中考數(shù)學(xué)壓軸題分析：矩形手拉手

（2021·日照）問(wèn)題背景：
如圖1，在矩形ABCD中，AB＝2，∠ABD＝30°，點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB交BD于點(diǎn)F．
實(shí)驗(yàn)探究：
（1）在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中，小王同學(xué)將圖1中的△BEF繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，如圖2所示，得到結(jié)論：①　　；②直線AE與DF所夾銳角的度數(shù)為　 　．
（2）小王同學(xué)繼續(xù)將△BEF繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)至如圖3所示位置．請(qǐng)問(wèn)探究（1）中的結(jié)論是否仍然成立？并說(shuō)明理由．
拓展延伸：
在以上探究中，當(dāng)△BEF旋轉(zhuǎn)至D、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，則△ADE的面積為　    　．

【分析】

（1）根據(jù)圖1可以得到△ABD∽△EBF，那么在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中始終保持這個(gè)關(guān)系。可以得到對(duì)應(yīng)邊成比例且夾角相等，此時(shí)可以得到△DBF∽△ABE。那么求AE與DF的比值就可以轉(zhuǎn)化為BE與BF的比值了。而AE與DF的夾角也可以進(jìn)行轉(zhuǎn)化，根據(jù)X字型可以得到等于∠ABD的度數(shù)。

（2）雖然旋轉(zhuǎn)的方向不一樣，但是結(jié)論依然成立。方法類似。

（3）由于點(diǎn)D、E、F三點(diǎn)共線，所以需要分類討論，可能為E在中間，也有可能為F在中間。先畫出圖形，根據(jù)∠BEF為90°，可以得到△BEF的邊長(zhǎng)以及DB的長(zhǎng)度根據(jù)勾股定理得到DC與DF的長(zhǎng)。

①情況1，如下圖：

②情況2，如下圖：

【答案】解：（1）如圖1，∵∠ABD＝30°，∠DAB＝90°，EF⊥BA，
∴cos∠ABD，
如圖2，設(shè)AB與DF交于點(diǎn)O，AE與DF交于點(diǎn)H，

∵△BEF繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，
∴∠DBF＝∠ABE＝90°，
∴△FBD∽△EBA，
∴，∠BDF＝∠BAE，
又∵∠DOB＝∠AOF，
∴∠DBA＝∠AHD＝30°，
∴直線AE與DF所夾銳角的度數(shù)為30°，
故答案為：，30°；
（2）結(jié)論仍然成立，
理由如下：如圖3，設(shè)AE與BD交于點(diǎn)O，AE與DF交于點(diǎn)H，

∵將△BEF繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，
∴∠ABE＝∠DBF，
又∵，
∴△ABE∽△DBF，
∴，∠BDF＝∠BAE，
又∵∠DOH＝∠AOB，
∴∠ABD＝∠AHD＝30°，
∴直線AE與DF所夾銳角的度數(shù)為30°．
拓展延伸：如圖4，當(dāng)點(diǎn)E在AB的上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AE于G，

∵AB＝2，∠ABD＝30°，點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，∠DAB＝90°，
∴BE，AD＝2，DB＝4，
∵∠EBF＝30°，EF⊥BE，
∴EF＝1，
∵D、E、F三點(diǎn)共線，
∴∠DEB＝∠BEF＝90°，
∴DE，
∵∠DEA＝30°，
∴DGDE，
由（2）可得：，
∴，
∴AE，
∴△ADE的面積AE×DG；
如圖5，當(dāng)點(diǎn)E在AB的下方時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AE，交EA的延長(zhǎng)線于G，

同理可求：△ADE的面積AE×DG；
故答案為：或．