它表達了兩個對稱之間的有趣關系。當我們用一個復數z乘以e^(πi)，得到的數字是z沿著半徑為|z|的圓旋轉π弧度得到的數字。歐拉恒等式表達了這樣一個事實：通過原點反射一個復數（即乘以-1）相當于將該數旋轉180度。這個結果中的圓，源于與上面的復指數相乘時的半圓旋轉。巴賽爾問題讓歐拉名聲大噪的一個發現是下面這個令人驚訝的結果：左邊的無窮級數是所有整數平方倒數的“和”。首先，歐拉回顧了正弦函數的麥克勞林級數展開式。正弦函數可以寫成冪級數。然后除以x得到：歐拉認為上面的左邊可以看成是一個無限多項式，我們都知道多項式可以被分解成線性因子的乘積形式其中c是一個數字，上面分母中的r是多項式的根（也稱為零點）。任何多項式都可以寫成這樣的事實叫做代數基本定理，這是一個非常重要的定理。歐拉認為這個定理也適用于一些“無限”多項式，如上面的冪級數。由于上述冪級數的常數項為1，顯然c = 1。我們現在有歐拉問自己這個函數的零點是什么。它們是正弦函數的零點，因此是π的整數倍。所以：第二個等式來自于將相鄰項相乘。現在需要另一個絕妙的想法。歐拉意識到隱藏在上面的二次項分母中的平方數，并想把它們從乘積中“解放出來”。這聽起來很可怕，但是我們只需要得到冪級數的前兩項。顯然，常數項是1。第二項呢？對于相應的無窮冪級數中的每個系數，我們只需要選擇一個非常數項然后從乘積中的其他項中選擇所有的1。然后，我們得到歐拉把它和泰勒級數表達式做了比較。也就是說：歐拉得出，右邊的兩個級數必須相等，也就是：或：再一次，我們可以解釋π是如何從正弦函數的零點來的，然而，如果真的想從幾何上理解這個問題，這并不是很令人滿意。高斯積分在統計學、數論和許多其他數學領域中，一個非常重要的積分結果是：這真的很神奇。下面這個鐘形曲線下的面積是π的平方根。有很多不同的方法來證明這一點。我最喜歡也是最優雅的方法是把笛卡爾坐標系換成極坐標。具體來說，令現在我們計算I^2，并將其轉換為極坐標：在上面的計算中，我們對最后一個積分做了替換：r^2= u => r dr = du/2?，F在，因為我們知道I一定是一個正數，得到那么這個圓在哪呢？當我們計算I^2時，我們實際上計算了一個（三維）體積，也就是在一個具有旋轉對稱的二維表面下的體積。得到的二重積分把無限多的圓面積“加起來”。把所有這些面積相加，得到的表達式不僅包含π，而且實際上等于π。結論看來，當π出現在一個公式中，我們可以通過某種隱藏在公式中的旋轉關系來解釋它。即使我們不能一眼看到它，但它肯定就在那里。關于π的討論還可以有很多，例如為什么用幾何方法解釋這類問題這么難，而用代數和微積分就（相對）容易了呢？
