循環(huán)，什么叫和聲，什么叫復(fù)調(diào)，不許唱歌不許演奏樂器。因為演奏或者是聆聽音樂是太高深的課題，上了大學(xué)才能學(xué)。

洛克哈特說，音樂當(dāng)然不能這樣教，但是，今天美國的數(shù)學(xué)恰恰是這樣教的。這是洛克哈特的不滿。在他看來，學(xué)數(shù)學(xué)，應(yīng)該像學(xué)藝術(shù)一樣。他引用英國數(shù)學(xué)家哈代的話：一個數(shù)學(xué)家，就像一位畫家或詩人，是模式的創(chuàng)造者。

把數(shù)學(xué)比作藝術(shù)，說數(shù)學(xué)的美學(xué)原則就是簡單，這種說法并不新鮮。洛克哈特的數(shù)學(xué)教育理念有什么特別之處呢？很對人認為孩子不喜歡思考，所以要降低數(shù)學(xué)難度，讓他們嘗到思考的樂趣，才會喜歡學(xué)習(xí)。洛克哈特不認同這種教育理念。他說，面對數(shù)學(xué)問題，要有游戲精神。想要學(xué)好數(shù)學(xué)，學(xué)生要有好奇心，他必須想要知道答案，而且要不斷嘗試，樂在其中，用自己的想象力，來娛樂自己。

請你想象一個長方形中，有一個三角形，三角形的底邊就是長方形的底邊，三角形的頂點位于長方形上面那條邊的任意一點，那么這個三角形的面積，是長方形面積的三分之二還是二分之一？解法很簡單。洛克哈特做了一條輔助線，從三角形頂點，畫一條垂直于底邊的線。這條線把長方形分成了兩個部分。這兩個部分，都被三角形的斜邊切成了一半。顯然，這個三角形的面積，正好是長方形面積的一半。

這道題，我們在數(shù)學(xué)課上不是這么學(xué)的。數(shù)學(xué)老師只是告訴你一個公式，三角形面積等于二分之一的底乘高（A=1/2bh），然后就讓你在習(xí)題中反復(fù)應(yīng)用。洛克哈特說，他不是反對公式，而是反對不講輔助線。三角形面積是長方形面積一半，這個事實不重要，重要的是用輔助線來切割。這個巧妙構(gòu)想會讓孩子明白什么叫數(shù)學(xué)方法，可以激發(fā)他更多的構(gòu)想。如果他不懂得欣賞這條輔助線，就不能理解數(shù)學(xué)的美感和想象力。嘗試畫出這條輔助線就是把做題當(dāng)游戲，由此得到對稱的概念，就是樂趣。洛克哈特不僅反對直接告訴孩子結(jié)果，他也非常反感用講故事的方式來講數(shù)學(xué)。

比如，瑪麗亞的年齡是她七年前年齡的兩倍，請問瑪麗亞幾歲了。他說，你都知道她的年齡是她七年前的兩倍這樣重要的信息了，你怎么可能不知道瑪麗亞現(xiàn)在幾歲呢？這道題的關(guān)鍵，其實就是兩個數(shù)字之和與兩個數(shù)字之差的關(guān)系。這樣看起來，數(shù)學(xué)顯得不太友善，但是，想讓數(shù)學(xué)看起來跟生活有關(guān)，把數(shù)學(xué)弄得友善，這只是教師的做作。

洛克哈特非常驕傲地說，不要把數(shù)學(xué)變得有趣。你不懂，才會覺得它無趣，你懂了，它就樂趣無窮。數(shù)學(xué)的美就在于它跟日常生活沒關(guān)系，所以它才有趣。我們學(xué)校里為了讓孩子學(xué)會計算圓周的長度和圓的面積，會編一套圓周先生和面積太太的對話，這是最無聊的故事。好的數(shù)學(xué)故事來自數(shù)學(xué)史，要講清楚圓，就要講數(shù)學(xué)史上人類為了測量曲線所做的種種努力。

