為什么簡諧振動是最基本的振動？

TuShu的Guan 2022-04-22

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什么是振動？簡單的說，就是某個物理量的值隨時間周期變化的現象。

振動的物理量隨時間周期變化的曲線叫振動曲線，例如（仔細看，周期是存在的哦）

最常見的振動是機械振動，隨時間周期變化的那個物理量是位置。質點的位置是一個時間的函數，對于一般的運動來說，它就是一個矢量函數，即

$\vec{r}(t)=x(t)\vec{j} y(t)\vec{j} z(t)\vec{k}$ 它也被稱作運動方程。對于機械振動來說，由于位置是周期性變化的，運動方程應該是一個時間的周期函數。

機械振動非常直觀，但它并非振動的全部，廣義的振動可以是任何物理量隨時間的周期變化。

例如，一天中，早上溫度最低，隨著太陽升起，溫度逐漸上升，到下午2點左右，溫度達到最高，然后開始降低，直到第二天早上達到最低，如此反復。

更簡單的例子，擺動的吊燈，相對于豎直線的偏離角度，隨時間來回往復的變化。類似的，一個持續擺動的牛頓擺也是如此。

01

幾個振動的例子

下面來仔細看幾個振動的例子。

一個球豎直上拋后落下，與地面彈性碰撞后彈起，再落下又彈起，這個過程就是一個典型的振動過程。以上拋點為原點，向上為 $y$ 軸，則其振動曲線如下，它由一段段完全相同的拋物線拼接而成。

溫馨提示：由于實際的機械振動曲線中，不可能出現速度不存在的點——例如圖中那些導數不存在的地方。所以，這里列舉的幾個振動只是理論上的振動曲線，作為機械振動是不可能真實存在的。

設上圖中每一段拋物線的寬度為 $p$ ，高為 $h$ 。你能寫出描述該振動的函數 $y(t)$ 嗎？看起來很難，因為它不是一個普通的周期函數，不信你可以試試。

太復雜？那就來個更簡單點的吧，看下面的振動曲線，某個物理量 $y$ 隨時間變化如下

曲線中的三角形都是全等正三角形，邊長為 $p$ 。是不是仍然無法寫出它的函數？

的確，除非你借助那些特殊的函數，例如對 $[-1,1]$ 內的部分，可表示為 $y=\frac{4}{p}\left(t-\frac{p}{2} \left \lfloor \frac{2t}{p} \frac{1}{2} \right \rfloor \right)(-1)^{\left \lfloor \frac{2t}{p} \frac{1}{2} \right \rfloor }$

溫馨提示：這里面的 $\lfloor$ 和 $\rfloor$ 圍起來是floor函數的符號，它是用來取整的。

否則，你還真沒辦法寫出它的表達式。

再看一種更簡單的振動曲線，某物理量 $y$ 隨時間變化如下

設曲線的每一段長度都為 $p$ 。你能寫出這個函數嗎？

再次抱歉，你同樣寫不出來！除非你借助符號函數 ${\rm sgn}$ 將其寫成 ${\rm sgn}\left(\sin\frac{2\pi t}{p}\right)$

溫馨提示： ${\rm sgn}$ 的定義為： ${\rm sgn}(x)=\left\{ \begin{align*} -1\quad x<0\0\quad x=0\1\quad x>0 \end{align*} \right.$ 稱作符號函數。

看到了吧，那些看起來很直觀的振動，其運動方程卻都如此復雜！

看來，從數學上講，這幾個振動都不太好對付啊。

那么，有沒有簡單一點的振動呢？

02

勻速圓周運動與簡諧振動

仔細想一下，什么樣的振動可能是最簡單的振動呢？

別忘了，振動的一般定義是物理量隨時間周期變化的運動，不要總想著沿一個維度左右、上下來回的運動，思路放開一點嘛！

繞著一個閉合路徑做周期運動算不算振動？當然算！

矮油！這么一提示，頓時就想到了，它不就是勻速圓周運動嘛！

沒錯，我相信大多數人認為非它莫屬！是啊，還有什么周期運動有勻速圓周運動這般簡單和諧？！

設勻速圓周運動的角速度為 $\omega$ ，則每隔 $2\pi/\omega$ 的時間，質點重回原位。運動具有周期性，所以圓周運動的確是振動！一種極為特殊的振動！

