 艾薩克·牛頓的確是一個天才，但他可能并不適合當朋友。  牛頓是一個睚眥必報的人，比如有一次，牛頓在上學路上，被一個同學踢了一下肚子，牛頓既沒有回擊，也沒有與其爭吵，而是默默記下了此仇。那天放學后，牛頓將這個人帶來了一個沒人的空地上，二話不說就上去拳打腳踢，胖揍了一頓。雖然牛頓沒有欺負他的同學健壯，但他斗志高昂，就像他日后研究萬有引力時一樣，意志堅定，一直打到對方求饒，而且據說為了羞辱這個欺負自己的小霸王，牛頓將他的鼻子摁在了教堂的墻上。 再比如，胡克，這位同時期偉大的科學家，生前與牛頓不對付，結果導致了他死后，牛頓利用手中的職權，將他的雕像和肖像全毀了，以至于至今沒人知道胡克究竟長什么樣，倒是牛頓自己的那個大波浪，早已深入人心。  不過，同時期瘋狂的天文學家哈雷與牛頓關系處得不錯，牛頓那本《自然哲學的數學原理》最終得到出版，哈雷也貢獻了不少力。當牛頓與胡克還在爭論一些有的沒的時，哈雷作為倆人之間的潤滑劑，一直寬慰牛頓。否則，以牛頓的暴脾氣，他很有可能直接不出版了。 牛頓出生于1643年1月4日，很多人以為這一天正好是伽利略去世的日期，實際上，伽利略去世于1642年1月8日。說牛頓出生于1642年圣誕節的，是按照舊歷算的。 牛頓的出生并非錦衣玉食，這點與法國的拉瓦錫是不能比的，人家拉瓦錫是貴族出生，一輩子不缺錢，可以專心致志地稿科學研究，而牛頓顯然沒有這個條件。 牛頓的童年是不幸的，因為他的爸爸在他出生前就去世了，他的媽媽在他三歲的時候改嫁。改嫁之后，牛頓被“拋棄了”，這讓他從小就有一種失落感，這樣的經歷影響了牛頓的性格，也影響了他一生。我們有理由相信，正是這種童年時期的成長環境，造就了牛頓日后帶刺的性格。  很顯然，牛頓在物理學與天文學上的貢獻遠遠超過了在數學上的貢獻，但這里是【瘋狂的數學家】，因此只講牛頓與數學之間的故事，至于他在其他領域上的貢獻，就等著【瘋狂的物理學家】和【瘋狂的天文學家】里的牛頓出場吧。 一份注明日期為1665年5月20日的手稿表明，牛頓在23歲時已經充分發展了微積分的主要原理，能夠用它找出任何連續曲線在任何給定點的切線和曲率。他稱他的方法為“流數法”——出自“流動”或變量以及它們的“流率”或“增長率”。在這以前他發現了二項式定理，這是向完全發展微積分邁出的重要一步。 年輕時的牛頓經過對二項式展開的研究，想出了一個可以直接推導二項式系數的公式，而不必再繁瑣地構造三角形，只要將其延伸到所需要的那行了。并且，他堅信，凡是模式就一定能始終適合同類的問題，因而他猜想，能夠正確推導出諸如（a+b）2或（a+b）3這類二項式系數的公式，也應該適用于像（a+b）^1/2或（a+b）^-3這種形式的二項式。  最后，牛頓得出結論：1-x=（1-1/2x-1/8x2-1/16x3-…）2，換言之，根號（1-x）=1-（1/2）x-（1/8）x2-（1/16）x3-…  牛頓的二項式定理，其實可以求一些開方運算，比如根號7，這是一個無理數。在沒有計算器的幫助下，會讓很多人望而生畏，不知道該怎么求。 好，我們將其轉換一下，7=9（7/9）=9（1-2/9）  因此，根號7=根號9（1-2/9）=3根號（1-2/9） 我們將其展開，只要將上面的x換成2/9就行了，得：根號7≈3（1-1/9-1/162-1/1458-5/52488-7/472392）≈2.64576 用這個辦法求出來的值，可以精確到小數點后四位。有人說，這也很麻煩，想一想，那是一個什么年代，沒有計算器的年代哦。 而且，我們還可以用這種辦法求立方根，四次方根的近似值。 牛頓無疑是一個站在巨人肩膀上的人，他從笛卡爾那里繼承了解析幾何，從開普勒那里繼承了行星運轉軌道。根據開普勒的三大定律，牛頓開創了自己的三大運動定律，其中第二條是有關變量的問題，和變化率有關。 變化率讓牛頓產生了好奇，我們都知道，動量是物體的質量乘以速度。當然，這里的質量是不變的，如果物體運動的速度接近光速，那么它的質量就會增加，但這顯然跑題了，屬于愛因斯坦的管轄范圍，牛頓管不著。 要考慮動量的變化，就要回到速度的變化，而速度其實就是位置的變化率。牛頓找到了解開這一謎題的鑰匙，不管這個質點的運動是多么不規律，只要運用微分，就會變得異常清晰。 由變化率產生的另一個問題又使牛頓找到了另一把鑰匙，就是積分。怎樣計算一個速度每時每刻都在變化的運動的質點在給定的時間內跑過的全部距離呢？在解答這類問題時，積分學從牛頓手中誕生了。 微分和積分融合在一起，就成了微積分，在當時的牛頓手稿中被稱為流數，借助這個合二為一的新工具，牛頓后來發現了萬有引力定律。 函數這個詞最早是萊布尼茨于1694年引入的，比如，我們假設一個y與x的函數，形如y=f（x），那么y相對于x的變化率，也就是y相對于x的導數，是怎么下定義的？ 我們再假設，給x一個增量，△x，使x=△x+x，而y就成了f（△x+x）。隨著x的變化，y也跟著變化，y的增量就是△y，是y的新值減去原來的值，即Δy=f（x+Δx）-f（x）。 