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壓縮感知技術（CS,Compressed Sensing）因其能夠大幅度提升MRI采集效率、降低采集時間而被大家所知，但它究竟是如何實現在盡量保證圖像真實信息的情況下實現成像速度提升的呢？帶著好奇、疑問和期待，讓我們一起來學習壓縮感知在MRI中的工作機制。 介紹CS之前，我們先來觀察兩張圖片，如下圖所示，左圖為原始圖像：15MB；右圖為該圖片的JPEG格式：150KB。盡管兩幅圖像的存儲空間大小相差百倍，但肉眼幾乎察覺不到兩幅圖像的在細節上的差異，也就是說該圖像是可以被壓縮的。那么，如果圖像數據可以被壓縮，是不是說明在傳感器端采集的信息過多呢？ 受此啟發，我們再來回顧一下傳統的MRI采樣過程。采集的信號被存放在一個虛擬的K空間中，為了保證經過DFT變換重建出來的圖像不失真，在頻率和相位方向上必須同時滿足Nyquist采樣定理，即：采樣頻率應不低于模擬信號頻譜中最高頻率的2倍，即fs≥2fmax。一般來說，采集的信號越多，所花費的采集時間越久。但是，如此高的信號采樣對于圖像重建來說是否是絕對必要的呢？我們能不能用另一種方法采集數據，即只采集壓縮后的對我們的視覺“感知”有作用的數據呢？ 答案是肯定的，也就是壓縮感知技術CS。因此，可以說對于可壓縮數據而言，Nyquist采樣定理是信號重建的充分而不必要條件。 壓縮感知是由美籍華人科學家陶哲軒等提出的一個全新的采樣理論，通過利用信號的稀疏特性，在遠小于Nyquist 采樣率的條件下，用隨機采樣獲取信號的離散樣本，然后通過非線性迭代算法進行圖像重建。通俗的說，可以在僅僅采集少量數據的同時，保持良好的圖像質量。理論很簡單，實施起來難度很大。雖然數據是可以被壓縮的，但是我們該怎么去“感知”它？如果一開始只采集少量的數據，那應該怎么采集？用什么方式進行采集？采集完之后如何重建出不失真的圖像？這就涉及到壓縮感知理論的三個核心要素。1、不相干性信號欠采樣；2、稀疏變換；3、非線性迭代重建。值得注意的是，我們不能簡單的理解1、2、3的序號代表這三個要素工作的先后順序，實際上它們是相互影響甚至是同步進行的。接下來，我們逐一介紹： 在壓縮感知CS理論中，對MR信號進行隨機欠采樣，以保證其不相干性。其論證過程涉及過多種信號處理算法，在此不做具體介紹，可參見：DonohoD L. Compressed sensing 2005。如下圖所示，分別表示不同的采樣原則對圖像重建的影響。(a)完全采樣：可重建出完整圖像；(b)中心采樣：可顯示圖像對比度信息；(c)并行采集（規律性欠采樣）：圖像出現由于并行采集導致的卷褶偽影；(d)隨機欠采樣：重建出圖像的同時出現類似噪聲的偽影。 
考慮到k空間能量分布的不均勻性：K空間中心的能量高度集中，由中心向k空間四周快速衰減.在隨機采樣中，并不會進行一個完全均勻隨機分布的采樣(f)，而是采用變化密度隨機采樣(g)。這樣k空間的中心采樣更加密集，與k空間中的能量分布規律相符合，使得圖像上的重要信號與噪聲不相干，也可以說使信號和噪聲的差異更顯著，更易于分離。