洛克哈特的觀點，很有挑戰(zhàn)性，也很有顛覆性。我們經(jīng)常會覺得孩子不懂，不想他們解釋太多，想解釋也解釋不清楚。比如說，小孩子知道三角形有三條邊，四邊形有四條邊，知道五邊形、六邊形，乃至正十二邊形、正十七邊形。他可能會問你，圓有幾條邊？這是一個很難的問題。一般來說，我們?yōu)榱藞D省事，都會說，圓有一條邊，但這條邊是曲線。我們很難跟小孩子解釋，如果你把邊理解為一條線段，那么圓有無數(shù)條邊，多邊形的邊數(shù)越多，其形狀、周長、面積就越接近于圓。所以，我們可以把圓看成是由無數(shù)個線段組成的正多邊形。圓是一種概念性的圖形。你如果這樣跟孩子解釋，孩子的腦子就亂掉了。

但洛克哈特就是要高估孩子的理解力。他覺得，要想讓孩子理解圓的面積和周長，就要講數(shù)學(xué)史上的歐多克索斯和阿基米德。歐多克索斯是公元前400年的古希臘數(shù)學(xué)家，他對數(shù)學(xué)的一個重要貢獻是建立了嚴(yán)謹?shù)母F竭法，并用它證明了一些重要的定理。中國古代也有割圓為方的數(shù)學(xué)思想，就是用圓內(nèi)接正多邊形的面積去無限逼近圓面積。但窮竭法、割圓為方，涉及極限和無限小的概念，如果沿著這個思路講下去，就會講到微積分。

你肯定會想，孩子能懂嗎？洛克哈特回答：我并不抱這樣的期望。我想說的是，現(xiàn)在的數(shù)學(xué)課程里，完全沒有數(shù)學(xué)的藝術(shù)與發(fā)現(xiàn)，沒有數(shù)學(xué)的歷史和哲學(xué)，這是不對的。數(shù)學(xué)課，一方面孩子要懂得數(shù)學(xué)符號和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，另一方面也要掌握數(shù)學(xué)思想。他還說，對于文學(xué)，我們就不會有這種懷疑。學(xué)習(xí)詩歌，并不是記得一大堆詩作，而是自己創(chuàng)作。

小孩子當(dāng)然不可能在數(shù)學(xué)上有什么創(chuàng)作。洛克哈特想強調(diào)的是，數(shù)學(xué)是一種探索過程，任何一種心智上的敏銳，都來自自己解決問題。在數(shù)學(xué)教育中適當(dāng)引入數(shù)學(xué)史內(nèi)容，是讓孩子思考去如何解決問題，而不是被告知該怎么解決問題。定義和公式并不能讓學(xué)生更聰明。

比如，數(shù)字有一個很神奇的現(xiàn)象，簡單來說，就是把連續(xù)的奇數(shù)相加，會得到一個平方數(shù)。你想想，1加3等于4，4是2的平方；1加3加5等于9，9是3的平方；再繼續(xù)算下去，1加3加5加7是16，16是4的平方；加到19，奇數(shù)之和是100，是10的平方。這是個規(guī)律嗎？奇數(shù)之和是一個平方數(shù)？

洛克哈特說，目前我們還無法斷言，就算檢查100萬個例子，也不能證明什么。實際上，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，關(guān)于整數(shù)就有數(shù)百個簡單的問題，至今無解。但是，思考這個問題，是有意義的，把奇數(shù)相加跟算平方數(shù)，表面看起來是兩個沒關(guān)系的問題，為什么它們之間會有這種神秘的關(guān)聯(lián)呢？他說，搞明白這個事情，才是你心智的進步，數(shù)學(xué)會讓你的心智每天都受到這樣的沖擊。

02、如何教好數(shù)學(xué)

洛克哈特認為，我們應(yīng)該建立一些沒有形式的數(shù)學(xué)課程，學(xué)生遇到什么，就學(xué)什么。就是用問題引導(dǎo)問題，由此鍛煉數(shù)學(xué)的技巧。他說，這個想法可能有點兒瘋狂，因為這樣做，學(xué)校不能保證所有學(xué)生都能獲得同樣的數(shù)學(xué)知識。但是，學(xué)校本來就不該做這樣的保證，因為人和人就是不一樣的，一個高中畢業(yè)生不知道半角公式，也沒什么。

