【原】跨世紀的兩位數學巨人—龐加萊與希爾伯特，“之后再無數學家”

老胡說科學 2021-12-29

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你必須警惕的，正是那些最簡單的假設。因為這些假設最有可能神不知鬼不覺地蒙混過關。———龐加萊

龐加萊?

越來越多的個人投身于數學的研究和教學，這意味著再也不能挑選出少數幾個突出的人物，代表某個時期數學發展的狀況，一個人再也找不到一條清晰的路徑穿過壯闊而鮮活的數學風景。事實上，當高斯在1855年去世的時候，人們普遍認為，數學領域再也不會有這樣的通才了———精通數學的所有分支，無論是純數學還是應用數學。打那之后，如果說有人證明了這個觀點是錯的，那么，這個人就是龐加萊，因為他把整個數學作為自己的領域。

龐加萊的博士論文是論述微分方程（不是論述解法，而是論述存在定理），這導致了他對數學的最著名的貢獻———自守函數的屬性；事實上，他是自守函數理論實際上的創立者。一個復變量為z的自守函數f（z）是一個這樣的函數：它在域D內是解析的（除了極點之外），在線性分式變換

的可數無限群下是不變的。這樣的函數是三角函數和橢圓函數的一般化。埃爾米特針對有限制的實例研究過這種變換，在這樣的實例中，系數a、b、c、d是整數，且ad-bc=1，并發現了一類在這些變換下不變的橢圓模函數。龐加萊的一般化揭示了一個更加寬泛的函數類別，被稱作澤塔富克斯函數，龐加萊證明，這種函數可以用來解有代數系數的二次線性微分方程。

這只是龐加萊對微分方程理論所做出的很多重要貢獻的開始。這一課題就像一根紅線一樣貫穿了他的大多數作品。龐加萊在一篇他自己的作品的提要中評論道，自微積分創立以來，分析學家面對了三個主要問題：代數方程的解，代數微分的求積，以及微分方程的求積。他注意到，在所有這三種情況下，歷史表明，要想取得成功，并不在于試圖把它們簡化為更簡單問題的傳統努力，而在正面進攻解的性質。這是解決伽羅華提出的代數問題的關鍵。在第二種情況下，對代數微分的攻克，幾十年來被那些不再試圖向基本函數化簡、而是利用新的超越函數的人成功實現了。龐加萊確信，類似的方法，對于解微分方程中先前遇到的那些難以對付的問題，將會有所幫助。

這一觀點已經出現在他的博士論文中。這篇論文的標題是《論偏微分方程所定義的函數的屬性》。他在19世紀80年代初期發表一系列論文中致力于解決這個主要的問題，著手提供解法的定性描述。他首先處理一般方程：

式中f和g都是實多項式。為了處理無窮分支的問題，他把xy平面投射到一個球上。在仔細檢查他的方程之后，他特別注意到某些點，在這些點上多項式消失了。利用布里奧和布凱在柯西的基礎上所作的分類，即把這樣的奇點分為節點、鞍點、焦點和中心點，他得以能夠確立解的一般屬性，這些解完全取決于某種特殊類型的奇點存在還是不存在。例如，他證實了，類型T（x，y）=C（T是解析的，C是不變的）的傳統解只有當沒有節點或焦點的時候才會存在。在四篇論文當中的第三篇論文中，龐加萊把他的分析擴大到了形如F（x，y，y'）=0（F是個多項式）的高次方程。他通過考量F（x，y，y'）=0所定義的曲面來研究這樣的方程。設該曲面的虧格是p，焦點數是F，節點數是N，鞍數是S。龐加萊證明了：

龐加萊在探索了這個結果及其他結論之后，繼續研究高次方程。盡管不能證實像他對二維所得出的結果那樣廣泛的一組結果，但他把利用超曲面的技術一般化了，并強化了奇點與超曲面的貝蒂數之間的關系。

