【原】分析學(xué)在20世紀(jì)的發(fā)展

一.分析學(xué)在20世紀(jì)之前的狀況

分析學(xué)領(lǐng)域中的各個(gè)數(shù)學(xué)分支的基本理論大多在19世紀(jì)就已經(jīng)初步形成，其中就包括了數(shù)學(xué)分析（高等微積分）、復(fù)變函數(shù)論、變分法和微分方程等理論。分析學(xué)的基礎(chǔ)是經(jīng)典的微積分理論。17世紀(jì)主要由Newton（牛頓）和Leibniz（萊布尼茲）創(chuàng)造的微積分是人類思想史上最為絢麗多彩的偉大成就，它支撐起了現(xiàn)代數(shù)學(xué)和科學(xué)技術(shù)的宏偉大廈。在18世紀(jì)，Taylor（泰勒）、Maclaurin（麥克勞林）、Bernoulli（貝努力）、l’Hospital（洛必達(dá)）等數(shù)學(xué)家進(jìn)一步完善了微積分的理論。

在18世紀(jì)的下半葉，d’Alembert（達(dá)朗貝爾）、Lagrange（拉格朗日）和Euler（歐拉）等數(shù)學(xué)家開始研究雙曲型偏微分方程（弦振動(dòng)方程） ，并且從中產(chǎn)生了“一個(gè)任意函數(shù)能否表示成三角級數(shù)的和”的基本問題：

這個(gè)重要問題在19世紀(jì)初被Fourier（傅里葉）肯定地加以解決，因此上述這個(gè)三角級數(shù)在現(xiàn)代就稱為傅里葉級數(shù)，其中的

當(dāng)然，F(xiàn)ourier（傅里葉）沒有證明上述傅里葉級數(shù)一定收斂到 ，在歷史上是Cauchy（柯西）首先注意到必須證明所有級數(shù)（包括函數(shù)項(xiàng)級數(shù)）的收斂性。Cauchy（柯西）首次定義了數(shù)列與函數(shù)的“極限”概念，這樣級數(shù)的收斂就意味著級數(shù)的部分和趨向于一個(gè)固定的數(shù)值。在1829年，Dirichlet（狄利克雷）證明了傅里葉級數(shù)的收斂性。

Cauchy（柯西）不僅定義了“極限”，他還定義了“連續(xù)”、“可微”和“（連續(xù)函數(shù)意義下的）可積”等最基本的分析學(xué)概念，并且證明了連續(xù)函數(shù)一定（在連續(xù)函數(shù)意義下）可積。后來在19世紀(jì)中葉，Riemann（黎曼）進(jìn)一步給出了“黎曼積分”的基本概念，使得可積分的函數(shù)擴(kuò)大到了不連續(xù)的函數(shù)。Weierstrass（魏爾斯特拉斯）也是一位分析嚴(yán)密化的先驅(qū)，他提出了有關(guān)函數(shù)極限的 定義，由此完善了整個(gè)微積分和分析理論的邏輯基礎(chǔ)。

另一方面，Cauchy（柯西）也將微積分理論推廣到了復(fù)變函數(shù)，引入了解析函數(shù)的基本概念。解析函數(shù)也稱為全純函數(shù)，它具有很好的性質(zhì)，例如Riemann（黎曼）在1851年給出了全純函數(shù)所滿足的Cauchy-Riemann方程。而對于全純函數(shù)的復(fù)積分，Cauchy（柯西）在1825年就證明了著名的柯西積分定理——全純函數(shù)在單連通區(qū)域邊界上的復(fù)積分總是為零，由此便得到了關(guān)于復(fù)積分和留數(shù)計(jì)算的一系列基本結(jié)果。Cauchy（柯西）還證明了：若復(fù)變函數(shù) 在 處為全純，則在該點(diǎn)的鄰域內(nèi)，有冪級數(shù)展開式

