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編輯&審校&配圖：楊夕歌 我們的故事將從對稱性和對稱破缺講起。（有興趣的讀者也可以參考我們之前的文章《宇稱為什么不守恒？》） 一、對稱性與對稱破缺 在筆者看來，對稱性與對稱破缺是現(xiàn)代物理學(xué)中最迷人最優(yōu)美的發(fā)現(xiàn)。它們不僅廣泛存在于自然現(xiàn)象中，而且蘊含著極為深刻的哲學(xué)思想。“對稱”代表著一種美，而它的“破缺”則是一種“不完美”的體現(xiàn)，是一種“美的破缺”。甘瓜苦蒂，天下物無全美，恰恰是這種“美的破缺”營造了我們這個豐富多彩的世界；而在“破缺”中又無處不體現(xiàn)著對稱的美，二者你中有我，我中有你，科學(xué)思想的精妙盡展其中，令人嘆為觀止。
圖一：老北京城的中軸線 早在古希臘時代，西方哲學(xué)的先哲們就已經(jīng)開始探索各樣的“對稱”，并開始為科學(xué)發(fā)展奠定思想的根基。從那個時代開始，“對稱性”就成為了美的象征，甚至成為了一種科學(xué)的信仰。我們看到世界各地的建筑設(shè)計，室內(nèi)裝潢，景觀布置，乃至城市區(qū)域規(guī)劃都采用了大量具有各種對稱性結(jié)構(gòu)的幾何圖案，例如老北京城的中軸線（圖一）就體現(xiàn)了對稱性的美學(xué)效應(yīng)。人類對于對稱性的喜愛和使用超越了時間跨度和文化差異，人類對對稱性的探索和理解也在隨著數(shù)學(xué)思想的發(fā)展逐步深入，走過了從直觀到抽象的跨越，但對于對稱性的美的信仰卻從未改變。 隨著數(shù)學(xué)理論的發(fā)展，人類對對稱性的理解上升到了新的高度，群論成為了科學(xué)家們研究對稱性的有力工具。雖然群論在數(shù)學(xué)上是一個抽象的概念，但直觀地說，群論是用來研究各種“變換”的，群里面的元素就是一種對稱性的“操作”，這些變換或者操作組成的集合就是一個“群”。 那么為什么群論能夠成為研究對稱性的基本工具呢？“對稱的破缺”又是如何在其中體現(xiàn)出來的呢？我們用一個簡單的例子來解釋這個問題。 我們現(xiàn)在對一個正方形以它的中心為基點施加一個旋轉(zhuǎn)變換，我們發(fā)現(xiàn)一共有四種旋轉(zhuǎn)：旋轉(zhuǎn)90度，180度，270度，360度，使得它在旋轉(zhuǎn)后依舊能夠變成它自己本身的圖案，這種旋轉(zhuǎn)變換我們稱之為對稱操作，或者“對稱變換”，這些對稱變換就能組成一個“群”。同理，我們也可以討論圓形的對稱變換——不難發(fā)現(xiàn)，圓的對稱變換其實有無窮多種，因為旋轉(zhuǎn)任意一個角度都是圓的一種對稱變換。簡單的說，圓與正方形都有自己的對稱性，且他們的對稱性都可以由這些“對稱變換群”來描述。
圖二：上圖是圓形和正方形的對稱變換。同理，我們也可以討論正六邊形，正八邊形等具有對稱性的幾何圖案。我們看到，研究其“對稱變換（操作）”是研究其對稱性的基本方法。 顯然，圓形的對稱性的程度是高于正方形的，因為圓的對稱變換包含了正方形的對稱變換。由此我們也能直觀地理解“對稱破缺”的含義——我們考慮這樣的一個圓形逐步變換成一個正方形的過程，在這個圖形變換的過程中，圓形本身的對稱性被破壞了，只保留了一部分對稱性（由任一角度旋轉(zhuǎn)對稱變換為僅僅四個角度旋轉(zhuǎn)對稱）。這個變換的過程就是對稱破缺（Symmetry Breaking）。 我們可以用“對稱性”的思想來研究一個物理系統(tǒng)。這個物理系統(tǒng)可能不具備一個直觀的幾何圖像，但依然可以有自己的對稱性，而這種對稱性也由這個系統(tǒng)所對應(yīng)的某種“對稱變換群”來描述，我們也用這種方式來研究這個系統(tǒng)的對稱性，而這種“對稱變換群”，在現(xiàn)代物理學(xué)中一般都是物理系統(tǒng)的某種“坐標(biāo)變換群”。 更嚴(yán)格地說來：物理系統(tǒng)是由某些物理量來刻畫的，而這些物理量又有對應(yīng)的作用量（作用量是函數(shù)的函數(shù)，在數(shù)學(xué)上我們稱之為泛函）。