所以對于不相干信號采樣的簡單理解就是為了讓欠采樣重建出的具有卷褶偽影的圖像類似于圖像噪聲，在K空間采集過程中每條欠采的K空間線都不具有相干性（規律的K空間欠采將導致明顯的圖像卷褶偽影，如圖e），同時為了保證圖像的對比，K空間中心盡量多采集而邊緣部分少采集。 壓縮感知不相干采樣數據采集的特點提示壓縮感知技術的數據采集并不依賴于高通道的接收線圈，任何線圈都能夠實現壓縮感知的信息采集，但是多通道線圈再結合不同的并行采集算法能夠進行并行采集成像，再理論上能夠進一步減少K空間信息的采集。同時為了最大程度的減少采集的數據（增大加速倍數）和數據的不相干性，壓縮感知的應用在三維或者更多維成像中顯得更為有意義，而傳統的二維成像，使用并行采集及同時多層激發已經能夠實現很大的加速，利用壓縮感知的數據采集的不相干性也相對較差。 什么是稀疏（sparse）特性？圖像稀疏性可以理解為圖像上的重要信息集中在較少的像素點上表現出來，而其它的大部分像素只有很低的信號。如下圖中，我們認為左圖的血管圖像是稀疏的，因為除血管以外的背景信號都很低。右圖因大多數體素都顯示了不同的信號強度而不稀疏。但其實，這個判斷標準只是基于圖像域的視覺評估。那么，如果我們能夠換一個角度（類似像FFT一樣，實現圖像域到頻率域的轉換），圖像的稀疏特性會隨之發生改變嗎？
實際上，稀疏變化的目的就是為了提高圖像的稀疏性。稀疏變化發生在不同的空間域之間，經過變換，相關圖像內容被重新“分解”，圖像結構信息在這個變換域進行了重新擺列。下面我們通過一個小波變換的例子來感受一下這個過程。小波變換是一個圖像的多尺度的表現，它的多分辨率分解能力可以將圖像信息一層一層分解剝離開來,而剝離的手段就是通過低通和高通濾波器。如下圖紅色范圍所示：左上角圖像是圖像的近似，相當于圖像的低頻部分(兩個方向的低通濾波器)；而其它三張圖是圖像的輪廓，分別代表是圖像水平，垂直和對角三個方向的細節，是圖像的高頻部分。具體地，右上角為垂直輪廓(水平方向為高通濾波器，垂直方向為低通濾波器)、左下角表示水平輪廓(垂直方向為高通濾波器，水平方向為低通濾波器)、右下角表示對角邊輪廓(兩個方向都是高通濾波器)。這個過程可以不斷重復，圖像成分也便進行了更精細地分解。如本例所示，使用2D小波變換，進行了兩層分解。
經小波變換后，可得到的是原圖像不同尺度小波成分及其對應的系數組合。當系數小到一定程度的時候，它所代表的結構信息，在人眼觀察下已經是無足輕重了,可視為“可壓縮的”的量，通過閾值將其置零，而不會丟失重要的圖像內容。這樣，在小波域閾值化之后原始圖像的稀疏性就提升了。實際上在很多變換域上，稀疏變換性質都是成立的，比如特征值分解，有限差分、奇異值分解等。因此信號采集階段就沒有必要采集那些系數為0或者接近于0的值，相反，只采集少量非零系數，而允許一定的不確定性。然后通過稀疏模型及迭代重建算法來解決不確定性。 所以稀疏變換的過程就是將經過快速傅里葉轉換后的圖像轉換成另外一個能夠區分圖像稀疏信息的域，然后再經過域的過濾減少噪聲。在臨床應用中，最為常見的稀疏的圖像是亮血血管成像，心臟電影成像以及動態增強成像等等。這些圖像的表現形式是在三維或多維圖像上，圖像的對比強烈或者在不同的維度上圖像的信號變化集中在某些區域。同時，稀疏變換的過程也是一個尋找的過程，在臨床應用中如何把一幅看似不稀疏的圖像變換到另外一個域中，并能區分出圖像的不同稀疏特性是一項重要的挑戰。 對于滿足稀疏性的信號，其優勢在于：當信號被背景噪聲干擾時，可通過閾值設置的方法來去除噪聲。即:無需知曉信號在哪，只需要簡單的閾值設置就可以分割絕大多數噪音信號。如下圖所示：