而Riemann（黎曼）在研究多值復(fù)變函數(shù)時(shí)，引入了著名的黎曼面的概念（這個(gè)重要概念在20世紀(jì)進(jìn)一步發(fā)展成了微分流形和復(fù)流形的概念）。到了19世紀(jì)的后期，Weierstrass（魏爾斯特拉斯）從復(fù)變函數(shù)的冪級數(shù)理論出發(fā)，提出了解析延拓（或解析開拓）的基本概念，并且開始對兩個(gè)以上復(fù)變量的全純函數(shù)進(jìn)行研究。

二.分析學(xué)在20世紀(jì)中的大發(fā)展

在19世紀(jì)的后期，在考察和研究傅里葉級數(shù)收斂性的過程中，Cantor（康托）創(chuàng)立了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論——集合論。這個(gè)基本理論給分析學(xué)帶來了革命性的變化。在20世紀(jì)初，Lebegue（勒貝格）發(fā)表了關(guān)于Lebegue測度和Lebegue積分的新理論，Lebegue積分是對黎曼積分的極大推廣，這種新積分使得傅里葉級數(shù)的研究取得重大的突破，產(chǎn)生了傅里葉分析這個(gè)新的分支學(xué)科。

在微分學(xué)求函數(shù)極值的基礎(chǔ)上，19世紀(jì)的的數(shù)學(xué)家們還找到了使泛函取到極值的方法——變分法，變分法是現(xiàn)代物理學(xué)中重要的數(shù)學(xué)方法。由于在研究泛函關(guān)于函數(shù)的連續(xù)性和可微性時(shí)，需要把函數(shù)作為函數(shù)空間中的“點(diǎn)”，并且在積分方程的研究中也需要引入函數(shù)空間，于是就產(chǎn)生了一個(gè)名稱為泛函分析的新分支學(xué)科，其中運(yùn)用了線性代數(shù)與點(diǎn)集拓?fù)涞姆椒?，來處理以函?shù)作為元素的函數(shù)空間。實(shí)際上，泛函分析的起源可以追溯到Volterra（沃爾泰拉）在1887年的重要工作，那時(shí)他就提出了算子這個(gè)重要概念，算子將函數(shù)變成函數(shù)。如果算子的值域是數(shù)域，那么算子就成為了泛函。Volterra（沃爾泰拉）與Fredholm（弗雷德霍姆）在研究積分方程時(shí)，提煉出了泛函分析的基本思想。

在20世紀(jì)初，Hilbert（希爾伯特）在研究具有對稱核的Fredholm型積分方程的特征值問題時(shí)，引入了函數(shù)空間 與 。然后在此基礎(chǔ)上，Hilbert（希爾伯特）研究了希爾伯特空間上的連續(xù)算子，他的一個(gè)重要發(fā)現(xiàn)是連續(xù)譜。von Neumann（馮·諾伊曼）隨后建立了抽象希爾伯特空間的譜理論，在1929年，von Neumann（馮·諾伊曼）證明了一個(gè)十分重要的定理：希爾伯特空間中的閉線性算子有實(shí)譜分解的充要條件是是自共軛算子，這個(gè)結(jié)果為量子力學(xué)奠定了必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。接著在1932年，Banach（巴拿赫）引進(jìn)了比希爾伯特空間范圍更廣的巴拿赫空間的概念，他證明了一系列關(guān)于巴拿赫空間中閉線性算子的基本定理，其中包括開映射定理、閉圖象定理和一致有界定理等。以后，巴拿赫空間又被推廣為拓?fù)渚€性空間。

巴拿赫代數(shù)在1936年被引進(jìn)，Gel’fand（蓋爾范德）在這方面的基礎(chǔ)工作，使得巴拿赫代數(shù)后來成為在研究局部緊群的線性表示理論時(shí)的重要工具。

同樣在1936年，Sobolev（索伯列夫）通過運(yùn)用微積分中的分部積分公式，給出了函數(shù)概念和導(dǎo)數(shù)概念的一種推廣，這個(gè)推廣在1945年被L. Schwartz（施瓦茲）進(jìn)一步發(fā)展成了廣義函數(shù)的理論。廣義函數(shù)是定義在函數(shù)空間上的連續(xù)線性泛函，它給出了物理學(xué)家Dirac（狄拉克）的 -函數(shù)的一個(gè)合理的解釋。L. Schwartz（施瓦茲）在創(chuàng)立廣義函數(shù)理論的過程中，充分運(yùn)用了拓?fù)渚€性空間的理論。

