【原】數(shù)與圖(22)——傅里葉級數(shù)

高等數(shù)學課在我記憶力留下的最閃亮的部分叫做“傅里葉級數(shù)”，它同光學課上的“波粒二象性”共同構(gòu)筑起我的世界觀——這個世界上的萬事萬物無一不是由波組成。

文本在微積分及三角函數(shù)的基礎(chǔ)上，講解一個很特別的級數(shù)——傅里葉級數(shù)，它可以將任何類型的可積分函數(shù)在指定的區(qū)間內(nèi)展開成三角函數(shù)的加和。一般寫作

式⑴中用“~”代替“=”，說明右側(cè)的展開式的值與左側(cè)的函數(shù)值不一定完全相等。展開式中的系數(shù)可以根據(jù)求積分獲得，其中

本文不討論系數(shù)的由來，也不討論函數(shù)可積分的判定，只討論三個具體函數(shù)的展開式，并根據(jù)展開式繪制函數(shù)圖形，觀察隨著展開項數(shù)的增加，展開式圖形的變化。這三個函數(shù)分別為方波函數(shù)、一次函數(shù)及二次函數(shù)。

首先將《數(shù)與圖(21)——三角函數(shù)》中的項目另存為“傅里葉級數(shù)”，然后修改按鈕的名稱和標簽及按鈕的顯示文本，修改的結(jié)果如圖1所示。

圖1 修改項目中的組件名稱及顯示文本

在此基礎(chǔ)上，我們依次討論三個不同的函數(shù)，從方波函數(shù)開始。

一、方波函數(shù)

1、函數(shù)表達式

方波函數(shù)是周期函數(shù)，設(shè)其周期為360（度），則其在[-180, 180)上的表達式為

2、函數(shù)的原始圖像

設(shè)⑶式中的E=5，則方波函數(shù)⑶的原始圖像如圖2所示。圖中的虛線不是函數(shù)圖像的組成部分，它們僅僅用來標記函數(shù)值的突變點。從函數(shù)的原始圖像可以得出直觀的判斷：方波函數(shù)是可積分的，積分值就是紅色實線下方的面積。

圖2 方波函數(shù)的原始圖像

3、方波函數(shù)的傅里葉展開形式

按照式⑵中給出的公式，可以求得方波函數(shù)傅里葉展開式各項的系數(shù)，并最終得到下面的展開式（這里略去系數(shù)求解過程）。

4、繪制方波展開式圖像

根據(jù)⑷式編寫一個有返回值的過程——方波函數(shù)。用循環(huán)語句來實現(xiàn)級數(shù)的求和，簡直是太方便了，注意展開式中只有奇數(shù)項，奇數(shù)在數(shù)學中表示為2k-1，其中k=1,2,3…，方波函數(shù)過程的代碼如圖3所示。

圖3  有返回值過程——方波函數(shù)

再創(chuàng)建一個無返回值過程——求方波函數(shù)坐標列表，代碼如圖4所示，這與此前項目中的求坐標列表過程類似，只是把其他函數(shù)替換為方波函數(shù)。

圖4 無返回值過程——求方波函數(shù)坐標列表

然后編寫按鈕點擊事件處理程序，代碼如圖5所示。

圖5 方波按鈕的點擊事件處理程序

最后進行測試，結(jié)果如圖6所示。

圖6 測試結(jié)果：繪制方波展開式的圖像

從測試結(jié)果中可以看出，當展開項數(shù)為10時（其實真正參與求和的項只有5個），圖像在y=0的部分與y=E的部分均顯示出鋸齒形的波，隨著展開項數(shù)的增大，鋸齒波逐漸趨于平緩，當展開項數(shù)為200時，波形幾乎趨于平直。

二、局部一次函數(shù)

1、函數(shù)表達式

我們要展開的不是完整的一次函數(shù)，而是一次函數(shù)的一部分，其函數(shù)表達式為

2、函數(shù)的原始圖像

上面⑸式所對應的函數(shù)圖像如圖7所示。由圖像可以直觀地判斷函數(shù)在[-π,π]上是可積分的。

圖7 即將展開函數(shù)的原始圖像

3、傅里葉展開式

由公式⑵可以求出函數(shù)⑸的傅里葉展開項系數(shù)，并最終得到其傅里葉展開式

4、繪制展開式圖像

與繪制方波圖像一樣，首先根據(jù)⑹式創(chuàng)建一個有返回值過程——局部一次函數(shù)，代碼如圖8所示。有兩點需要格外注意，一是在⑹式中x以弧度為單位，在計算正弦、余弦的函數(shù)值時，需要將弧度轉(zhuǎn)化為角度。在《數(shù)與圖(21)》中介紹過角度與弧度的關(guān)系：360(角度)=2π(弧度)，由此導出

