A.Weil：數(shù)學(xué)課程

數(shù)學(xué)課程

作者：A.Weil 譯者：陳天權(quán)

譯者的話

A.Weil 是著名法國數(shù)學(xué)家，在數(shù)論，多元復(fù)變，代數(shù)幾何，抽象調(diào)和分析等方面都有過出色工作。戰(zhàn)后，他移居美國，長期在芝加哥大學(xué)執(zhí)教。本文是他給芝加哥大學(xué)數(shù)學(xué)系學(xué)生寫的關(guān)于數(shù)學(xué)課程的簡短指導(dǎo)。文章寫在二十八年前。(和樂注：譯文發(fā)布于1998年，原文寫在1980年左右)這二十八年來，數(shù)學(xué)又有了新的發(fā)展。數(shù)學(xué)與其他科學(xué)分支的關(guān)系，數(shù)學(xué)與社會發(fā)展的關(guān)系都呈現(xiàn)了許多新的特色，這些在A.Weil的文章中當然不會有所反映，但是A.Weil的文章仍然不失為對學(xué)習(xí)純粹數(shù)學(xué)的大學(xué)生的一篇很有價值的指導(dǎo)文章，文中有些觀點對于學(xué)數(shù)學(xué)以外學(xué)科的同志也有參考價值，為此，將它譯出，以供大家工作和學(xué)習(xí)時參考。

和歐洲大學(xué)生相比，美國大學(xué)生為一些自身的嚴重的缺點所困擾，嚴肅地指出這些缺點，讓大家及時地認識它們并努力去克服它們，是非常必要的。除了早期的數(shù)學(xué)（或者選擇攻讀的其它領(lǐng)域）訓(xùn)練外，美國學(xué)生還缺乏基本技巧——閱讀、寫作和口述——的訓(xùn)練，也就是說，他們由于不善運用書面和口頭語言而苦惱，例如：

• A.中等程度的學(xué)生不善于從書本中進行學(xué)習(xí)，除非該書已把內(nèi)容分割成許多小塊（如用調(diào)羹給嬰兒喂食）。為了在數(shù)學(xué)（或其它科學(xué)）上能有所成績，他必須認識到，多數(shù)課題只包含很少幾個基本思想，一旦掌握了這幾個基本思想，通向圍繞著它們的課題內(nèi)容的細節(jié)的大道便暢通無阻了，閱讀一本書或者一篇或長或短的文章決不是繞著它的外部邊緣爬行，而是要以最適合于自己的方法直插課題的核心，從這兒出發(fā)，我們可以最清晰地看到課題的全貌，這是任何指望成功的科學(xué)家必須學(xué)會的最重要的技巧。
• B.中等程度的學(xué)生不善于機智地記筆記。這是因為：在聽講時，不能敏捷地區(qū)分什么是重要的，是必須記下來的和什么可以省略的（或因這只是個評注或例題解釋，或因它在以后很容易被補出），幾乎無需說明，當大學(xué)學(xué)習(xí)向前進時，學(xué)生在課堂的收益大小將越來越依賴于他記筆記的能力。
• C.中等程度的學(xué)生不善于用確切而有說服力的語言作口頭或書面的表達?？紤]到現(xiàn)存考試制度的要求和畢業(yè)后可能承擔(dān)教職這樣的前景，他是必須學(xué)會不僅能用流暢的口語來表述（假若他在這方面尚有欠缺的話），而且，更主要的，在要他作簡短報告時，善于組織材料，清晰地說出關(guān)于他的題目的全部材料，為了在書面表述中達到同樣的目的，除了在英語作文的基本原理上下功夫外，別無他途，因為應(yīng)用于科學(xué)題材的作文原理與一般的作文原理并無區(qū)別，遺憾的是，我們不得不提醒許許多多學(xué)生，即使在科學(xué)領(lǐng)域中，通常的英語拼寫和語法規(guī)則仍然是需要遵循的，是不能忽略的。