這些物理量可以是一些函數(shù)，它們擁有屬于自己的坐標(biāo)系。由于坐標(biāo)系的選取是可以變換的，當(dāng)我們對這些坐標(biāo)系施加變換（是一種對稱變換）的時候，所對應(yīng)的物理量也會隨之變換，但是正如對一個圓形施加旋轉(zhuǎn)變換后它依然是一個圓，刻畫物理系統(tǒng)的作用量在形式上卻不會發(fā)生變化，我們把這種性質(zhì)稱之為對稱性（也叫協(xié)變性）。由這個具有對稱性的作用量，我們還能推導(dǎo)出物理系統(tǒng)的運動方程（對作用量使用變分法），這些方程也會具有相應(yīng)的對稱性（或協(xié)變性）。 對稱性和對稱變換是現(xiàn)代物理學(xué)中里程碑式的偉大思想。我們用一張圖來簡要闡述之：
圖三
二、弱相互作用和電弱統(tǒng)一 2.1 弱相互作用是什么？ 我們的討論從“弱相互作用”開始，這與我們之后要討論的希格斯機(jī)制密切相關(guān)。什么是弱相互作用呢？ 根據(jù)前一節(jié)對稱性的思想路線，我們在研究一個物理系統(tǒng)時要抓住三個最重要的因素：刻畫物理系統(tǒng)的物理量，系統(tǒng)的作用量，和與系統(tǒng)對應(yīng)的對稱變換。 自然界所有的力學(xué)作用，追根溯源都可以歸類為四種基本的相互作用：引力相互作用，電磁相互作用，強(qiáng)相互作用，和弱相互作用。這四種相互作用在不同的物理世界中主導(dǎo)了最基本的自然規(guī)律，例如引力相互作用是宇宙學(xué)和天文物理的基本研究對象；電磁相互作用在我們?nèi)粘Ｉ钪须S處可見；而強(qiáng)相互作用則在原子核內(nèi)部發(fā)揮作用，它把質(zhì)子和中子牢牢控制在原子核內(nèi)部。至于我們要討論的弱相互作用則發(fā)生在更加微觀的尺度，它是夸克，輕子（電子，中微子等微觀粒子）之間的相互作用, 弱相互作用最著名的物理現(xiàn)象是 β 衰變，簡單地說，就是一個中子會自發(fā)消失，然后“變成”一個質(zhì)子，一個電子和一個中微子，是一種微觀粒子在弱相互作用的主導(dǎo)下發(fā)生的衰變反應(yīng)。
圖四、四種基本相互作用 那么這種神奇的粒子反應(yīng)是如何發(fā)生的呢？按照湯川秀樹（日本物理學(xué)家，1949年諾貝爾物理學(xué)獎得主）的相互作用理論，所有的微觀粒子相互作用都是由相應(yīng)的一種粒子來傳遞相互作用的，這種粒子被稱之為媒介子。而弱相互作用的媒介子由三種微觀粒子 : 我們同樣使用上述對稱性的思想來研究弱相互作用這種物理系統(tǒng)，那么這三個四維的波函數(shù) 2.2 電弱統(tǒng)一理論簡介 刻畫弱相互作用的物理模型是 U(1)×SU(2) 電弱相互作用模型（Electroweak interaction），也就是著名的電弱統(tǒng)一理論，筆者在這里做簡要闡述。由于傳遞弱相互作用的其中兩個場粒子 弱相互作用物理量已經(jīng)有了（也就是上面提到的規(guī)范場），那么它的作用量長什么樣呢？這個作用量可以表示成一個楊-米爾斯規(guī)范作用量（這里為了簡單起見，我們省略電磁作用）:
圖五、弱相互作用量（楊-米爾斯理論的一部分） 其中
圖六、洛倫茨矩陣（狹義相對論變換矩陣，光速被去量綱化為 1） 這里我們暫時不考慮楊-米爾斯理論的具體細(xì)節(jié)。我們在這里需要知道的就是，
圖七：變分方程。以上方程又名歐拉-拉格朗日方程，這是拉格朗日力學(xué)中的常用手段。 現(xiàn)在我們已經(jīng)獲得了刻畫弱相互作用的物理量和作用量。三件圣器已得其二，最后的圣器就是這個物理系統(tǒng)所具有的對稱性。事實上這個系統(tǒng)具有不止一種對稱性，我們這里重點關(guān)心的是它的“規(guī)范對稱性”，也就是規(guī)范場
圖八、場函數(shù) 通常情況下取
圖九、場函數(shù) 2.3 玻色子與費米子 筆者強(qiáng)調(diào)，所有的規(guī)范場理論都是由以下兩部分組成的：刻畫費米子（fermion）的波函數(shù) ψ 和媒介子的場函數(shù)