在研究微分方程的很多其他成果當中，我們僅援引幾例。他最早的成果之一涉及到線性方程和非正則奇點的鄰域；在這方面，他提供了把方程展開為漸近級數的一個開拓性的實例。1884年，他轉向了在復數域上有固定奇點的一階微分方程的研究。皮卡在他的二階方程研究中利用了這一工作。龐加萊在這方面的工作，也是保羅·潘勒韋對有或沒有（活動）奇點的非線性二階方程所作的深度研究的基礎。龐加萊后來在常微分方程和偏微分方程領域的工作大多跟物理應用有關，尤其是在天體力學和n體問題中。

數學物理學及其他應用

一位同時代人這樣說他：“他是個征服者，不是個殖民者。”他在巴黎大學的講課每個學年都會講不同的主題———毛細管作用、彈力、熱力學、光學、電學、電報學、宇宙進化論，等等；表述極其精彩，在很多情況下，課堂上講過之后不久，講稿就被付梓印行。僅在天文學領域，他就出版了6大卷———《天體力學新方法》和《天體力學教程》。尤為重要的是他解決三體問題及其一般化時所使用的方法。對于宇宙進化論來說，1885年的一篇論文也很重要，在這篇論文中，他證明了，一個梨形，通過一個服從于牛頓引力并繞一根軸勻速旋轉的均質流體來呈現，就可以是一個相對均衡的圖形，梨形地球的問題至今依然在引發測地學家的興趣。

有趣的是，龐加萊像拉普拉斯一樣，也撰寫了大量論述概率的作品。在某些方面，他的工作只是拉普拉斯和19世紀分析學家們的工作的自然繼續；但是，龐加萊是雙面的，在某種程度上預示了作為20世紀典型特征的對拓撲學的強烈興趣。拓撲學不是任何一個人的發明，某些拓撲問題在歐拉、莫比烏斯和康托爾的作品中可以找到，就連“拓撲”這個詞，也早在1847年被J.B.利斯廷用在一本書的標題《拓撲學概論》中。但作為這門學科開始的日期，最恰當的莫過于1895年，龐加萊在這一年出版了他的《拓撲學》。這本書第一次提供了系統的發展。

拓撲學

拓撲學如今是一個寬泛而重要的數學分支，有許許多多的方面；但它可以細分為兩個截然不同的子分支：組合拓撲學和點集拓撲學。龐加萊對后者沒有多大的興趣，1908年，當他在羅馬對國際數學家大會致辭時，把康托爾的集合論稱作是一種病，后來的幾代人會自認為已經治好了這種病。

組合拓撲學研究的是在連續的一一變換下保持不變的空間構型的內在定性方面。它常常被通俗地稱作“橡皮幾何學”，因為，比方說，一個氣球的變形（不刺破或撕破它）就是拓撲變換的實例。例如，一個圓在拓撲上等于一個橢圓；一個空間的維度是一個拓撲不變量，簡單多面體的笛卡爾—歐拉數N_0-N_1+N_2也是如此。在龐加萊對拓撲學的原創性貢獻當中，包括笛卡爾—歐拉多面體公式針對高維空間的一般化，利用了他所謂的“貝蒂數”，這個名稱為的是紀念意大利數學家恩里科·貝蒂。

然而，大多數拓撲處理的是數學中的定性方面，而不是定量方面，但在這方面，它跟19世紀分析學中盛行的風格背道而馳。龐加萊似乎因為試圖對微分方程求積定性而把注意力對準組合拓撲學。像黎曼一樣，龐加萊也尤其擅長處理拓撲性質的問題，比如找出一個函數的屬性，而不操心它的古典意義上的形式表示，因為這兩個人都是有著健全判斷力的直覺主義者。假如龐加萊對拓撲學的興趣繼續下去的話，他可能搶先對這一數學分支做出更多的貢獻，這一領域是20世紀最受青睞、最有成果的研究路線。然而，他那永不停歇的頭腦不停地忙于思考世紀之交物理學和數學領域所發生的每一件事情，從電磁波和X射線，到量子論和相對論。