我們取y的增量與x的增量相除的結果，也就是△y/△x，作為y相應于x的變化率的粗略近似。  但這顯然很粗糙，我們令△x無限減少，逼近于零，在這個過程中，△y也不斷減少，最終趨近于零。但有意思的是，△y/△x的比值不可能趨于零，而是有一個確定的極限值，它就是所要求的y相應于x的變化率。 當年的貝克萊主教就敏銳發現了其中的這一個問題。牛頓并沒有給無窮小給出清晰的定義，因此就造成了一個尷尬混亂的局面。 關于無窮小，比如我們計算一輛車子的速度，平均速度很好計算，開過的路程除以時間就是答案，但是瞬時速度呢？我們就要去求無限小時間內的平均速度，約等于瞬時速度。問題來了，這個無窮小的時間可以為零嗎？  貝克萊就發現了其中的貓膩，因為牛頓曾給出過三種不同的解釋，1669年說它是一種常量；1671年又說它是一個趨于零的變量；1676年它被“兩個正在消逝的量的最終比”所代替。于是，貝克萊問牛頓，這個無窮小可以是零嗎？如果是，它又怎么作為分母呢？要知道，從最基礎的數學來講，分母是不能為零的；如果不是，那這個瞬時速度還是平均速度嗎？約等于不等同于等于啊。 對于貝克萊的質疑，實際上連牛頓也不知道該如何是好，萊布尼茨也對此束手無策，這就引發了數學史上的第二次危機，簡而言之就是“一個無窮小帶來的危機”。這場危機，歷經好幾代人的努力，最終，是柯西在1821年的《代數分析教程》中給解決了，他從定義變量出發，認識到函數不一定要有解析表達式；他抓住了極限的概念，指出無窮小量和無窮大量都不是固定的量而是變量，無窮小量是以零為極限的變量。  微積分的穩定大廈，在一開始的時候被貝克萊撞了一下，搖搖欲墜，直到一百年后的柯西時代，才趨于穩固。 好，繼續回到微積分，在物理學中，最顯而易見的變化率就是速度與加速度，這是力學中的兩個基本概念。速度是距離相對于時間的變化率，加速度是速度相對于時間的變化率。當然，這里的時間是不變的，隨著物體運動速度的增加，時間變慢的效應，還是屬于愛因斯坦的管轄范圍，牛頓管不著。 這里就引出了變化率的變化率，或稱二階導數，因為在加速運動過程中，速度不是一個常量，而是一個變量，因此它就有變化率。而加速度則是距離的變化率的變化率，兩個變化率都相對于時間。 當然，有二階導數就會有三階、四階甚至更多階的導數，但一般而言，在微積分中，最重要的是一階導數和二階導數。 牛頓通過解析幾何，算出了π的近似值，這怎么做到的呢？其實很簡單。 首先，我們來畫一個笛卡爾直角坐標系，以點（1/2，0）為圓心，1/2為半徑畫一個圓。我們就會得到這個圓的方程式：（x-1/2）2-（y-0）2=（1/2）2，展開來，得：x2-x+1/4+y2=1/4 好，我們截取其在直角坐標系中第一象限的半圓，我們可以得到半圓的方程式為：y=根號（x-x2）=根號x根號（1-x）=（x^1/2）（1-x）^1/2 好，接著我們將（1-x）^1/2用二項式定理展開，得：y=（x^1/2）（1-1/2x-1/8x2-1/16x3-…） 接著，我們在創造一個點B，位于（1/4，0）處，作一條過點B垂直于x軸的垂線，與半圓相交于D點，然后求陰影ABD的面積。 這個時候，牛頓的微積分派上用場了，最終我們算出來陰影ABD的面積約等于0.07677310678 我們再來求一下扇形ABD的面積，其等于半圓面積的1/3，得π/24 看下圖，很容易得到，陰影ABD的面積=扇形面積-三角形DBC的面積，而三角形DBC的面積很好求，底乘高的一半。然后我們得0.07677310678=π/24-根號3/32 最終我們算出了π的近似值，約等于3.141592668 牛頓的天才之處在于，只用了二項式展開的前九項，就使其π值精確到小數點后7位，而且誤差非常小，不超過0.000000014 1716年，牛頓74歲，他的老對手萊布尼茨向他提出了一個困難的挑戰，實際上，這是歐洲大陸對英倫三島的挑釁。牛頓在下午5點接受了挑戰，當天晚上就解決了這個問題。牛頓天才的地方還在于，他能夠在頃刻間將所有的智力都集中在一點上，這種能力，在整個世界史上都難以找到第二個人。 1727年3月20日，牛頓于凌晨在睡夢中去世，享年85歲。他是一個極其幸運的人，哪怕是到了晚年，生命中的最后幾年，盡管他要不間斷忍受結石病的折磨，但身體的其他方面都還算健康。 或許，在被結石病困擾的那陣子，牛頓想起了年少時欺負自己的惡霸，他樂觀而豁達，再一次選擇了隱忍，這次隱忍主要針對疾病的折磨。面對困難，他毫不畏懼，即使痛苦，他也說著感恩的話。（牛頓年輕時可能年輕氣盛，脾氣不太好，但中國有句話叫“人之將死其言也善”，或許晚年的牛頓，與自己和解了，也與曾經的對手和解了） 牛頓，就像那黑夜里的一顆流星，劃過了夜空。上帝說有光，于是有了牛頓。 下期：萊布尼茨 |
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