偏微分方程理論在現(xiàn)代數(shù)學(xué)和科學(xué)技術(shù)中具有很重要的作用，它是聯(lián)系一些數(shù)學(xué)分支學(xué)科和自然科學(xué)的各個(gè)學(xué)科之間的一個(gè)橋梁。在20世紀(jì)30年代前，偏微分方程主要研究一些數(shù)學(xué)物理方程經(jīng)典解的求法。從30年代起，各種泛函分析的方法被用于偏微分方程的研究，人們致力于尋求偏微分方程的廣義解，廣義函數(shù)理論極大地推動(dòng)了偏微分方程現(xiàn)代理論的發(fā)展。到了60年代，數(shù)學(xué)家們又將微分算子發(fā)展成了擬微分算子，后來進(jìn)一步發(fā)展成微局部分析方法。

在線性偏微分方程理論發(fā)展的同時(shí)，對各種非線性偏微分方程的研究也獲得了許多進(jìn)展，為此人們不斷發(fā)展出各種各樣的方法來解決大量復(fù)雜的非線性問題。

20世紀(jì)的常微分方程理論的研究主要有三個(gè)方面：解析理論（例如用常微分方程來描寫自守函數(shù)），定性理論（后來發(fā)展成為動(dòng)力系統(tǒng)理論）、以及各種常微分方程應(yīng)用的研究。

關(guān)于復(fù)分析，數(shù)學(xué)家們在19世紀(jì)所建立的一元復(fù)變函數(shù)的理論中，已經(jīng)包括了黎曼面（或黎曼曲面）理論和橢圓函數(shù)理論，這些理論對后來的數(shù)論與代數(shù)幾何的發(fā)展影響很大。在20世紀(jì)，值分布理論、擬共形映射、Teichmüller空間等重要理論的研究都取得了很大的進(jìn)展。

在20世紀(jì)初，人們開始研究多復(fù)變函數(shù)論，初期的工作是將單復(fù)變函數(shù)的結(jié)論推廣到具有任意多個(gè)自變量的情形。然而數(shù)學(xué)家們很快發(fā)現(xiàn)多元復(fù)變函數(shù)與一元復(fù)變函數(shù)有著本質(zhì)的區(qū)別，由于多復(fù)變函數(shù)非常復(fù)雜，所以就用到了微分幾何、代數(shù)幾何、拓?fù)鋵W(xué)、微分方程等領(lǐng)域中的許多理論與方法。例如對于全純域的問題，由H. Cartan（H. 嘉當(dāng)）和Serre（塞爾）等人通過運(yùn)用了層的上同調(diào)方法而得到解決，這個(gè)重要工作還被進(jìn)一步推廣到了解析空間和代數(shù)幾何中。

另一方面，經(jīng)過Weyl（外爾）、Hodge（霍奇）、Kodaira（小平邦彥）和Hirzebruch（希策布魯赫）等人的努力，將經(jīng)典的黎曼面理論推廣到了高維的情形，由此產(chǎn)生了關(guān)于復(fù)流形與復(fù)幾何的宏大理論。

三.20世紀(jì)分析學(xué)領(lǐng)域中的各個(gè)分支學(xué)科

在20世紀(jì)分析學(xué)領(lǐng)域中，所形成的各個(gè)分支學(xué)科（或方向）有：

1．實(shí)分析

微分學(xué)、測度論、積分理論、不變測度、長度和面積、分形、級數(shù)與漸近級數(shù)、多項(xiàng)式逼近、正交函數(shù)系、傅里葉級數(shù)、傅里葉變換、小波、調(diào)和分析、殆周期函數(shù)、Laplace變換、積分變換、位勢論、調(diào)和函數(shù)、狄利克雷問題、變分法、Plateau（普拉托）問題、凸分析。

