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(感謝 @行路難188190937 的邀請) 題主的這些疑問小石頭在中學時代也產生過，一直困擾了很長時間，后來才慢慢想通了，這里將自己當時的心路歷程與大家分享。當然，大抵是因為小石頭比較愚笨，所以才會有諸多疑問的，大家可能不會陷入這些糾結，對于聰明的條友全當茶余飯后的笑話看看，不必當真！ 疑問1：什么是向量？ 我們知道平面上規定了長度的直線段有兩個端點，如果再指定其中一個是起點（另一個自然是終點），則直線段就具有了從起點指向終點的方向，我們在終點處添加箭頭表示這個方向，稱這樣規定有長度和方向的直線段 為 矢量，用粗體小寫字母（或線段上面加箭頭）來表示，例如：?? 。  我們不固定矢量的起點，讓矢量可以自由移動，但不管矢量起點移動到哪里，只要長度和方向一樣，就都是同一個矢量 。  當矢量的起點固定到原點O時，矢量的終點決定了矢量的大小和方向，從而決定了矢量。這說明矢量和平面上的點一一對應，而每一個點又都有唯一的平面坐標，這些坐標被稱為向量，于是矢量就和向量一一對應，例如：?? ? A ? (a?,a?)。  結論： 向量和矢量一一對應，向量是矢量的代數形式，矢量是向量的幾何形式，我們認為它們是同一個東西，英文都是 vector。 疑問2： 向量的運算是怎么來的？ 矢量的長度，用| ? |來表示，例如：|??|。  設 ??=(a?,a?) 根據勾股定理，得出， |??| = √(a?2 + a?2) ─── 將矢量 ?? 的起點移動到矢量 ?? 的終點上，這樣從 ?? 的起點到 ?? 的終點就構成一個新的矢量 ??，稱為 ?? 與 ?? 的和，記為 ?? = ?? + ??，這就是矢量的加法運算。  再設，??=(b?,b?)，很容易通過幾何關系得到，對應的向量加法定義， (a?,a?) + (b?,b?) = ?? + ?? = ?? = (a?+b?, a?+b?) 由于 ?? 其實是 以 ?? 和 ?? 為邊的平行四邊形的 對角線，所以 顯然 矢量的加法 滿足：
 也可以驗證對應的向量加法交換律， (a?,a?) + (b?,b?) = (a?+b?, a?+b?) = (b?+a?, b?+a?) = (b?,b?) + (a?,a?) ─── 將?? 的長度縮放k倍后，得到長度為k|??|的新向量??，記為 ??=k??，稱為矢量的數乘運算。  根據相似三角形的等比關系，由 b?/a?=|??|/|??|=k b?/a?=|??|/|??|=k 有， b?=ka?，b?=ka? 所以，得到，向量的數乘定義， k(a?,a?) = k?? = ?? = (b?,b?) = (ka?,ka?) 當k>0時，??和??方向相同；當k=0時，??縮成一個點，稱為零矢量，記為 0；當k<0時，??和??方向相反。 特別的，令 -??=-1?? 是和 ?? 長度相同方向相反的 矢量。 ─── 利用 矢量加法和數乘，可以很方便定義矢量減法， ??-??=??+(-??)=??+(-1??)  對應的向量減法定義為， (a?,a?) - (b?,b?) = ?? - ?? = ?? + (-1??) = (a?,a?) + (-1(b?,b?)) = (a?,a?) + (-b?,-b?) = (a?-b?,a?-b?) ─── 這樣以來 以 矢量 ?? 和 ?? 為邊的平行四邊形 的對角矢量 分別 是 ?? + ?? 和 ?? - ??，我們定義 兩個對角矢量 的長度的 平方差 的 四分之一 為 ?? 與 ?? 的點乘，記為 ①： ?? ? ?? = (|?? + ??|2 - |?? - ??|2)/4  將 ??=(a?,a?)，??=(b?,b?) 代入上式，有， (a?,a?) ? (b?,b?) = (|(a?,a?) + (b?,b?)|2 - |(a?,a?) - (b?,b?)|2)/4 = (|(a? + b?,a? + b?)|2 - |(a? - b?,a? - b?)|2)/4 =( (a? + b?)2 + (a? + b?)2 - (a? - b?)2 - (a? - b?)2)/4 = ((a?2+2a?b?+b?2) + (a?2+2a?b?+b?2) - (a?2-2a?b?+b?2) - (a?2-2a?b?+b?2))/4 = (4a?b? + 4a?b?)/4 = a?b? + a?b? 即，得到向量的點乘運算定義， (a?,a?) ? (b?,b?) = a?b? + a?b? 疑問3： 向量性質的幾何意義是什么？ 由 模 和 向量點乘 的定義，有 向量性質 ②， |??|2 = a?2 + a?2 = a?a? + a?a? = (a?,a?)?(a?,a?) = ????? 幾何上，考慮 ① 處，當 矢量 ??=?? 時，以??和?? 為邊的 平行四邊形 就 變成一條線段，這時 有， ????? = (|?? + ??|2 - |?? - ??|2)/4 = (|2??|2 - |0|2)/4 = |2??|2/4 = (2|??|)2/4 = |??|2 這樣就得到對應的矢量性質。 上面的推導過程中，使用到性質 |k??|=|k||??|，這在矢量上是顯然的，而在向量上有， |k??|=|k(a?,a?)|=|(ka?,ka?)|=√(ka?)2 + (ka?)2=|k|√(a?2 + a?2)=|k||??| ─── 設 α 為 矢量 ?? 與 ?? 的夾角，β 是 矢量 ?? 與 X軸正方向的夾角，  根據勾股定理有， cos(α+β) = a?/|??|，sin(α+β) = a?/|??| cos β = b?/|??|, sin β = b?/|??| 再根據差角公式：  有， cos α = cos((α+β) - β) = cos(α+β) cos β + sin(α+β) sin β = (a?/|??|)(b?/|??|) + (a?/|??|) (b?