十六世紀以來，歐洲封建社會日趨沒落，代之以資本主義的興起。航海、天文、力學、軍事、生產等科學技術領域都向數學提出各種問題：如何進一步掌握行星運行規律；確定地球的經緯度；準確分析物體受力情況；精確計算炮彈運行軌跡以及研究機械運動的特性等等。
從數學角度歸納起來有四類問題： 1．已知變速運動的路程為時間的函數，求瞬時速度及加速度；或相反。 2．求曲線的切線。 3．求函數的最大值、最小值。 4．求曲線長、曲線圍成的面積、曲而包圍的體積等。 解決這四類問題，就數學來說要用到導數、微分與積分的概念。  圖1
恩格斯說：“社會一旦有技術上的需要，則這種需要就會比十所大學更能把科學推向前進。”（《馬恩選集》四卷505頁）社會的發展，生產的需要，科學的進步，向數學提出了解決上述四類問題的要求。于是，十七世紀的數學家們踏著前輩的足跡向微積分挺進了。 早在古代就有了微積分思想的萌芽。比如古代的人民用方磚砌圓；我國魏晉時劉徽的“割圓術”；祖暅原理及莊子的“一尺之棰，日去其半，萬世不竭”等等，都涉及到以直代曲和極限觀念，屬于微積分的樸素思想。古希臘歐多克薩斯、阿基米德利用“窮竭法”確定曲線圍成的面積，依據的是無窮小分析原理，這也是微積分思想的萌芽。但是真正形成微積分思想是十七世紀的事情。十七世紀法國數學家羅伯瓦、費馬，英國的巴魯，他們都各自研究出求曲線切線的方法。費馬在《求最大值和最小值的方法》（1637年）中討論了求函數極值的問題；法國開普勒的《測量酒桶體積的新科學》（1615年）涉及到求面積、體積、重心等問題；意大利卡瓦列利的《不可分連續量幾何》（1635年）用不可分原理制定了一種簡單的微積分。特別值得提出的是英國人瓦里斯的《無窮小算術》（1655年），運用了代數學形式，分析學方法及函數極限的初步概念，計算出很多閉曲線的面積：格列哥里的《論圓和雙曲線的求積》（1667年）明確指出求面積、體積、曲線長度需要用到與加、減、乘、除、乘方不相同的極限運算方法；巴魯的《幾何學講義》（1760年）還提出了積與商的微分法則及求定積分的一些個別的方法。這三位數學家是創立微積分的重要的先驅者。笛卡兒建立了坐標系，把變數引進了數學，為微積分的研究提供了工具。世界著名的英國科學家牛頓（1642—1727）少年時就矢志獻身科學，甘愿受“荊棘冠冕”的刺痛，三十多歲就熬白了頭發。他的橫溢的才華閃耀在數學、物理、天文等各個科學領域。牛頓在倫敦劍橋大學即將畢業時，為躲避當時流行的瘟疫返回家鄉。牛頓的“流數術”（微積分）就是這時發明的。牛頓受業于數學教授巴魯，從他的《幾何學講義》里學到了微積分的初步思想和無窮小分析的一些方法。此外，正如牛頓所說：“我從費馬的切線作法中得到了這個方法（流數術）的啟示。我推廣了它。把它直接地并且反過來應用于抽象的方程上。”牛頓還受到瓦里斯的直接影響，利用他的《無窮小算術》提出的求閉合曲線面積的結果，研究出了流數術。牛頓在1665年5月20日的手稿里第一次提出“流數術”。有人就把這一夭當做微積分的誕生日。形成牛頓流數術理論的，主要有三個著作：《運用無窮多項方程的分析學》、《流數術和無窮級數》和《求曲邊形的面積》。第一篇著作寫于1669年，正式發表于1771年。其中給出了求瞬時變化率的普遍方法，并證明面積可由變化率的逆過程求得。這是個重要的突破，它闡明了微分與積分的聯系，即現在所謂的微積分基本定理。當然，牛頓的推導在方法上與邏輯上是不嚴密的。第二篇著作寫于1671年，1763年發表。在這篇著作里，他改變了過去靜止的觀點，認為變量是由點、線、面連續運動而產生的。他把變量叫做“流”，把變量的變化率叫做 “流數”。牛頓還明確指出“流數術”的中心內容包括：（1）已知連續運動的路程，求某一確定時刻的速度（即微分法）。（2）已知運動的速度求某一確定時間內經過的路程（即積分法）。（3）將流數術用于求曲線的極值，計算曲線的切線、曲率、弧長、面積等。最后一篇著作寫于1676年，發表于1704年。是研究可求積（可積分的）曲線的經典文獻。牛頓為了建立沒有“無窮小”的微積分，消除不嚴密的“無窮小”的說法，在這篇文章里代之以“最初和最后的比”的說法，但這仍是一個不嚴格的模糊概念。牛頓在微積分上取得了極為重要的創造性的成果。但由于缺乏清晰嚴格的“極限”和“無窮小”的概念，未能把微積分建立在牢固的基礎上，因而遭到了一些人的批評和攻擊。萊布尼茲（1646—1716）是德國杰出的博學多才的科學家。他的學識涉及到數學、物理、機械、哲學、歷史、語言以至神學方面。