2．泛函分析

希爾伯特空間、巴拿赫空間、有序線性空間、拓?fù)渚€性空間、函數(shù)空間、廣義函數(shù)、向量值積分、線性算子、緊算子與核型算子、插值空間、算子的譜分析、算子不等式、線性算子的攝動(dòng)、算子半群和發(fā)展方程、巴拿赫代數(shù)、C﹡-代數(shù)、函數(shù)代數(shù)、馮·諾伊曼代數(shù)、非線性泛函分析。

3．微分方程

常微分方程的初值問題和邊值問題、線性常微分方程、線性常微分方程的局部理論、線性常微分方程的整體理論、非線性常微分方程的局部理論、非線性常微分方程的整體理論、Painlevé方程、非線性振動(dòng)、非線性問題、常微分方程解的穩(wěn)定性、積分不變量、差分方程、泛函微分方程、動(dòng)力系統(tǒng)、低維動(dòng)力系統(tǒng)、雙曲動(dòng)力系統(tǒng)、保守動(dòng)力系統(tǒng)、動(dòng)力系統(tǒng)中的分歧、全微分方程、偏微分方程及其解法、亞橢圓性與可解性、偏微分方程的初值問題、復(fù)數(shù)域中的偏微分方程、一階偏微分方程、Monge-Ampère方程、橢圓型偏微分方程、雙曲型偏微分方程、拋物型偏微分方程、混合型偏微分方程、偏微分方程理論中的不等式、Green函數(shù)與Green算子、積分方程、積分微分方程、特殊微分方程、微局部分析與擬微分算子、特殊函數(shù)、橢圓函數(shù)。

4．復(fù)分析

全純函數(shù)與冪級數(shù)、全純函數(shù)族、全純函數(shù)最大值原理、解析函數(shù)邊界性質(zhì)、單葉函數(shù)、值分布理論、復(fù)逼近論、黎曼面、黎曼面上的分析、復(fù)動(dòng)力系統(tǒng)、共形映射、擬共形映射、Teichmüller空間、Klein群、多變量解析函數(shù)、解析空間、 方程、全純映射、多重下調(diào)和函數(shù)、CR-流形、核函數(shù)、Siegel區(qū)域、周期積分。

四. 20世紀(jì)上半葉分析學(xué)發(fā)展過程中的大事記

下面按照年份的順序，記錄了在20世紀(jì)的上半葉，關(guān)于分析學(xué)發(fā)展過程中的一些重要事件。

• 1900年，F(xiàn)redholm（弗雷德霍姆）解決了Fredholm型積分方程的求解問題，開創(chuàng)了積分方程的研究領(lǐng)域。
  Hilbert（希爾伯特）提出了變分法中重要的直接法。

• 1901年，Holmgren 證明了解析柯西問題正則解的唯一性。
  Hadamard（阿達(dá)瑪）提出了常微分方程的不變流形的概念。

• 1902年，Lebegue（勒貝格）創(chuàng)立了Lebegue積分的理論，并且提出了變分法中的下半連續(xù)性概念。
  Esclangon 提出了擬-周期函數(shù)的概念。
  Goursat 發(fā)表了名著《分析教程》。

• 1904年，F(xiàn)ejér 證明了關(guān)于傅立葉級數(shù)收斂性的Fejér定理。
  Landau 等人推廣了關(guān)于整函數(shù)的Picard（畢卡）定理。

• 1905年，Hilbert（希爾伯特）提出了變分法中不變積分的概念。
  Vitali 發(fā)現(xiàn)了非勒貝格可測集。

• 1906年，Hartogs （哈托格斯）發(fā)現(xiàn)了著名的Hartogs 現(xiàn)象，由此開創(chuàng)了多復(fù)變解析函數(shù)的研究領(lǐng)域。
  Fréchet（弗雷歇）引入了抽象的拓?fù)淇臻g。
  Levi 引入兩個(gè)變量的絕對連續(xù)函數(shù)，并且證明了單調(diào)收斂定理。
  Hilbert（希爾伯特）在研究具有對稱核的線性積分方程時(shí), 引入了具體的希爾伯特空間 與 ，并且提出了弱收斂的基本概念。
  Fatou（法都）證明了Fatou引理。