/|??|) = a?b?/|??||??| + a?b?/|??||??| = (a?b? + a?b?)/|??||??| = (a?,a?)?(b?,b?)/|??||??| = ?????/|??||??| 于是得到 夾角公式： α = arccos(?????/|??||??|) 由，上式 有 ③， ????? = |??||??| cos α 這表明 矢量點乘的 另外一個 幾何解釋，即，矢量 ?? 在 ?? 上的投影長度 和 ?? 的長度 之積（或 ?? 在 ?? 上的投影長度 和 ?? 的長度 之積）。 ─── 點乘 具有交換律， ????? = (a?,a?) ? (b?,b?) = (a?b?,a?b?) = (b?a?, b?a?) = (b?,b?) ? (a?,a?) = ????? 這在幾何上是一目了然， 我們還能證明 點乘 對于 加法 具有分配率，又設 ??=(c?,c?) 則， (?? + ??) ? ?? = ((a?,a?) + (b?,b?)) ? (c?,c?) = (a?+b?,a?+b?) ? (c?,c?) = ((a?+b?)c?, (a?+b?)c?) = (a?c?+b?c?, a?c?+b?c?) = (a?c?, a?c?) + (b?c?, b?c?) = (a?,a?) ? (c?,c?) + (b?,b?) ? (c?,c?) = ?? ? ?? + ?? ? ?? 進而，點乘 對于 減法也滿足 分配率， (?? - ??) ? ?? = (?? + (-1??)) ? ?? = ?? ? ?? + (-1??) ? ?? = ?? ? ?? + (-1(?? ? ??)) = ?? ? ?? - ?? ? ?? 這個推斷規程使用了 結合律， (k??)??? = (k(b?,b?))?(c?,c?) = (kb?,kb?)?(c?,c?) = ((kb?)c?,(kb?)c?) = (k(b?c?),k(b?c?)) = k((b?c?),(b?c?)) = k((b?,b?)?(c?,c?)) = k(?????) 在幾何上有， |?? + ??| cos β =|OF| = |OI| + |IF| = |OI| + |BL| = |BL| + |OI| = |??|cos α? + |??|cos α? 于是， |?? + ??||??| cos β = |??||??|cos α? + |??||??|cos α? 再，利用③處結論，即得， (?? + ??) ? ?? = ?? ? ?? + ?? ? ?? 好了，解決了以上這些疑問后，自然就可以使用 向量來證明余弦定理了： 設，向量 ??=(a?,a?)，??=(b?,b?)，??=(c?,c?)，圍成下圖中的三角形， 根據圖中向量的關系，有， ?? =?? - ?? 于是，利用 點乘的分配率和交換律，有， ????? = (?? - ??)?(?? - ??) = (?? - ??) - ???(?? - ??) = (????? - ?????) - (????? - ?????) = ????? - ????? - ????? + ????? = ????? - ????? - ????? + ????? = ????? + ????? - 2????? 再利用②處的性質，有， |??|2 = |??|2 + |??|2 - 2????? 最后，將③處公式代入上式，立即得到， |??|2 = |??|2 + |??|2 - 2|??||??| cos α 即，我們熟悉的余弦定理了： c2 = a2 + b2 - 2ab cos α 本來，余弦定理 是直接通過幾何方式證明的： 然后利用余弦定理，參考①處圖，有， |?? - ??|2 = |??|2 +|??|2 - 2|??||??|cos α |?? + ??|2 = |??|2 +|??|2 - 2|??||??|cos (180° - α) = |??|2 +|??|2 + 2|??||??|cos α 兩等式相加，即得， 2(|??|2 +|??|2) = |?? + ??|2 + |?? - ??|2 這稱為，平行四邊形公式：平行四邊形的兩對角線的平方和 等于 四條邊的 平方和。 實際上，數學家將 全體向量組成的 集合 稱為 歐氏向量空間，歐氏向量空間里定義了 向量的 加法、數乘、點乘、模 甚至 距離，之后 數學家 從 歐氏向量空間 中抽象出了 賦范線性空間， 在其中，模滿足 平行四邊形公式 是 ① 處 點乘 定義 良好的 充要條件。 （沒錯，小石頭就是喜歡在課本上亂畫的學渣，真懷念中學時代呀！作為學渣，如此簡單的向量問題，也啰哩啰嗦的說了這么一大堆，聰明的觀眾一定有更高明的認識，歡迎評論區討論！） 2021/2/8 補充： 同一個數學概念，因為數學領域不同，有不同的認識，例如，數乘運算： ● 矢量??的長度乘以因子k，方向保持不變（或相反）； ● k(a?, a?, ..., a?) = k(a?, a?, ..., a?)； ● 線性運算，滿足： 1?? = ?? (kl)?? = k(l??) (k + l)?? = k?? + l?? k(?? + ??) = k?? + k?? ● 保持加法的 域F 在 Abel群 M 上的 半群作用，λ: F×M→M , F →(M→M)。 所謂保持加法指的是保持Abel群的加法（域也是Abel群），即： λ(k + l, ??) = λ(k, ??) + λ(l, ??) λ(k, ?? + ??) = λ(k, ??) + λ(k, ??) 所謂半群作用指域作為乘法半群的作用，即： λ(1)(??) = ?? λ(kl)(??) = λ(k)λ(l)(??) 就有四種不同的定義，從《解析幾何》→《線性代數》→《抽象代數》，它們是彼此兼容，相互印證的，它們并沒有優勝劣汰。 |
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