巧構原函數 妙解導數構造問題

賈志錦

(江蘇省連云港市田家炳中學 222500)

摘 要：在導數問題中，通過構造原函數能夠起到化難為易的關鍵作用.本文主要通過例題的形式分析了常見的原函數構造方法.

關鍵詞：原函數；導數；構造

在處理導數問題時，常常可以根據題目已知條件或相關結論進行構造輔助函數，再依據題目所給的相關不等式、方程或者最值相關的問題，建立目標函數，進而研究所給函數的性質，把復雜問題簡單化.

一、根據導數的加、減運算法則構造函數

例1 已知函數f(x)，g(x)均為[a，b]上的可導函數，在[a，b]上連續，且f ′(x)<g′(x)，則f(x)-g(x)的最大值為( ).

A.f(a)-g(a) B.f(b)-g(b)

C.f(a)-g(b) D.f(b)-g(a)

解析 設F(x)=f(x)-g(x)，F′(x)=f ′(x)-g′(x)<0，所以F(x)在[a，b]上單調遞減.所以F(x)在[a，b]上的最大值為F(a)=f(a)-g(a).

點評 因為f ′(x)的原函數為f(x)，g′(x)的原函數為g(x)，再根據所給導數的不等式，可知原函數對應的為F(x)=f(x)-g(x).

二、根據導數的乘法運算法則構造函數

例2 已知函數f(x)是定義在R上的偶函數，設函數f(x)的導函數為f ′(x)，若對任意的x>0都有2f(x)+xf ′(x)>0成立，則( ).

A.4f(-2)<9f(3) B.4f(-2)>9f(3)

C.2f(3)>3f(-2) D.3f(-3)<2f(-2)

解析 根據題意，令g(x)=x2f(x)，則其導函數g′(x)=2xf(x)+x2f ′(x).又對任意的x>0都有2f(x)+xf ′(x)>0成立，則當x>0時，有g′(x)=x[2f(x)+xf ′(x)]>0恒成立，即函數g(x)在(0，+∞)上單調遞增.又由函數f(x)是定義在R上的偶函數，則f(-x)=f(x)，則有g(-x)=(-x)2f(-x)=x2f(x)=g(x)，即函數g(x)也為偶函數，則有g(-2)=g(2)，且g(2)<g(3)，則有g(-2)<g(3)，即有4f(-2)<9f(3).

點評 對于本題所給的不等式2f(x)+xf ′(x)>0，可知所構造的函數必含有f(x).又因為f(x)的系數是2且是加法形式，從而聯想到g(x)=x2f(x)，對于一般的xf ′(x)+nf(x)>0型，可構造F(x)=xnf(x)，則F′(x)=xn-1[xf ′(x)+nf(x)](注意對xn-1的符號進行討論).

三、根據導數的除法運算法則構造函數

例3 f(x)在(0，+∞)上的導函數為f ′(x)，xf ′(x)>2f(x)，則下列不等式成立的是( ).

A.20182f(2019)>20192f(2018)

B.20182f(2019)<20192f(2018)

C.2018f(2019)>2019f(2018)

D.2018f(2019)<2019f(2018)

解析 令則則g(x)在(0，+∞)上單調遞增，即

所以20182f(2019)>20192f(2018).

點評 根據所給導數的不等式xf ′(x)>2f(x)，通過移項xf ′(x)-2f(x)>0，可知是減法，故可以構造除式.又因為f(x)的系數為2，從而可知所構造的函數中定有x2.

四、構造函數比較大小

例4 (2021年全國乙卷)設則( ).

A.a<b<c B.b<c<a C.b<a<c D.c<a<b

解析 因為a=2ln1.01=ln1.0201，b=ln1.02，所以a>b.令令則所以所以所以所以g(t)在上單調遞增，所以g(t)>g(1)=0.所以f(x)>0.所以a>c.同理令再令則所以所以所以所以φ(t)在上單調遞減.所以φ(t)<φ(1)=0.所以h(x)<0，所以c>b，所以a>c>b.

點評 構造函數比較不等式是近年來常見的命題新形式，此類問題難度一般較大，需要充分對所給的量進行分析，從而進行構造函數.

五、變式練習

練習1 若定義在R上的函數f(x)滿足f(0)=-1，其導函數f ′(x)滿足f ′(x)>k>1，則下列結論中一定錯誤的是( ).

解析 由已知條件，構造函數g(x)=f(x)-kx，則g′(x)=f ′(x)-k>0.故函數g(x)在R上單調遞增，且故所以即所以C選項一定錯誤，選項D不確定.

構造函數h(x)=f(x)-x，則h′(x)=f ′(x)-1>0.故函數h(x)在R上單調遞增，且故即即選項A，B無法判斷，故選C.

練習2 設函數f(x)=x2ex-1+ax3+bx2，已知x=-2和x=1為f(x)的極值點.

(1)求a，b的值；

(2)討論f(x)的單調性；

(3)設比較f(x)與g(x)的大小.

解析 (1)因為f ′(x)=ex-1(2x+x2)+3ax2+2bx=xex-1(x+2)+x(3ax+2b)，又x=-2和x=1為f(x)的極值點，所以f ′(-2)=f ′(1)=0.

因此解得

(2)因為

所以f ′(x)=x(x+2)(ex-1-1).

令f ′(x)=0，解得x1=-2，x2=0，x3=1.因為當x∈(-∞，-2)∪(0,1)時，f ′(x)<0；當x∈(-2,0)∪(1，+∞)時，f ′(x)>0.所以f(x)在(-2,0)和(1，+∞)上單調遞增,在(-∞，-2)和(0,1)上是單調遞減的.

(3)由(1)可知

故f(x)-g(x)=x2ex-1-x3=x2(ex-1-x).

令h(x)=ex-1-x，則h′(x)=ex-1-1.令h′(x)=0，得x=1.因為當x∈(-∞，1]時，h′(x)≤0，所以h(x)在(-∞，1]上單調遞減.故當x∈(-∞，1]時，h(x)≥h(1)=0.因為當x∈[1，+∞)時，h′(x)≥0，所以h(x)在[1，+∞)上單調遞增,故x∈[1，+∞)時，h(x)≥h(1)=0.所以對任意x∈(-∞，+∞)，恒有h(x)≥0.又x2≥0，因此f(x)-g(x)≥0.故對任意x∈(-∞，+∞)，恒有f(x)≥g(x).

參考文獻：

[1]楊峰.逆用導數運算法則，構造原函數巧解題[J].高中數理化，2016(03)：20.