• 1907年，F(xiàn)ischer（菲舍爾）建立了弱收斂的理論，并且與Riesz（黎斯）一起證明了Riesz-Fischer定理： 與 同構(gòu)。
  Riesz（黎斯）給出了希爾伯特空間的定義。
  Fréchet（弗雷歇）確定了 空間上連續(xù)泛函的結(jié)構(gòu)。
  Fubini（富比尼）證明了Fubini定理。
  Lebegue（勒貝格）給出了解決狄利克雷問題的新結(jié)果和新方法。
  Koebe和Poincaré（龐加萊）給出了單值化定理的證明。

• 1908年，F(xiàn)redholm（弗雷德霍姆）得到了橢圓算子的基本解。
  Hadamard（阿達(dá)瑪）得到了雙曲算子的基本解。
  Moore 建立了線性算子的抽象理論。
  Schmidt 給出了希爾伯特空間中的正交投影。

• 1910年，Levi 提出了多復(fù)變擬凸函數(shù)的概念。
  Weyl（外爾）解決了二階線性微分方程的奇異邊值問題。
  Riesz（黎斯）建立了 空間與 上的連續(xù)泛函的理論。

• 1911年，Montel 建立了函數(shù)的正規(guī)族理論。
  Littlewood 證明了陶布爾型定理。
  Egorov（葉戈羅夫）證明了關(guān)于可測函數(shù)序列的Egorov定理。

• 1912年，F(xiàn)réchet（弗雷歇）建立了關(guān)于Fréchet微分的理論。
  Luzin（盧津）證明了可測函數(shù)的Luzin定理。
  Weyl（外爾）發(fā)現(xiàn)了特征值個(gè)數(shù)的漸近規(guī)律。

• 1913年，Gevrey 提出了雙曲方程的位勢方法。
  Carathéodory（卡拉泰奧多里）創(chuàng)立了幾何函數(shù)論。

• 1915年，Hardy（哈代）建立了 空間的理論。
  Lichtenstein 提出了變分法中的希爾伯特空間方法。

• 1916年，Bieberbach（比伯巴赫）提出了Bieberbach猜想。

• 1917年，Suslin 建立了解析集理論。

• 1918年，Riesz（黎斯）建立了緊算子的譜理論。
  E. Noether（E. 諾特）證明了變分法中等價(jià)問題的Noether定理。

• 1919年，Gateaux 建立了泛函區(qū)域上的積分理論，以及具有無窮多個(gè)變量的函數(shù)的理論。

• 1920年，Wiener（維納）建立了賦范線性空間的理論。
  Lamson 證明了函數(shù)空間中的壓縮映射定理。

• 1921年，F(xiàn). Noether 建立了奇異積分方程的理論。

• 1922年，Banach（巴拿赫）創(chuàng)立了完備賦范線性空間的理論，并且證明了完備賦范線性空間中的壓縮映射定理。
  Banach（巴拿赫）與Hahn（哈恩）證明了一致有界定理。
  Lévy 發(fā)表了《泛函分析講義》。
  Nevanlinna 發(fā)現(xiàn)了全純函數(shù)在奇異點(diǎn)或奇異直線附近的行為。

• 1923年，Dulac 確定了極限環(huán)的個(gè)數(shù)。
  Tricomi 建立了混合型偏微分方程的理論。

• 1924年，F(xiàn)ueter發(fā)表了關(guān)于橢圓函數(shù)的著作。
  Kneser 建立了微分系統(tǒng)的拓?fù)涞葍r(jià)性理論。
  Nevanlinna 給出了亞純函數(shù)的值分布論估計(jì)。
  Courant（柯朗）與Hilbert（希爾伯特）發(fā)表了名著《數(shù)學(xué)物理方法I》。