無疑，學(xué)習(xí)和訓(xùn)練上述技巧是中學(xué)教育的任務(wù)，進入大學(xué)而尚未掌握這些技巧的學(xué)生（這是現(xiàn)在大學(xué)生中的多數(shù)）必須學(xué)會它們，不然他就不能達到碩士學(xué)位或哲學(xué)博士學(xué)位所要求的科學(xué)上成熟的程度。他應(yīng)該明白，從他的大學(xué)老師那兒是不能指望得到很大幫助的。大學(xué)老師們首先是科學(xué)家，他們的主要興趣是在他們的專題上，他們把大部分時間和精力貢獻在專題的教學(xué)和研究上，很少有人對教學(xué)過程中的問題有強烈興趣，很少有人愿意直接去教這方面的問題。這是美國高等教育的最嚴重的幾個問題之一，使它更為嚴重的是：假若學(xué)生不能認識自己在智力裝備上的不足（這是常見的），便不自覺地將自己沉浸在日常作業(yè)和有時寫得不怎樣鼓舞人的教科書學(xué)習(xí)中去。這并不是說，要想在數(shù)學(xué)方面成為一個行家無須象在其他領(lǐng)域中那樣掌握數(shù)學(xué)的細節(jié)，這只是說，在數(shù)學(xué)中也像其他領(lǐng)域中那樣，這樣一種掌握只能通過對實質(zhì)的深刻理解而獲得。通過大量細節(jié)而達到實質(zhì)的理解是需要一種技巧的，后者是必須和能夠?qū)W會的。

上面說到的幾點適用于任何學(xué)科，我們現(xiàn)在要專門對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)說幾句，任何（初級階段的）數(shù)學(xué)課學(xué)習(xí)都包含下列幾方面：

• （a）掌握主要概念和定理。這些概念和定理在數(shù)量上是很少的，但它們構(gòu)成了課題的核心，
• （b）日常的習(xí)題訓(xùn)練。通過訓(xùn)練，在與那些基本概念打交道的過程中獲得必要的復(fù)習(xí)；
• （c）包含一些數(shù)學(xué)難點的問題。通過這些問題可以發(fā)展學(xué)生聯(lián)系那些概念的創(chuàng)造和想象的能力。

在初級階段，這三方面是同樣重要的。進入高級階段后，（b）的重要性減弱，或者與（c）難以區(qū)別了，所以高級階段的書或教科書將把很多東西留給學(xué)生自己去作，自己去思考，這時候，專門分設(shè)的問題已經(jīng)變得不那樣需要，但是學(xué)生在很大程度上變成了教師的積極的合作者，除非學(xué)生在初級階段在解決（c）型問題方面已有足夠訓(xùn)練，不然，他是不能指望成功的。

不言自明，假如沒有機智地使用數(shù)學(xué)概念以解決具體問題的能力，真正理解這些基本概念是不可能的。反之，未能理解這些概念而想應(yīng)用它們?nèi)ソ鉀Q具體問題更是不可想象的。因此，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的三方面（a），（b），（c）是不可分開的。也許是受了工程學(xué)院的影響，或者是由于所謂的數(shù)學(xué)的“實際”應(yīng)用的錯誤概念作祟，美國學(xué)院傳統(tǒng)上包含或多或少的機械訓(xùn)練。這種訓(xùn)練對于“九九表”的教學(xué)是完全適合的，但對其它內(nèi)容則很少有用了。在我系數(shù)學(xué)教程的新安排中，我們又把重點放回到原來的地方：主要概念的理解上。這也許會導(dǎo)致對學(xué)習(xí)過程中（b）和（c）這兩部分的忽視，由于必修教材必須壓縮在非常短的時間內(nèi)教完，這種忽視便更易發(fā)生了。首先，美國學(xué)生進入大學(xué)時幾乎沒有什么值得說的數(shù)學(xué)知識；其次，美國還沒有實行別的許多國家已經(jīng)實行的方法：每一門數(shù)學(xué)課應(yīng)配以由合格助手擔(dān)任的經(jīng)常性的習(xí)題課，這樣，當教授集中精力于他感興趣的理論方面時，教學(xué)中的練習(xí)方面也得到應(yīng)有的重視。由于（c）的重要性還只是剛剛受到應(yīng)有的考慮和我們大部分課程都是每周三小時的，重點放在（a）上的決策幾乎不可避免地將以削弱（b）和（c）為代價，然而本系教師們正對所有這些問題給予應(yīng)有的注意，正在許可的條件下，努力改進教學(xué)的各方面。當然改進將是逐步的。同學(xué)們，特別是決定以數(shù)學(xué)為職業(yè)的同學(xué)，必須力圖保持（a）、（b）、（c）三方面的平衡。在即將到來的日子里，（c）是最容易被忽略的，他們不妨試用一些和他們所學(xué)的課題有關(guān)并有著不是常規(guī)方法能解的問題的習(xí)題集，美國或外國出版的均可，以補這方面之不足。