洛克哈特對美國的幾何課狠狠地吐槽了一番。洛克哈特說，中學(xué)的幾何課，比披著羊皮的狼還糟糕。學(xué)校嘗試用這個課程向?qū)W生介紹論證的方法，卻摧毀了理性論證的本質(zhì)，磨滅了學(xué)生對幾何的喜歡，讓他們永遠不能以自然又直覺的方式來思考數(shù)學(xué)。

比如，兩條交叉的直線，一個夾角等于與它相對的那個夾角。這個事，憑直覺就能看出來，但美國中學(xué)的幾何課卻需要你證明它，證明過程非常簡單，但是看起來特別無趣。洛克哈特說，這本來應(yīng)該是用最自然的語言寫出的趣味論證，卻被搞得沉悶、沒有靈魂。直截了當(dāng)?shù)挠^察，寫成了一堆假學(xué)問。學(xué)生要學(xué)數(shù)學(xué)論證，但是，只有當(dāng)你發(fā)現(xiàn)事情違反直覺，或者有矛盾的時候，你才需要嚴(yán)格的證明。

教數(shù)學(xué)的時候，洛克哈特特別強調(diào)直覺。他有一本叫《度量》，就是在喚起我們對幾何的直覺。這本書的第一頁上畫了一堆等邊三角形、正方形和正六邊形。洛克哈特說，我喜歡這幾個形狀，它們是對稱的，每個邊相等，每個角相等。 接著他把4個正方形擺成一個更大的正方形。4個正方形相交的那個點，正好有4個直角，一個直角的角度是90度，四個直角就是360度。

在這里，洛克哈特引入了一個基本的概念，叫圓角，圓角就是360度的角。接著，他講道：正三角形的內(nèi)角是60度，6個正三角形圍成一個360度的圓角，正6邊形的內(nèi)角是120度，3個正六邊形正好圍成一個360度的圓角。這幾個形狀在磁力貼上很常見。因為它們更容易拼在一起，搭建成一個更大的形狀。

我們知道，360度就是沿著一點轉(zhuǎn)一圈，圓角就是360度。假設(shè)你沿著正三角形的三條邊轉(zhuǎn)上一圈，你就回到了原點，也就是完成了轉(zhuǎn)360度。可是，三角形的內(nèi)角之和是180度，這是怎么回事？

比如，你開車的時候，如果掉頭，角度其實為零，但你要轉(zhuǎn)180度。在這里，洛克哈特又引入內(nèi)角外角的概念。我們直覺想到的0度，就是內(nèi)角角度；掉頭的時候?qū)嶋H轉(zhuǎn)了180度。這就是外角的角度。當(dāng)我們在三角形的三條邊上行走時，轉(zhuǎn)的并不是內(nèi)角的角度，而是外角的角度。

《度量》這本書生動地展示了洛克哈特的教學(xué)方法和教學(xué)理念。從好奇心出發(fā)，怎么度量，這是最基本的問題。然后，他開始帶著我們在數(shù)學(xué)中游戲，在各種圖形中畫輔助線，把一個圖形套入另一個圖形，將代數(shù)公式用幾何圖形展示出來。問題一步步深入，我們因此得到了數(shù)學(xué)的愉悅。

洛克哈特認為，教數(shù)學(xué)課，最終是要讓孩子領(lǐng)略到數(shù)學(xué)的美。孩子要有好奇心、游戲精神，并且能在想象力中愉悅自己。他在教程中引入數(shù)學(xué)史上的一些內(nèi)容，就是要孩子面對人類曾經(jīng)面對的一些基本問題，怎么計算，怎么度量。

數(shù)學(xué)中一個常見的悖論是，引入一個更高的理論，讓原本看起來難的問題變得簡單。比如我們小學(xué)課程中經(jīng)常面臨的一些應(yīng)用題，一旦學(xué)會設(shè)未知數(shù)，就變得簡單了。但我們的小學(xué)課程不講未知數(shù)，洛克哈特的教學(xué)理念是從問題出發(fā)，不怕引入更高的數(shù)學(xué)概念，也不一定要割裂開幾何和代數(shù)課。面對問題，解決問題，從一個問題到另一個問題，只有在這樣的過程中，我們才能鍛煉出真正的數(shù)學(xué)技巧。