二是在⑹式中包含了兩類通項——正弦通項及余弦通項，其中正弦項以“1”為增量，而余弦項以“2”為增量，而且全部是奇數(shù)項。

圖8 有返回值過程——局部一次函數(shù)

再創(chuàng)建一個無返回值過程——求局部一次函數(shù)坐標列表，代碼如圖9所示。

圖9 無返回值過程——求局部一次函數(shù)坐標列表

再編寫一次函數(shù)按鈕的點擊事件處理程序，代碼如圖10所示。注意在調(diào)用求坐標列表過程時給參數(shù)賦值，參數(shù)的取值是-π及π，精確到小數(shù)點后兩位。

圖10 一次函數(shù)按鈕的點擊事件處理程序

最后進行測試，分別設(shè)展開項數(shù)為10、50及200，測試結(jié)果如圖11所示。從圖中可以觀察到，隨著展開項數(shù)的增加，圖像越來越接近直線。

圖11 測試結(jié)果：繪制局部一次函數(shù)展開式圖像

三、局部二次函數(shù)

1、函數(shù)表達式

也就是說，我們要將函數(shù)f(x)=x²在區(qū)間[-1,1]上展開成傅里葉級數(shù)。

2、函數(shù)的原始圖像

函數(shù)⑺在區(qū)間[-1,1]上的原始圖像如圖12所示。觀察圖像可以直觀推斷函數(shù)⑺在給定的區(qū)間內(nèi)可積分。

圖12  二次函數(shù)在[-1,1]上的原始圖像

3、傅里葉展開式

根據(jù)系數(shù)公式⑵，可以求得二次函數(shù)在[-1,1]上的傅里葉展開式各項的系數(shù)，并最終得到下面的展開式。

4、繪制展開式圖像

首先根據(jù)⑻式創(chuàng)建一個有返回值的過程——局部二次函數(shù)，代碼如圖13所示。

圖13 有返回值過程——局部二次函數(shù)

再創(chuàng)建一個無返回值過程——求局部二次函數(shù)坐標列表，代碼如圖14所示。

圖14  無返回值過程——求局部二次函數(shù)坐標列表

然后再編寫二次函數(shù)按鈕的點擊事件處理程序，代碼如圖15所示。

圖15 二次函數(shù)按鈕的點擊事件處理程序

最后進行測試，分別設(shè)展開項數(shù)為10、50、200，測試結(jié)果如圖16所示。

圖16 測試結(jié)果：繪制局部二次函數(shù)展開式圖像

從圖16中可以看到，當展開項數(shù)為10時，展開式圖像的上部略顯外翻，當展開項數(shù)為50時，圖像形狀已經(jīng)非常接近二次函數(shù)的原始圖像，與展開200項的圖像幾乎沒有差別。

以上我們討論了三種常見函數(shù)在特定區(qū)域內(nèi)的傅里葉展開式，并依據(jù)展開式繪制了相應的圖像，與函數(shù)的原始圖像比較，你會發(fā)現(xiàn)，隨著展開項數(shù)的增大，展開式圖像趨近于原始圖像，這說明展開式的函數(shù)值無限趨近于原始函數(shù)值。

這樣的結(jié)果令人驚嘆，在我第一次學習到這個知識時，就對它充滿了好奇，并努力將這個結(jié)果泛化到哲學層面：三角函數(shù)具有波動的特性，頻率相差整數(shù)倍的波，配合上適當?shù)南禂?shù)，可以表現(xiàn)任何類型的曲線，方波、直線、曲線，以及它們的任意組合，等等。那我們這個世界中千變?nèi)f化的事物，豈不也是由某些不同頻率的波疊加而成？

除了對于世界觀的構(gòu)建，傅里葉級數(shù)還提供了方法論上的指引。在實際生活中存在很多不規(guī)則的曲線，例如心電圖。假如可以將心電圖展開成傅里葉級數(shù)，那么每一項的系數(shù)（或系數(shù)之間的比例）就具有標志性的意義，或許與某些生理特征相關(guān)聯(lián)，或許與某些疾病相關(guān)聯(lián)，如此一來，在繪制心電圖的同時，診斷結(jié)果就可以自動給出，這或許就是在不久的將來人工智能的一項重要應用。