【原】從一元二次方程的教學看高等代數中的一元多項式理論

筆者近日受邀在一個輔導機構代課,授課面向的對象是八年級學生.由于這批學生的數學基礎薄弱(從機構上課第一天的模擬考試可見這一結論),因此輔導機構負責人與筆者商議先為這些學生補習八年級課程內容.從他們所使用的教材來看,八年級下冊所學習的課程內容有：

• 二次根式;
• 一元二次方程;
• 勾股定理;
• 四邊形;
• 數據的初步分析.

筆者原本打算按部就班先從二次根式開始教學,然而當看到學生的模擬卷第一題做題情況后便改變了自己的計劃.第一題題干是:

一元二次方程的兩個根是(   ).

有不少同學這道簡單的題目都做錯了,因此筆者非常不淡定地將課程計劃修改為:先教授一元二次方程的解法.如果簡單的方程都不會解,那還怎么學習二次函數以及高中數學?

筆者在課堂中極盡所能地將一元二次方程的基本知識點講解清楚,為學生概括了以下一些基本知識和口訣:

之所以要用口訣進行教學,是因為絕大多數授課學生的基礎水平不容樂觀.很多看起來很簡單的概念和結論,在他們看來也是十分復雜和晦澀的.值得一提的是,筆者在教學的過程中考慮到不同學生的水平參差不齊,為了能夠照顧到不同學生的實際需求,在具體開展教學時額外講解了補充知識點.目的之一也是為了開闊他們的眼界.以下是筆者的一些教學補充要點.

一、與虛數單位

我們知道對于一個一元二次方程

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例1：一元二次方程的兩個根為,其中滿足.

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八年級的學生頭腦中認定一個數的平方一定是非負數,怎么可能出現復數呢?對此,筆者解釋到：在中學階段接觸到的數都是實數,在實數范圍內那么一個數的平方自然是非負的.倘若我們像有理數擴大到實數那樣對實數再進行擴充,則結果自然是不一樣的.對于一個復數來說,它的平方有可能為.

當然學生只是簡單知道了這一結論,筆者也并不打算深入講解,只是點到為止并且勸告學生在答題時還是要寫"時,則該方程沒有實數根"這一亙古不變的結果.其實,從后面的課堂中,筆者可以感覺出部分成績不錯的同學已經慢慢接受了這一"新穎"結論.

二.完全平方公式與完全立方公式、平方差公式與立方差(和)公式

一元二次方程中十分重要的方法就是配方法.可以說,配方技巧已經是一元二次方程求解的核心.無獨有偶,在高等代數的二次型理論里,我們也是將一個一般二次型通過配方的方式化為標準二次型.讀者如果細心地對比一下,不難發現二者的共通之處.值得注意的是,一元二次方程中的配方法有賴于完全平方公式,因此學生必須對完全平方公式非常熟悉才行.讓人感到意外的是,中學教學里幾乎很少介紹完全立方公式和立方和(差)公式,特別是后者更是很少涉及.

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例2:（完全立方公式）

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例3: (立方和公式)

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在寫出完全立方公式(“+”的情形)和立方和公式后,筆者引導他們推出另一個完全立方公式和立方差公式.其實這里只需要將替換即可,而不需要再次計算以得出結果.對此,學生給出的反應是:

Figure1:小哥的表情包

三.推廣的韋達定理

我們知道一元二次方程的韋達定理是:

?

韋達定理:若一元二次方程的兩個根分別為,則有

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關于這個定理,筆者在課堂上為他們展示了一下推導過程,其實也就是用到了一個平方差公式.除此之外，筆者也跟他們說了:一元二次方程的韋達定理可以推廣到一元次方程,只不過是大學數學系學生才會學習到的內容.或許是擔心學生以為我騙他們,所以筆者下午帶了下面這一本書給他們看:

Figure2:陳躍、裴玉峰《高等代數與解析幾何》上冊

在這本書上冊的第四章（多項式）4.6小節里詳細地闡述了這一結果,作者先以三次方程的根與系數的關系入手,然后再細致地引出次代數的根與系數的關系,即所謂的推廣的韋達定理（詳細結果可以參考高等代數教材）.

Figure3: 4.6節三次多項式根與系數的關系

中學階段比較難以解釋的一個結果是:為何一個沒有實數根的一元二次方程,按照韋達定理可以寫出與系數之間的表達式?為了能夠解答學生這方面的疑惑,筆者再次強調了若判別式小于0則兩個根是復數根這一事實.用數學語言表述即為:

?

若,則,同樣有

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關于這一問題,有一位同學在課堂上反應了過來,筆者認為這樣的適當補充是有效果的.當然,教學處理中要適可而止.

其實高等代數中的一元多項式理論可以下放到高中去教，如果我們對數域的要求不是那么高的話。一方面，多項式理論與初等數論聯系比較密切，而中學階段數論知識是作為競賽方式來考查的；另一方面，如果一個學生對一元二次方程感興趣的話，那么只要作適當地引導可以讓學生較為輕松地接受一元高次方程的相關結果，比如著名的代數學基本定理等結論。學生未必要了解具體的數學語言，他們可能更關心這個結果的淺層含義。如果授課者能夠以較為通俗易懂的例子普及大學數學課程的一些知識，想來對引導他們學習高深數學非常有益。