龐加萊聲稱，他接觸過的幾乎每個問題都把他帶向拓撲學。我們在他對微分方程的攻克中已經看到過一個例證。在世紀之交前后的那十年，他發表了一系列關于拓撲學的論文。這些論文成了20世紀組合拓撲學或代數拓撲學的基礎。在這方面，他詳細闡述了一些源自黎曼和貝蒂的概念，我們在他論述微分方程的作品中已經遇到過這些概念：把一個圖形當作n維流形來處理，并考慮連通性的階。他提出了單純同調理論的基本定義和定理；他確立了一個流形的基本群與第一貝蒂數之間的關系；他還指出了涉及貝蒂數的進一步的關系。這些論文所包含的一些定理和猜想導致了20世紀拓撲學家后來的很多探索。

希爾伯特?

大衛·希爾伯特和伊曼紐爾·康德一樣，出生于東普魯士的哥尼斯堡，但有一點不像康德：他到處旅行，尤其是出席國際數學家大會，這一盛會已經成為20世紀的典型特征。希爾伯特除了在海德堡大學師從分析學家拉扎勒斯·富克斯度過了一個學期之外，多是在哥尼斯堡大學獲得了數學訓練。這所大學最重要的數學教授是海因里希·韋伯，他曾在戴德金的鼓勵下轉向了代數和數論中抽象概念的研究。韋伯在19世紀80~90年代為群和域提出了一些最早的定義，是一部著名的、很有影響的三卷本代數學教科書的作者。1883年，韋伯離開了哥尼斯堡大學。他的繼任者林德曼剛剛發表了π的超越性證明。林德曼建議希爾伯特以不變量理論作為他博士論文的主題，并鼓勵了希爾伯特在這一領域的早期工作。

希爾伯特對不變量的興趣得到了另外兩個人進一步的激勵，這兩個人在年齡上跟他更接近，他在19世紀80年代跟他們有過大量的交往。其中一位是阿道夫·赫維茨，他曾師從費利克斯·克萊因，并在1884年加入哥尼斯堡大學成為林德曼的同事，另一位是赫爾曼·閔可夫斯基，他在1893年4月（當時他還是個學生）因為一篇論述整數分解為5個平方數之和的論文而獲得了巴黎科學院的數學大獎。

不變量理論

希爾伯特在1892年之前主要研究不變量理論；他對這一課題最重要的貢獻是在1890和1893年發表的。要理解它們在不變量理論歷史中的地位，一個很有用的方法就是讀一讀希爾伯特自己為1893年的國際數學家大會準備的對這一理論的介紹。

希爾伯特1888年的著名成果被稱作“基本定理”。它作為論文《論代數形式理論》的定理1發表在1890年的《數學年刊》上。希爾伯特把一個代數形式定義為一個某些變量的整有理齊次函數，它的系數是某個“有理域”中的數。該定理聲稱：對于任何有n個變量x1、x2、…，xn的形式所組成的無窮序列S=F1、F1、…Fn，都存在一個數m，使得該序列中的任何一個形式都可以表示為：

式中，A_i是有相同n個變量的形式。希爾伯特把這個結果應用于證明對于任意多個變量的形式所組成的系，存在一個不變量的有限完全系。他在1893年發表的一篇很有影響的論文《論不變量的完全系》中，發展出了解決不變量理論問題的新方法。他強調，這一方法根本上不同于他的前輩們的方法，因為他把代數不變量理論當作代數函數域的一般理論的組成部分來處理。

希爾伯特的《代數數域理論》

在德國數學學會1893年的會議上，希爾伯特和閔可夫斯基被要求為該學會的《年報》撰寫一篇關于數論的報告。結果，希爾伯特的作品《代數數域理論》成了一部經典，它通常被稱作《數論報告》。閔可夫斯基當時正在埋頭撰寫《數的幾何學》，因此退出了這一計劃，不過，他在希爾伯特的手稿上提供了一些關鍵性的注釋，在閔可夫斯基1909年過早去世之前，他對希爾伯特的大多數手稿都做過同樣的事情。

