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——以學生發展為本,不拘泥考試大綱 
點評:在《高觀點下函數導數壓軸題的系統性解讀》一書開篇對高觀點下的思考解釋一就是對超綱的思考,只有站在學科和學生的發展角度才會有正確的認識。《全國卷高考數學分析及應對》對超綱知識進行了兩次深入地分析,多個維度全面、徹底地分析了超綱題目和如何教學。2018 年全國 3 卷 20 題絕大多數的學生都沒有做出來,如果知道橢圓的焦半徑公式,則很快可以突破,參考答案的解法正好用常規方法推導了焦半徑公式 
那對于超綱知識的教與學該何去何從? 一、超綱試題命制的意義 學生的發展不拘泥于考試大綱,全國卷在 12、16 題的命題常常是鼓勵學生超綱,但也要求學生把核心思想方法掌握好。 
點評:立體幾何的學習在 “直觀感知——操作確認——推理論證——度量計算”這四個層面展開,因為立體幾何呈現給我們的是幾何結構,視角思維可以成為主導思維,即特別突出直觀感知。借助長方體這個載體,把所研究的點線面的位置關系聯系到一起,降低了立體幾何學習的門檻,這是新課改強調的理念,有了長方體,其長度的關系為計算帶來了便利,求角困難時,還有向量法作為保障,運動變化的觀點的是基本觀點,作為一般的學生深刻理解這些基本思想方法,也能高效地解決此問題,三余弦公式揭示了線面角、射影角和線線角之間的關系,在線線角計算有困難的時候,可以借助線面角和射影角來轉化,作為特優生,不受制于考綱,廣泛地學習和專研。二、“一題多解”中的超綱與不超綱 學生的知識結構、能力結構、思想方法體系不一樣,對于同一個題目,有不同的視角、這就對應著不同的思維方式,就會有不同的方法,有些優秀的學生掌握的知識、思想方法超過考試大綱,其解法也自然會超綱。所以我們很難精確的界定一個題的考查超綱和不超綱,早在上個世紀 90 年代,就提出了高考“依據考綱、但不拘泥于考綱”,高考的 12 題、16 題都是以能力和思想立意,所以知識的定位應該從屬于思想能力定位。同時也讓學生在不同的階段、不同的水平看經典的高考題目,往往有不同的視角和不同的思維方式,往往能更好地解讀高考題目,領會命題思路。
在教學的時候,要準確把握學生的知識、能力結構,在合適的時間選擇合適的方法,應該多給學生呈現這樣多個角度都可以切入的題目,一題多解有助于學生思維的發散,但最重要的不是解法,而是對解法的點評和認知,方法的選擇應該從屬于“思想能力”的定位,鼓勵熱愛數學的學生多專研,多思考,不受制考綱的限制。一題多解也有助于學生發現某種方法使用的恰當與否,比如:
三、超綱知識的理解和把握命制試題“難”的度
反函數作為一個極其重要的概念,新教材突出函數概念、淡化了映射,因為沒有一一映射作為鋪墊,反函數這個概念沒法深入地講解。考綱的制定要參考課程標準,但全國卷兩次都對反函數提出了很高的要求,超越了考試大綱,明確提出特優生應該掌握。但與反函數的相關知識很多,“度”的把握是關鍵,對于優秀的學生,緊扣考綱要求,結合高考題目,理解反函數的概念、在實際問題情景中能夠認知反函數、會求反函數、原函數和反函數圖像關于 y = x 對稱,這些都是應該掌握的,當然作為數學愛好者來說,還可以掌握反三角函數等,不受制任何限制,理解知識的本質,廣泛地學習和思考。根據學生的情況,可以設置如下三個層次的題目:
四、注意超綱知識和必備知識的相互替代性及解題層面的優越性 新課標刪除了夾角公式,原因是可以利用向量來處理夾角。但就解題而言,有時候卻有一點差異,對于特優生來說,這些都應該掌握,還應該掌握夾角公式和向量之間的聯系。
橢圓上到長軸兩個頂點張角最大為的點位于橢圓短軸的端點,用同樣的方式容易說明雙曲線上的點到實軸頂點連線張角的變化規律。那橢圓上的點到兩個焦點張角最大在什么位置呢?可以利用余弦定理,夾角公式,但用向量法是最優化的。
五、超綱知識和數學思想、能力的互補 考綱明確指出:了解函數單調性和導數的關系;能利用導數研究函數的單調性,會求函數的單調區間(其中多項式函數,理科要求一般不超過三次,文科明確說不超過三次).因為超過三次,會涉及三次不等式的解法,高考是不做要求的。
點評:法一的解法,很自然,這是超過考試大綱的,但如果能夠理解均值不等式求最值“湊定”的思想,也可以突破。既鼓勵優秀學生不拘泥于考綱,也要求學生掌握知識的核心思想方法,這是高考的不變的命題思路。這在文科復合函數的考查體現得更明顯,復合函數的導數,考試說明沒有提及過,文科是不要求掌握的,但高考年年堅持超綱。
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