圖1：Courant（柯朗）與Hilbert（希爾伯特）寫的《數(shù)學(xué)物理方法I》中譯本，科學(xué)出版社，2011年

• 1926年，Riesz（黎斯）建立了關(guān)于次調(diào)和函數(shù)與位勢論方面的理論。
  Wiener（維納）建立了關(guān)于廣義傅里葉變換的理論。

• 1927年，Peter與Weyl（外爾）證明了現(xiàn)代調(diào)和分析中著名的Peter-Weyl定理。
  Schauder 將布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理推廣到了巴拿赫空間。
  Bochner（博赫納）建立了廣義傅里葉積分的理論。
  E. Hopf 提出了二階橢圓型方程的最大原理。
  Birkhoff 發(fā)表了《動(dòng)力系統(tǒng)》。
  Hahn（哈恩）證明了Hahn- Banach定理，并且建立了對偶空間理論。

• 1928年，Gr?tzsch 建立了擬共形映射的理論。
  Fréchet（弗雷歇）發(fā)表《抽象空間》。
  Liénard 證明了二階常微分方程極限環(huán)的存在性。

• 1929年，Banach（巴拿赫）證明了開映射定理。
  von Neumann（馮·諾伊曼）建立了一般測度論與希爾伯特空間理論。

• 1930年，von Neumann（馮·諾伊曼）建立了自共軛算子的譜理論。
  Ahlfors（阿爾福斯）建立了共形映射理論。
  Brelot 提出了狄利克雷問題的一般理論。
  Landau發(fā)表了《分析教程》。

• 1931年，H. Cartan（H. 嘉當(dāng)）證明了全純域的凸性質(zhì)。
  E. Hopf與Wiener（維納）得到了Wiener- Hopf型積分方程的解。
  Langer 建立了線性微分方程的漸近解的理論。

• 1932年，Besicovitch 發(fā)表《殆周期函數(shù)》。
  H. Cartan（H. 嘉當(dāng)）與Thullen 用全純凸來刻畫全純域。
  Wiener（維納）證明了陶布爾型定理，提出了單位分解，以及建立了絕對收斂傅里葉級數(shù)的理論。
  Banach（巴拿赫）發(fā)表了名著《線性算子理論》。

圖2：Banach（巴拿赫）寫的《線性算子理論》中譯本，科學(xué)出版社，2011年

• 1933年，Haar（哈爾）創(chuàng)立了群上調(diào)和分析中的Haar測度理論。

• 1934年，Leray 證明了Navier-Stokes偏微分方程的解的存在性，并且提出了廣義導(dǎo)數(shù)的基本概念。
  Behnke與Thullen 發(fā)表《多復(fù)變函數(shù)論》。
  Friedrichs（弗里德里希斯）建立了微分算子的Friedrichs擴(kuò)張的理論。

• 1935年，Ahlfors（阿爾福斯）與Lavrentiev 創(chuàng)立了擬共形映射的基本理論。
  von Neumann（馮·諾伊曼）創(chuàng)立了局部凸拓?fù)渚€性空間的基本理論。
  Bourbaki（布爾巴基）發(fā)表了第一篇論文“拓?fù)淇臻g中的Carathéodory測度”。
  H. Cartan（H. 嘉當(dāng)）建立了 上解析變換群的理論。
  Schauder 提出了解雙曲型方程的泛函分析方法。
  Zygmund發(fā)表《三角級數(shù)》。

• 1936年，Sobolev（索伯列夫）提出了索伯列夫空間的基本概念，并給出了關(guān)于廣義函數(shù)的第一個(gè)結(jié)果。
  Oka（岡潔）解決了第一Cousin（庫辛）問題。
  Hille 建立了線性算子的半群的理論。
  Lallo-Danilevski 給出了關(guān)于線性微分方程組的重要成果。
  Murray與von Neumann（馮·諾伊曼）創(chuàng)立了馮·諾伊曼代數(shù)的基本理論。