希爾伯特在《數論報告》的導論中表達了一個觀點，這個觀點后來成了他的作品和他的影響的典型特征。這個特征就是強調數學的概念和理論的抽象、算術化和邏輯發展。希爾伯特注意到，對于理解數論的真理來說，只需要極少的先決條件，但要想充分掌握算術概念和證明技術，卻需要高度的抽象，于是他表達了這樣一種觀點：數學的其他所有分支，倘若你想讓這些分支經受同樣嚴謹而徹底的研究，則至少需要同樣高度的抽象。

他看到了，在他的有生之年，數學的發展都是在數的引導下發生的：據希爾伯特說，戴德金和魏爾斯特拉斯對算術基本概念的定義和康托爾的作品導致了一次“函數理論的算術化”，與此同時，關于非歐幾何的現代研究，連同它們對嚴謹邏輯的發展和數的概念的清晰引入的關注，導致了“幾何學的算術化”。希爾伯特在這份報告的主體部分，嘗試著提出代數數域的邏輯理論。他把最近的前輩和同時代人的工作納入到了他包羅廣泛的論述中，同時還包括了他自己的一些成果。在19世紀90年代，希爾伯特又對這一課題貢獻了幾篇論文；這些論文是他在獲得各種數域上二次倒數的一般化法則這個方向上最成熟的努力。在進入20世紀之后，除了一個引人注目的例外之外，希爾伯特在數論領域再也沒有產生新的成果。

幾何學的基礎

希爾伯特的工作往往在某個時期集中于一個課題，《數論報告》完成之后他便轉向了幾何學。1894年，他講授非歐幾何，1898~1899年間他拿出了一本篇幅很小但很有名的著作，題為《幾何基礎》。這部作品被翻譯成了一些主要的語言，對20世紀的數學發揮了強有力的影響。通過對分析學和皮亞諾公理的算術化，大多數數學———除了幾何學之外———都有了嚴格的公理基礎。19世紀的幾何學前所未有地繁榮興旺，但主要是在希爾伯特的《幾何基礎》中，才第一次努力賦予它代數學和分析學中所具有的那種純形式品格。

誠然，歐幾里得的《幾何原本》有一個演繹結構，但它充滿了隱藏的假設、沒有意義的定義以及邏輯上的不完備。希爾伯特懂得，數學中并非所有術語都可以被定義，因此，他開始用3個未定義的對象（點、直線和平面）和6種未定義的關系（在上面、在里面、在之間、全等、平行和連續）來處理幾何學。希爾伯特為他的幾何學構想了21個假設，用來取代歐幾里得的5個公理和5個公設，打那以后，這組假設被稱作希爾伯特公理。其中8個涉及到關聯，并包括了歐幾里得的第一公設，4個涉及次序屬性，5個涉及全等，2個涉及連續性（歐幾里得沒有明確提到的假設），1個是平行公設，本質上相當于歐幾里得的第五公設。追隨希爾伯特的開拓性工作，其他人又提出了幾套可供選擇的公理；幾何學以及其他數學分支純形式的演繹品格自20世紀初之后便完全確立了。

希爾伯特通過他的《幾何基礎》成了“公理學派”的主要倡導者，這一思潮對于塑造當代人的數學看法和數學教育上很有影響。《幾何基礎》開篇便是一句引自康德的格言：“一切人類知識都是從直覺開始，接下來是概念，最后終止于觀念”，但希爾伯特對幾何學的發展證實了與康德截然相反的觀點。這本書強調，幾何學中任何未定義的術語，都不應該被假設為具有任何超出公理中所表明的屬性。直覺—經驗層面的古老幾何觀必須被忽略，點、直線和平面應該僅僅理解為某些給定集合的元素。集合理論，在接管了代數學和分析學之后，如今開始入侵幾何學的地盤。同樣，未定義的關系應該被視為抽象概念，僅僅表示對應或映射。