下面我們要討論，構(gòu)成目前教學(xué)計劃中的各門課的內(nèi)容及其相互關(guān)系。過去，傳統(tǒng)課程的安排是簡單的。在初級階段，它包括：二維和三維（平面和立體）的解析幾何和所謂的“大學(xué)代數(shù)”，即初等方程式論，目的在于求實系數(shù)一元方程的數(shù)值解。解析幾何表述的形式是18世紀Clairaut，Euler和Lagrange所達到的水平（雖然它的邊緣由于此后的磨損已經(jīng)十分模糊了）。“代數(shù)”基本上是經(jīng)牛領(lǐng)改進后的笛卡兒的代數(shù)。緊接著便是微積分和它在曲面與曲線上的應(yīng)用，這基本上仍然是歐拉所定下的圖式。后面便是所謂的應(yīng)用數(shù)學(xué)，即沿著牛頓的線索被上一世紀的作者所發(fā)展了的初等理論力學(xué)。微積分又發(fā)展到單元復(fù)變函數(shù)，它是Cauchy，Riemann和Weistrass工作的大大刪節(jié)之后的綜述。最后，當學(xué)生已經(jīng)學(xué)過橢圓函數(shù)的定義及它的一些公式后，他便被認為是一個訓(xùn)練有素的數(shù)學(xué)家，適于從事他的課題的高級研究工作了。

不幸，今日數(shù)學(xué)系的教師和學(xué)生不再能過這樣輕松的生活了：上述課題仍然不失為基本的，但已是遠遠不夠了的。因此，必須以一切方法使學(xué)生在短期內(nèi)學(xué)得更多的東西。還有，過去的將近半個世紀的抽象“數(shù)學(xué)”和“公理化”方法的發(fā)展已經(jīng)使我們越來越清楚地認識到下列事實：從某些方面看，數(shù)學(xué)是一種語言，而且這個語言必須跟上它必須滿足的需要，這個語言又有它自己的語法和詞匯。我們還必須學(xué)會這個語法，掌握這些詞匯。近代數(shù)學(xué)的語法與詞匯首先是由抽象集合論，其次是由一般拓撲與抽象代數(shù)供給的：這些都是數(shù)學(xué)的輔助分支，它們之間又有著如此顯著的差別：抽象集合論建立不到100年以前，而一般拓撲則不到點50年，兩者都可被看作是已經(jīng)成熟了的（至少從今日數(shù)學(xué)所關(guān)心的需要看是如此）；雖然代數(shù)起源于巴比倫人，但至今仍在茁壯地發(fā)展中，無論如何，這些分支已經(jīng)滲透到傳統(tǒng)的課題（如微積分與幾何）中去了。遠在人們認識到在許多不同的課題中支離破碎地研究它們是一種浪費之前便如此了，例如，把二次型化為平方和的方法只不過是巴比倫人早知道的解二次方程的“配方”法，它對平面和立體解析幾何中的二次曲線與曲面的研究和射影幾何來說都是基本方法，它在高維情形的推廣對于微積分中的極大極小的研究，Hilbert 空間中的“正交化方法”和Hilbert空間被引入數(shù)學(xué)以前的許多具體情形來說也是有著根本的價值的。把所有這些課題中的概念，以它在各種應(yīng)用中最合適的方式統(tǒng)一起來，畢其功以一役地加以處理是會帶來明顯的好處的。同時，不能忘記，學(xué)習(xí)一種語言的語法是不能在實際使用這種語言之前進行的（也許對于語言學(xué)家是例外），它們是必須手拉手地一起前進的。同樣，在數(shù)學(xué)中，抽象概念必須逐步地謹慎地引進，這對于初學(xué)者來說尤應(yīng)如此。很幸運的是，由于下列事實這變得比較容易了；一般拓撲中的大多數(shù)概念和代數(shù)（線性代數(shù)與矩陣論中的較大部分）中的許多概念在很大程度有著強烈的幾何背景而可以用幾何語言來表達，這就容易被直觀所接受。