大學畢業后，他長期從事外交工作，研究數學只是他的業余愛好。他是數理邏輯學的開山祖師，是機械計算機的發明人之一。萊布尼茲在治學上思緒奔放，厚積薄發，1671至1677年間寫下了大量數學筆記，卻從未發表出來。正是在這段時間里，他引進常量、變量與參變量等概念，從研究幾何問題入手，完成了微積分的基本計算理論。他研究了巴魯的著作，理解到微分和積分是互逆的運算。他還創造了微分符號 dx、 dxn以及積分符號∫；并給出復合函數求導法則，冪函數、指數函數、對數函數的求導法則，以及和、差、積、 商、冪、方根的求導法則；還于1680年得出用微積分求旋轉體體積的公式。萊布尼茲1680年公開發表了數學史上第一篇微分學論文《一種求極大、極小和切線的新方法》，1686年公開發表了第一篇積分學論文。萊布尼茲的微積分，雖然在與物理學的結合上不如牛頓，但方法更富有想象力與啟發性。他首創的微積分符號簡明精確，對微積分的發展起了強大的推動作用，一直在全世界流傳至今。但是他的理論不系統、不嚴密，很難為一般人理解。幸好，歐洲大陸的數學家們，如瑞士數學家族的伯努利兄弟等，熱衷于他的學說，整理并發展了他那些綱領性的、摘要式的著作，陸續發表了《微積分初步》等著作，使萊布尼茲的微積分得以發揚光大。牛頓與萊布尼茲在微積分的創立上，都做出了杰出的貢獻。可是，數學史上圍繞微積分的發明權卻發生了一場歷時百年的無聊爭論。這場爭論是由瑞士的丟利埃于1699年挑起來的，他斷言萊布尼茲的微積分是抄襲了牛頓的成果。萊布尼茲當即反駁，在1605年反唇相譏，暗示牛頓剽竊了他的成果。一石激起了兩個民族情感上的軒然大波。英國皇家調查會的報告說：“牛頓是微積分的創始人”，“萊布尼茲抄襲了牛頓的流數術”。英、德兩國各持一端，愈爭愈烈。直到牛頓與萊布尼茲都去世了，他們的追隨者們仍然爭論不休，綿延到十九世紀二十年代才算平息。牛頓曾回憶道：1676年“在和非常博學的數學家G?W?萊布尼茲的通信中，我告訴他我發明了一種可以求出極大值和極小值、畫出切線并解答類似數學問題的方法……我沒有把方法告訴他。這位著名人物回信告訴我，他也想到了同類型的一種方法，并把它告訴了我。他的方法除了定義、符號、公式和產生數的想法在形式上和我的不一樣以外，幾乎沒有多大的差異。”1675年10月29日，萊布尼茲的手稿中已經有了微積分的符號。可見，萊布尼茲在沒有得到牛頓的消息之前已經發明了微積分，他倆是各自獨立發明的。牛頓發明的時間比萊布尼茲早十年，而萊布尼茲公開發表的時間比牛頓早三年。無聊的爭論攙雜進了偏激的民族感情。英國當時固執于對牛頓的迷信，拒絕接受萊布尼茲及大陸學者對微積分的發展，致使英倫三島的數學水平遠遠落后于歐洲大陸。微積分的主要理論基礎是極限論。可是，當時“極限”、“無窮小”、“連續”等基本概念是不精確的，極限論是不完善的。微積分理論基礎不穩固的缺點，被一些唯心主義者抓住，進行了猛烈的攻擊。英國神學家貝克萊就是攻擊微積分的典型代表。牛頓的好友、數學家哈雷不信仰宗教，勸說貝克萊的病中的朋友拒絕了宗教的祈禱。貝克萊大怒，于1734年發表了一本小冊子，名為《分析學家——與一個不信神的數學家的對話》。咒罵微積分的推導是“分明的詭辯”，污蔑微積分“招搖撞騙，把人們引入歧途”。他極盡謾罵之能事，實質在兜售唯心論，維護宗教神學。與此同時，萊布尼茲在大陸上也遭到荷蘭紐文提的責難。紐文提認為萊布尼茲說不清“無窮小量”與“0”的區別，并認為在推導過程中不應略去無窮小量。法國數學家羅爾也曾經反對過微積分。在貝克萊的挑動下，造成了數學史上的“第二次危機”。展開了一場關于微積分奠基問題的大論戰，長達十多年之久。當時的著名物理學家朱林，數學家馬克勞林、泰勒等，對貝克萊進行了強烈的反駁。同時，這場論戰也激勵著大批數學家，如法國的達蘭貝爾、拉格朗日等對微積分的基礎概念做了深入的探討，促進了微積分理論基礎的建設。這正是“皆知敵之害，而不知為利之大”（柳宗元：《敵戒》）的道理。微積分在實踐中的勝利，迫使貝克萊后來也不得不承認：“流數術是一把萬能的鑰匙，借著它，近代數學家打開了幾何以至大自然的秘密。”馬克思在《數學手稿》中深入地研究了微積分的發展史，對微積分的本質進行了精湛的剖析，最后完成了微積分的奠基工作。恩格斯說：“在一切理論成就中，未必再有什么像十七世紀下半葉微積分的發明那樣被看作人類精神的最高勝利了。”（恩格斯：《自然辯證法》244頁）
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