上下兩行分別表示圖像信號及與之對應的頻域信息。噪聲圖像（1）由于隨機采樣k空間造成了類似噪聲的混疊偽影，且其分布較為隨機；（2）利用有限差分變換提高圖像的稀疏性，使得圖像信號和噪聲信號分離；（3）閾值化，即：將所有低于閾值水平(紅線)的系數設置為0。（4）當圖像再次被轉換回其原始域后，噪聲信號被去除。 由上例可知，通過稀疏變換和閾值去噪的方法可獲得較好的圖像質量，為什么還要進行迭代重建？實際上，上例屬于理想中的一種情況，體模本身有非常高的信號，并且遠遠高于噪聲值。因此只需要通過很簡單的一個設定閾值的步驟就可實現噪聲去除。而在實際的臨床應用當中，會有些解剖位置本身信噪比較低，如果只是簡單的用一個設定閾值的步驟去噪的話，就會造成這些解剖位置本身的真實信號被當成噪聲一起去掉，進而影響最終圖像的真實性。為了避免這種情況的發生，需要使用迭代重建。它的作用就是在確保重建圖像與真實數據之間的一致性的同時，最大程度去除噪聲。迭代函數如下所示： 
由上式可知，該函數包括兩部分：數據一致性和變換稀疏性。數據的一致性是指重建后的圖像的K空間數據與原始采集的K空間數據必須保證在一定的范圍之內，以確保重建圖像的準確性；而變換的稀疏性是指重建后的圖像的稀疏性，在進行迭代重建之前的圖像由于不相干采集導致的圖像類噪聲的偽影，使得圖像的稀疏性較低，而經過迭代重建后，需要提高圖像的稀疏性以提高圖像的信噪比，但同時也可能損失圖像細節而導致數據一致性的降低。所以迭代重建的過程就是在二者之間找到平衡。其流程如下圖所示； 
通過非相干欠采樣得到K空間，①經過傅里葉變換重建出一幅圖像，但這個圖像存在類似噪音的混疊偽影。②為了去噪，需進行稀疏變換，并通過設置閾值的方法來去除噪聲(即混疊偽影)。但是這樣，盡管噪聲去除了，卻犧牲了數據與測量k-空間y的一致性。③通過比較(去噪)圖像的對應的k空間和測量k空間來檢查數據的一致性，得到一個差異K空間。④使用FFT從這個“差異k空間”計算一個“差異圖像”。最后，將“差異圖像”疊加到原來的圖像中作為校正，并更新圖像。經此過程后，數據一致性增加了，但其稀疏性卻降低了。實際上，迭代重建就是不斷地重復“以數據一致性為代價增加稀疏性”和“以稀疏性為代價增加數據一致性”的交替過程。每次迭代都將改進總結果，當最后滿足最優化函數的最小條件時，也就是認為我們數據采樣造成的信號的稀疏性非常好，且實際采樣取得的K空間數據和重建出來的圖像反FFT得到的K空間數據之間的差值最小時，迭代重建才終止。 通過上述的非線性迭代重建可知，通過壓縮感知加速技術獲得的圖像質量取決于對數據一致性以及變換稀疏性閾值的設定，當閾值設定不合理時，可能出現獲得的圖像信噪比特別高，但是圖像缺乏細節而不適用于臨床應用的情況，所以目前不同公司壓縮感知成像算法的應用都需要進行大量的臨床驗證以找到最佳的保持數據一致性又能夠提升圖像信噪比的閾值，而該閾值的設定與掃描序列，參數，臨床應用場景等都息息相關。下圖中右側圖像信噪比非常高，但是缺乏組織對比，并不能應用于臨床診斷。
綜上，壓縮感知是在低于Nyquist 采樣率的條件下進行變化密度隨機采樣，實現加速掃描的同時保證了圖像成分之間的不相干性，使其混疊偽影類似于噪聲。為了提升其稀疏性從而去除噪聲，需進行稀疏變換，即在某一空間域實現稀疏，并通過閾值設置去除噪聲。在實際的臨床圖像應用中，信號分布更為復雜，簡單的稀疏變換和閾值化并不能同時保證噪聲去除和圖像的真實性。因此，需重復進行稀疏變換（去噪）和確認數據一致性的迭代過程，在二者之間找到平衡，最終實現高信噪比的圖像重建。Donoho D L . Compressed sensing[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2006, 52(4):1289-1306.
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