希爾伯特問題

對一屆國際數學家大會的貢獻，最著名的大概莫過于希爾伯特在1900年巴黎舉行的第二屆大會上所發表演講。希爾伯特的演講題為《數學問題》。演講包括一篇導言，這篇導言后來成了數學修辭的經典，接下來列出了23個問題，打算充當某一類問題的實例，對這類問題的處理將導致這門學科的進一步發展。事實上，在赫維茨和閔可夫斯基的建議下，希爾伯特刪減這篇演講的口頭版本，使得它只包含23個問題當中的10個。

盡管希爾伯特反對這樣一種觀點：只有算術概念才經得起充分嚴謹的處理。但他承認，柯西、波爾查諾和康托爾對算術連續統的發展是19世紀兩項最值得注意的成就之一（另一項成就是高斯、波約和羅巴切夫斯基的非歐幾何）。

因此，23個問題中的第一個問題就涉及到實數連續統的構建。問題由兩個相關部分組成：（1）在一個可數集的基數與連續統的基數之間是否存在一個超限數，（2）數值連續統能否被視為一個良序集？
希爾伯特的第二個問題也曾被19世紀嚴謹時代有所暗示，它問的是：是否能證明算術公理是一致的———即：基于這些公理的有限多個邏輯步驟決不可能導致矛盾的結果。
接下來的三個問題，問題三、問題四和問題五，屬于那些在實際宣讀論文時刪去了的問題。問題三是幾何問題：給出兩個等底等高的四面體，它們不可能分解為全等的四面體，不管是直接全等還是通過鄰接全等。正如希爾伯特所指出的那樣，這個問題可以追溯到高斯在他的通信中所提出的一個問題。希爾伯特的學生馬克斯·德恩在1902年給出了否定的回答，1903年被W.F.卡根清楚闡明了。
問題四闡述得有點粗略，它要求這樣的幾何學：如果保留次序和關聯的公理，弱化全等公理，忽略平行公理的等價物，其公理“最接近于”歐幾里得的幾何學。最早的回答是希爾伯特的另一個學生G.哈默爾在他的博士論文中給出的。
問題五被證明更有影響，也更加困難。這個問題是：是否可以避開函數可微性的假設來定義一個連續的變換群。人們把這個問題跟早期的拓撲群論緊密聯系在一起。李氏連續變換群對于可微運算來說局部是歐氏的。
第六個問題是物理學的公理化，希爾伯特本人曾在這個問題上做出過一些努力。問題七問的是：αβ這個數（α是代數數且不是0和1，β是無理代數數）是不是超越數。希爾伯特換用幾何的形式，這樣問：在一個等腰三角形中，如果頂角與底角的比是無理代數數，則底與一邊之比是不是超越數。
希爾伯特的第八個問題只不過重提了一個19世紀所熟悉的問題，要求證明黎曼猜想：除了負整零點之外，zeta函數的零點的實數部分全都等于1/2。他覺得，對這個猜想的證明可能導致關于素數對無窮性的猜想的證明；但至今尚沒有人給出證明，盡管自黎曼冒險提出這個猜想以來已經過去了一個多世紀。
第九個問題要求數論互反律的一般化。第十個問題是丟番圖方程的判定問題。第十一個問題要求把針對二次域所獲得結果擴大到任意代數域。第十二個問題要求把克羅內克的定理擴大到任意代數域。
在這些數論問題之后，緊接著是第十三個問題：要求證明通過兩個變量的函數解一般七次方程的不可能性；第十四個問題關于相對整函數系的有限性；第十五個問題要求給出舒伯特的枚舉幾何的正當理由。
第十六個問題是號召發展實代數曲線和曲面的拓撲學；第十七個問題要求用平方數表示具體的形式；第十八個問題對于用全等多面體構建空間提出了挑戰；第十九個問題處理的是關于變分問題解法的解析性質。跟這個問題密切相關的是第二十個問題，涉及一般邊界問題。第二十一個問題希爾伯特自己在1905年解決了，問的是有一個給定單值群的微分方程的解法。第二十二個問題是均勻化問題，最后一個，也就是第二十三個問題要求擴展變分的方法；最近這些年，人們把這個問題跟最優化問題的研究聯系在了一起。