以上所述，解釋了當今的數(shù)學(xué)教程的安排，預(yù)科水平的課程是提供學(xué)生以彌補初等數(shù)學(xué)知識上的不足（如解析幾何、三角學(xué)、復(fù)數(shù)等課題，這些都是今后的工作中常常用到的）。預(yù)科課程之后是微積分，它的主要目的是對滿足適當?shù)墓饣詶l件的一元和多元實變函數(shù)的局部性質(zhì)的研究（“局部”是理解為“在變量的值的一個鄰域內(nèi)的”）在今日數(shù)學(xué)中（純粹和應(yīng)用）這種函數(shù)已不占有像一百年甚至五十年以前那樣的重要地位了，但是對于培養(yǎng)有前途的數(shù)學(xué)家和專門應(yīng)用數(shù)學(xué)于某個專業(yè)的科學(xué)家來說，研究這類函數(shù)的方法仍然是一般教育中的不可缺少的一部分，而且在初級階段的學(xué)習(xí)中，學(xué)生的數(shù)學(xué)知識的實質(zhì)部分（相對于形式部分而言）主要還是來自這方面的學(xué)習(xí)。微積分的學(xué)習(xí)被組織成連貫的四個部分，初學(xué)者可望逐個學(xué)習(xí)。這些課程中包括一些例解說明，但是，從長遠觀點看，更多的例解材料應(yīng)放在初等微分幾何與初等力學(xué)這樣一些課程中，后者又為進一步學(xué)習(xí)這些題材鋪平了道路。

學(xué)生開始學(xué)習(xí)微積分的同時或稍晚，便應(yīng)該開始熟悉一些今后對他不可缺少的抽象概念，這就是一系列代數(shù)課的目的之一，以通常的整數(shù)和解析幾何中的二維、三維向量空間為背景，一系列代數(shù)課將向?qū)W生介紹群、環(huán)、域，向量空間，線性變量等概念和關(guān)于這些概念的基本定理，這些概念已經(jīng)滲入近代數(shù)學(xué)的大部分領(lǐng)域，包括微積分課程中的一些課題（如曲線和曲面積分，各種形式的Stokes定理需要Grassmann代數(shù)的知識，它是重線性代數(shù)的一個基本部分，又和行列式理論不可分割），因此細心地彌合代數(shù)課與微積分課之間的隙縫是必要的，同時，代數(shù)課中的很多知識又和有緊密聯(lián)系的仿射幾何、射影幾何，任意維空間的歐氏幾何不可區(qū)分的，假若代數(shù)的學(xué)習(xí)不是形式地進行的，而是在每個可能的場合盡力發(fā)展和提高學(xué)生的幾何直觀，就使得專門開設(shè)這些幾何課失去了必要。

