|
寫在前面 在本學期的第一講中，筆者簡單講解了平行四邊形存在性問題．即給定三個點的坐標，要求第四個點的坐標使之構成平行四邊形，可以采用中點公式的方法，詳見《八下第1講 舉反例 求坐標 《平四矩形》難點精析》 而在中考題中，通常會出現更難一些的“兩定兩動”問題，本講就用3個例題，幫助同學們學會盲解！ 在平面直角坐標系中，A(－1，0)，B(3，0)，C在y軸上，D在直線y＝x－2上． (1)若以A，B，C，D四點為頂點的四邊形是平行四邊形，求點D的坐標． (2)若以A，B，D三點為頂點的三角形是等腰三角形，求點D的坐標． (3)若以A，B，D三點為頂點的三角形是直角三角形，求點D的坐標． 第(1)問分析： 這是筆者原創的一道題目，A，B為兩定點，C，D為兩動點，即“兩定兩動”平行四邊形存在性問題．常規解法是以AB為邊，以AB為對角線，先分類討論，再在坐標系中畫出三種草圖，進行求解．但實際作圖過程中，許多學生會受限于原題的圖，出現畫不全的情況．若題目無圖，則更難畫全． 那么有沒有更好的辦法呢？ 其實是有的，核心思想是將“兩定兩動”轉化為“三定一動”，分三步走． (1)設參 我們可以設在y軸上運動的點C的坐標是(0，a)，并把它看作一個定點． (2)畫圖 無需坐標系，大致畫出A，B，C三點的位置，標上坐標，然后連接AB，AC，BC，將這三條邊均只看作對角線，即簡單，又可保證分類不遺漏．利用平行四邊形對角線的交點是其各自中點，從而利用中點公式，將第四個點D的三種情況的坐標都表示出來． (3)再代入 此時點D的坐標是含參數a的，再將含參數的點D的坐標代回原解析式y＝x－2中，即可求出點D的坐標． 要使△ABD是等腰三角形，則其中任意一邊可作為腰，也可作為底．但我們不妨與平行四邊形一樣處理，任意一邊都只作為底考慮，則另外兩邊即為腰． AB，AD為腰，則A為頂角頂點． AB，BD為腰，則B為頂角頂點． AD，BD為腰，則D為頂角頂點． 若要作圖找出所有情況，即八年級上冊所熟悉的“兩圓一線”問題． 本小問只涉及一個動點D，可以直接設其坐標為(x，x－2)，當AB，AD為腰，或AB，BD為腰時，可利用距離公式，表示AD，BD的長度，利用與AB相等的條件，建立方程，求出點D的坐標． 當AD，BD均為腰，別忘了此時點D在AB的中垂線上，可直接知道點D的橫坐標． 要使△ABD是直角三角形，同樣考慮三種情況，∠BAD＝90°，∠ABD＝90°，∠ADB＝90°． 由于AB在x軸上，∠BAD＝90°或∠ABD＝90°時的情況非常簡單，只需過點A或點B作x軸的垂線，與直線y＝x－2的交點即為點D． 而當∠ADB＝90°時，有同學會選擇勾股定理逆定理，但要兩次涉及距離公式，較為繁瑣．其實可以聯想平時最不會用的直角三角形中重要的一條性質“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，就變成兩點距離為定值問題了，計算會更簡便，當然這其中的本質，到了初三學過圓以后，你會更加明白． 已知在平面直角坐標系中，A(－2，0)，B(m，n)，C(－2，10)，D(－5，p)，且p≤n． (1)若以A，B，C，D四點為頂點的四邊形是平行四邊形，請用含p的代數式的坐標重新表示點B． (2)若以A，B，C，D四點為頂點的四邊形是菱形，求n的值． (3)若以A，B，C，D四點為頂點的四邊形是矩形，求n的值． 經過例1的詳細講解，相信大家對這種設參畫圖再代入的方法應該有所了解了，那么本題的解法與例1是完全一樣的．對于(2)(3)問，也不用擔心． 若四邊形是菱形，則鄰邊相等，由于我們只考慮對角線，因此，對角線恰好將菱形分成兩個等腰三角形，問題就轉化為等腰三角形存在性問題． 若四邊形是矩形，而四個角都是直角，對角線又恰好將矩形分成了兩個直角三角形，問題就轉化為直角三角形存在性問題． 本題是第一講中的思考題，O，A均為定點，也是兩定兩動問題，筆者當時給的參考答案是將OA作為邊，對角線分開討論，光作圖就比較麻煩．而現在，我們可以用設參，畫圖，再代入的方法輕松秒殺．如設點D坐標(a，－3/4a＋3)，表示出點E的坐標．接下來，準備好了嗎，不畫圖，完全盲解！
|