希爾伯特與分析學

希爾伯特的分析學主要圍繞積分方程的研究。然而，在他對這一課題做出貢獻之前，他首先“復活”了狄利克雷原理。在狄利克雷原理遭到批評之后，人們試圖證明其有效性的努力只取得了部分成功。在這方面，最后一次重要的努力是龐加萊在1890年發表的一篇論文，這篇論文包含了他匠心獨運的“掃除”法。接下來，希爾伯特把它作為變分法中的一個問題來處理，從而就其最一般的形式證實了狄利克雷原理。首先，他概述了極小曲線存在的推定證明；然后，他展示了如何推斷出一個最小化對于平面域的狄里克雷區域的函數的存在。緊接著這篇文章之后，美國人W.F.奧斯古德在次年發表了一篇可讀性很強的文章，介紹魏爾斯特拉斯對這個問題的評論；1904年，希爾伯特本人在一篇更詳細的論文中闡述了他的論證。

正是在這一時期，也就是在1901年，積分方程的問題吸引了希爾伯特的關注。他的一位斯堪的納維亞學生提交了一篇研討班報告，這篇報告賴以建立的基礎是他在斯德哥爾摩的老師伊瓦爾·弗雷德霍姆在這一領域所做的工作。希爾伯特的成果，最早發表于1904至1910年之間，收集在一本書中，這本書出版于1912年，旨在提出一套線性積分方程的系統理論。他的工作得到了愛爾哈德·施米特的簡化。有趣的是，當希爾伯特就這一課題取得的進展中，他的很粗糙的新方法常常會與其他人所完成的精細化和一般化之間的相互作用。事實上，這項工作在今天的巨大價值在于下面這個事實：20世紀很多最重要的觀念就來自于它，這些觀念對于抽象的線性空間和范圍的研究是基礎性的。

華林問題與希爾伯特1909年之后的工作

大概是為了放松一下他在積分方程領域有點繁重的工作，希爾伯特在這一時期回到了數論領域，并證明了華林定理：每個正整數都可以表示為最多m個n次冪之和，式中，m是n的函數。這一勝利被他的好友閔可夫斯基在1909年代意外去世給沖淡了，它標志著希爾伯特創作他最關注的純數學作品的時期的終結。

接下來的10年，希爾伯特的很多時間都花在了數學分析上。隨著愛因斯坦廣義相對論的發表，希爾伯特便轉向了這個課題，他的同事費利克斯·克萊因也專注于這一課題。有趣的是，從這一努力中產生出來的最持久的貢獻來自于一個最近忙于研究微分不變式的代數學家。此人就是代數幾何學家馬克斯·諾特的女兒艾米·諾特，希爾伯特和克萊因設法讓她來到了哥廷根大學，作為他們在這項研究中的助手。她的成果出版于1918年；最有名的是“諾特定理”，至今在對某些不變式與守恒定律之間的一致性的討論中依然被引用。

希爾伯特在數學物理學領域著手他的研究，希望實現他在1900年所號召的公理化。在處理量子力學的最后一部物理學作品中，他最接近于這個目標。因為到這一時期希爾伯特開始出現嚴重的健康問題，這項研究是與兩個年輕人合作進行的，他們是L.諾德海姆和約翰·馮·諾依曼。

希爾伯特在算術和邏輯學的公理化上付出最后的巨大努力，其主要成果也是以他的繼任者們所賦予它們的形式傳到了我們手上。它們被收入在包羅廣泛的專著《數學基礎》和《數理邏輯基礎》中，它們更多地因為合著者的名字而被稱作希爾伯特—伯奈斯和希爾伯特—阿克曼。