• 1937年，Cimmino 證明了光滑橢圓型方程一般解的正則性。
  Andronov與Pontryagin 創(chuàng)立了微分系統(tǒng)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的基本理論。
  Nagumo 提出了邊值問題的上解與下解。
  Rellich 建立了線性算子的擾動(dòng)理論。
  Stone 將作為了巴拿赫代數(shù)的一個(gè)原型。
  Courant（柯朗）與Hilbert（希爾伯特）發(fā)表了名著《數(shù)學(xué)物理方法II》。

圖3：Courant（柯朗）與Hilbert（希爾伯特）寫的《數(shù)學(xué)物理方法II》中譯本，科學(xué)出版社，2012年

• 1938年，Ahlfors（阿爾福斯）對施瓦茲引理作出了重要的推廣。
  Morrey 給出了擬線性橢圓型方程解的赫爾德估計(jì)。
  Petrovski 證明了雙曲型方程柯西問題的適定性。
  Riesz（黎斯）提出了波動(dòng)方程柯西問題解的Riesz算子。

• 1939年，Oka（岡潔）解決了第二Cousin（庫辛）問題。
  Andronov與Leontovich 建立了平面向量場的分歧理論。
  Wiener（維納）創(chuàng)立了遍歷理論。

• 1940年，Weyl（外爾）提出了解狄利克雷問題的正交投影方法。
  Stone 建立了C*-代數(shù)的基本理論。

• 1941年，H. Cartan（H. 嘉當(dāng)）對位勢理論做了重要工作。

• 1942年，Oka（岡潔）解決了二元函數(shù)的Levi（萊維）問題。
  Siegel 建立了解析函數(shù)的迭代理論。
  Lelong 建立多重下調(diào)和函數(shù)的理論。

• 1943年，Mackey 建立局部凸空間中的對偶理論。

• 1944年，F(xiàn)riedrichs（弗里德里希斯）建立光滑化算子和微分算子擴(kuò)張的理論。

• 1945年，L. Schwartz（施瓦茲）創(chuàng)立了廣義函數(shù)（也稱為“分布”）的基本理論。
  Ambrose 建立了巴拿赫代數(shù)的系統(tǒng)理論。
  Beurling 對譜定理做了重要工作。

• 1946年，Godement 證明了局部緊阿貝爾群上的陶貝爾型定理。
  Levinson 確定了線性微分方程解的漸近行為。
  Rickart 建立了非交換賦范代數(shù)的理論。

• 1947年，H. Cartan（H. 嘉當(dāng)）與Godement 建立了局部緊阿貝爾群上的對偶性與傅里葉分析的基本理論。

• 1948年，Choquet 建立了收斂性理論。
  Feynman（費(fèi)曼）創(chuàng)立了路徑積分（或Feynman積分）的基本理論。
  Hille 發(fā)表了《泛函分析與半群》。
  Mikusinski 對廣義函數(shù)做了重要工作。
  Whitney 建立了 上函數(shù)的理想的譜綜合理論。

• 1949年，H. Cartan（H. 嘉當(dāng)）創(chuàng)立了多復(fù)變函數(shù)論中的層論。
  Siegel 發(fā)表《多復(fù)變解析函數(shù)》。
  Beurling 建立了希爾伯特空間中的不變子空間理論。
  Dieudonné與L. Schwartz（施瓦茲）將巴拿赫空間的性質(zhì)推廣到廣義函數(shù)理論。

• 1950年，H. Cartan（H. 嘉當(dāng)）提出了凝聚層的基本概念，并且創(chuàng)立了全純纖維空間中的層論。
  Oka（岡潔）證明了關(guān)于凝聚解析理想的Oka定理。
  G?rding 確定了常系數(shù)橢圓型方程的狄利克雷問題的廣義解。
  Kodaira（小平邦彥）與de Rham（德·拉姆）發(fā)表了《調(diào)和積分》。
  Ahlfors（阿爾福斯）與Beurling 創(chuàng)立了共形不變量的基本理論。
  L. Schwartz（施瓦茲）發(fā)表名著《廣義函數(shù)論》。

圖4：L. Schwartz（施瓦茲）寫的《廣義函數(shù)論》中譯本，高等教育出版社，2010年

五.分析學(xué)閱讀書目

（一）實(shí)分析