學(xué)習(xí)代數(shù)與微積分時，學(xué)生便逐漸認識到集合的一般概念和記號（不論它是實數(shù)集合，函數(shù)集合、群的元素的集合等）及集合運算（并、交、積等）的必要性，在代數(shù)里他又熟悉了一些數(shù)學(xué)對象并非作為先天存在而接受的，卻是由一些性質(zhì)來描述的，這些性質(zhì)又不是完全確定它們，換言之，學(xué)生已經(jīng)接觸了抽象集合的處理以及公理化方法，不到五十年以前，這些訓(xùn)練還被認為對邏輯學(xué)家比對數(shù)學(xué)家更適合，數(shù)學(xué)的發(fā)展已經(jīng)產(chǎn)生了這樣的影響，不僅這些訓(xùn)練對數(shù)學(xué)系學(xué)生是必要的，而且只要學(xué)生在才智上已有接受它的準備，它應(yīng)該提前得越早越好，具體地說，經(jīng)驗似乎告訴我們，不要比兩年微積分學(xué)完后還要晚，以上說明是針對集合論與一般拓撲學(xué)課程的。雖然這兩門課的實質(zhì)內(nèi)容都很平凡，但是它們提供了一種語言，這種語言將使以后要學(xué)的大部分課題能方便地表述出來。

在關(guān)于課程的描述中，現(xiàn)在已經(jīng)到達了這樣的地步，越過這步專門化（或分科化）便可開始了。是的，不知道伽羅華理論可以成為一個好的分析學(xué)家，不知道勒貝格積分可以成為一個好的代數(shù)學(xué)家，不知道代數(shù)數(shù)論可以成為一個好的拓撲學(xué)家。雖然，這一切都是可能的，但并是非值得稱道的。現(xiàn)在，全能的數(shù)學(xué)家比以前稀罕了，我們不準備在這兒討論這種過早的專門化可能帶來的災(zāi)難性后果，但是愿意指出，本系不愿意鼓勵這種過早的專門化，我們期望所有的學(xué)生獲得純數(shù)學(xué)主要分支的基本知識，這使他們能夠考慮自己的能力，并能在確定今后的工作領(lǐng)域時，作出理智的選擇。這些基本知識至少應(yīng)包括：

• （a）分析中的近代積分理論的某些知識，（最好不要限于一元或多元實變的勒貝格積分，而應(yīng)擴展到緊或局部緊空間上的積分理論），希爾伯特空間上的知識，常微與偏微分方程的知識，一元復(fù)變函數(shù)的知識；
• （b）代數(shù)中的域與域擴張（包括Galois理論）的知識。
• （c）某些數(shù)論知識，至少應(yīng)包含二次互反定律和二次域中的理想理論。
• （d）幾何中的幾何與群論的關(guān)系，（在歐氏，射影，非歐幾何中這就是埃爾朗根綱領(lǐng)）和黎曼幾何中的活動標架方法。
• （e）拓撲中的基本群和覆蓋空間的知識，一維同調(diào)群的知識，閉曲面分類的知識。

在很大程度上，這些知識可以互相獨立地學(xué)習(xí)，只有在高級階段，數(shù)學(xué)各分支之間的相互作用才會變得重要起來，學(xué)習(xí)它們的順序可以根據(jù)學(xué)生的愛好和方便去決定，這只是個選擇和機會的事。

最后，學(xué)生必須認識到，數(shù)學(xué)是一門有著悠久歷史的科學(xué)，假若對它的歷史背景沒有一些了解，要真正理解它是不可能的。首先，時間繪出了人們心目中的數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)分支枝的圖象的一個維數(shù)。另外，數(shù)學(xué)中主要概念是不多的，清晰地理解它們的最好途徑是追尋它們相互滲透時逐步發(fā)展的線索，這對于各級的有遠見的數(shù)學(xué)教師來說尤其重要。對于他們來說，課堂上必須教的課題的干巴巴的知識遠不如明了隱藏在這些課題背后的主要思想來得重要。最后，數(shù)學(xué)研究是一種知識的探索，學(xué)生將會失去對它的興趣，除非它給予學(xué)生接觸到智慧的偉大的機會，這種機會在教科書的學(xué)習(xí)中是不會碰到的，也不太可能從學(xué)生為了成為哲學(xué)博士而必須攻讀的那類文獻中遇上。在眼前的情況下，不能指望學(xué)生能對數(shù)學(xué)史有一個全面的了解，除非他專攻數(shù)學(xué)史。而且即使專攻數(shù)學(xué)史也可能不會有此了解。然面，可以指望他對他特別感興趣的幾個方面的過去的數(shù)學(xué)家的原著有所熟悉。