既然勻速圓周運動如此簡單，那么它的運動方程是什么呢？

設其圓周的半徑為 $R$ ，角速度為 $\omega$ ，設零時刻，它相對 $x$ 軸的正向已轉過了 $\phi$ 角，則運動方程為：

搞半天，就只有勻速圓周運動能用一個比較簡單的周期函數表示。

那么，勻速圓周運動的振動方程意味著什么呢？

看看它所包含的東東——正弦和余弦函數！

物理上定義，位置隨時間按照正弦或余弦函數變化的振動叫做簡諧振動。其運動方程可表示為 $y=A\cos(\omega t \phi_1)$ 或 $y=A\sin(\omega t \phi_2)$ 例如彈簧振子的振動和單擺的小角度擺動都呈現這種形式。

沒錯，勻速圓周運動本身就是由兩個垂直的簡諧振動合成得到的，正因為它的兩個分振動分別由正弦和余弦函數描述，所以勻速圓周運動也是周期運動！

現在你知道了，勻速圓周運動不是最簡單的振動！因為它包含兩個更基本的振動。

如下圖所示，可以看到，勻速圓周運動沿著圓的任一條直徑上的分運動就是一個簡諧振動。

受此啟發，設一個長度固定的矢量繞起點以角速度 $\omega$ 沿逆時針勻速轉動，它的箭頭在某條直徑上的投影的運動是一個簡諧振動。換句話說，任何一個簡諧振動的背后總對應著一個旋轉矢量，如下圖

但實際上，簡諧振動才是構成勻速圓周運動的基本元素，而不是相反。只不過對大多數人來說，勻速圓周運動更易于理解，所以借助“旋轉矢量”，簡諧振動看起來更直觀。

03

正弦和余弦：最基本的周期函數

如此看來，只要用數學中的周期函數，或周期函數的組合，來構建運動方程，那么不就可以得到各種各樣的振動嗎？

那么，除了正弦和余弦，還有哪些周期函數呢？

周期函數，這么重要的一類函數，應該很多吧？

趕緊翻數學手冊！

然而，結果有點令人意外！

除了正弦和余弦函數之外，要不就是一些由它倆構造的周期函數，比如tan、ctan和sec等等；要不就是一些不光滑的周期函數——就像我前面列舉的三角和方形函數，它們根本無法代表真實的運動。

換句話說，正弦和余弦函數就是唯二的倆周期函數！

難怪啊難怪，難怪一般的周期運動都如此復雜，因為根本不存在簡單的周期函數能夠描述它們；難怪勻速圓周運動如此簡單！原來是因為它所包含的兩個振動成分是如此純粹！

呃，這個發現簡直太厲害了！

到此，你可能隱隱的感覺到：或許一切周期函數之所以能成為周期函數，本質上都歸結于正弦和余弦函數？

事實的確如此！周期函數之所以是周期函數，一切皆因正弦和余弦函數這對孿生兄弟！誰叫他倆是僅有的兩個“原創型”的光滑周期函數呢？

數學上可以證明，一個周期函數 $f(x)$ 總可以通過若干個正弦和余弦函數組合來得到，即 $f(x)=\frac{a_0}{2} \sum\limits_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos (nx) b_n\sin(nx)\right]$ 這就是傅里葉級數，其中系數 $a_n$ (含 $a_0$ )和 $b_n$ 為 $\left\{ \begin{align*} &a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x){\rm cos}(nx)dx\quad(n=0,1,2\cdots)\&b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x){\rm sin}(nx)dx\quad(n=1,2\cdots) \end{align*} \right.$

舉個例子，下面這個函數 $x(t)$ 的圖像看起來很復雜吧？

但實際上，此函數由三個余弦函數加起來得到，具體表達式是： $x(t)=2\cos(t) 3\cos(2t) 2\cos(5t)$ 你可用Matlab或者隨便一個在線繪圖工具來驗證一下。

講到這里意識到，之所以任意周期函數都能用正弦和余弦函數的組合來表示，這不是因為他哥倆多厲害，純粹是因為物以稀為貴——只有他倆是最簡單的周期函數。

換句話說，只有他倆才擁有周期的創始基因，但凡其他周期函數者，皆因他倆而起也，皆繼承于他倆，由他倆組合而得。