【原】雙曲正弦余弦，ln2估值

一、函數(shù)定義

在講雙曲函數(shù)的定義之前，我們先看一看三角函數(shù)的定義。如圖所示：

在實(shí)域內(nèi)，三角函數(shù)的值是通過單位圓和角終邊上三角函數(shù)線的長度定義的。當(dāng)然這個(gè)「長度」是有正負(fù)的。

同理，雙曲函數(shù)的值也是通過雙曲線和角終邊上的雙曲函數(shù)線的長度定義的。如圖：

具體的定義為

，

，

利用雙曲正弦余弦函數(shù)對(duì)g（x）變形，熟悉函數(shù)恒等式可減少運(yùn)算難度。注意到g（0）=0，可首選考慮“端點(diǎn)效應(yīng)”，后面的過程就不難理解了。

下面從泰勒級(jí)數(shù)出發(fā)估計(jì) 的值

我們都知道泰勒級(jí)數(shù)

考慮到上述級(jí)數(shù)是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)（這也是它收斂太慢的原因），我們可以通過加減消去其中的負(fù)項(xiàng)

令 得 ，代入到上式中去有

此時(shí)取 項(xiàng)即可滿足條件，對(duì)應(yīng)誤差為

這樣的精度已經(jīng)足夠了，

所以取

計(jì)算得

參考文獻(xiàn)

[1]王希，可能是最好的講解雙曲函數(shù)的文章，知乎

[2]南部，如何估計(jì) ln2 的近似值？知乎