圖十、和費米子比起來，玻色子更像是沒有感情的信息/相互作用傳遞者
從性質(zhì)上來分析，費米子是半分?jǐn)?shù)自旋（自旋是基本粒子的內(nèi)秉屬性。自旋并非代表粒子真的在旋轉(zhuǎn)，而是該屬性使得粒子產(chǎn)生了磁場），玻色子是整數(shù)自旋。玻色子的這種性質(zhì)使得它很容易被用一個場來表示。實際上，標(biāo)準(zhǔn)模型中的規(guī)范場都是玻色子場，滿足洛倫茨對稱性，而費米子則直接使用波函數(shù)來表示。此外，玻色子和費米子的運動方程也不一樣。費米子直接使用狄拉克方程（薛定諤方程的擴(kuò)展，可以描述滿足狹義相對論的費米子運動軌跡），玻色子則是克萊因-戈爾登方程（下一節(jié)會進(jìn)一步介紹），由不同類型的作用量求變分得到。費米子滿足泡利不相容原理，導(dǎo)致了費米子的研究方法會更復(fù)雜一些。 值得一提的是，規(guī)范場
圖十一、狄拉克方程（紅色框里的）。其中 ? 是普朗克常數(shù)，Φ 是 N 維向量，代筆某個費米子的 N 個粒子態(tài)，m 是 N 維對角質(zhì)量矩陣 協(xié)變導(dǎo)數(shù) 這一事實，正是希格斯機(jī)制被提出的關(guān)鍵。 三、對稱破缺與希格斯機(jī)制 在上一節(jié)中我們已經(jīng)知道，弱相互作用的媒介子
圖十二、動能三角公式 按照量子力學(xué)的一般操作，用
圖十三、克萊因-戈爾登方程 我們注意到，在克萊因-戈爾登方程中，線性項 弱相互作用的媒介子 規(guī)范場項 其實早在1953年，楊振寧和米爾斯最早建立規(guī)范場理論的時候，奧地利物理學(xué)家泡利就已經(jīng)意識到這個問題的存在和嚴(yán)重性。在楊振寧的回憶錄中他回憶道 [3]：
因此，如果規(guī)范場所刻畫的玻色子不允許擁有質(zhì)量，那么規(guī)范場將不再是一個能夠被廣泛應(yīng)用的物理理論；但另一方面，如果允許這些粒子擁有質(zhì)量，那么它們的規(guī)范對稱性又將被破壞。 這個難題困擾了物理學(xué)界數(shù)十年之久。一直到 1964 年，在南部陽一郎（獲得 2008 年諾貝爾物理獎，弦理論提出者之一）和希格斯等物理學(xué)家的努力下，終于出現(xiàn)了一套解決上述問題的方案，就是建立在“自發(fā)對稱破缺”（Spontaneous Symmetry Breaking）思想之上的希格斯機(jī)制，該機(jī)制同時預(yù)言了希格斯粒子的存在。其解決方案思路是，在作用量中添加一個新的場 Φ （它就是大名鼎鼎的希格斯粒子） 以及作用量 但是當(dāng)我們從這個作用量推導(dǎo)運動方程的時候（用變分法），就會發(fā)現(xiàn)這個希格斯粒子會與媒介子 簡而言之，這些弱相互作用的媒介子之所以能夠擁有質(zhì)量，是因為希格斯粒子的存在并與之發(fā)生相互作用，這種質(zhì)量產(chǎn)生機(jī)制就是希格斯機(jī)制；與此同時產(chǎn)生質(zhì)量的代價是規(guī)范對稱性被破壞，這就是所謂自發(fā)對稱破缺的物理思想。在希格斯機(jī)制下，質(zhì)量就好比水的阻力，在單純泡溫泉的情況下我們沒辦法感受到的存在，因為我們沒有和水發(fā)生相互作用；但若我們一旦在水里游泳，人與水發(fā)生相互作用，我們立馬就能感受到水的阻力，并將該阻力轉(zhuǎn)化為前進(jìn)的動力。 然而到此為止，希格斯玻色子僅僅只是理論預(yù)測，它亟需得到實驗的驗證。功夫不負(fù)有心人，2013年3月14日，歐洲核子研究中心正式宣布在探測中發(fā)現(xiàn)希格斯粒子，而該年的諾貝爾物理學(xué)獎也立即被頒發(fā)給獨立提出希格斯機(jī)制的恩格勒和希格斯。如今，希格斯粒子以及希格斯機(jī)制早已成為研究微觀粒子相互作用的”標(biāo)準(zhǔn)模型“的重要組成部分。
圖十四、弗朗索瓦·恩格勒（左）和彼得·希格斯（右）獲得 2013 年諾貝爾物理學(xué)獎。圖片來自諾貝爾獎官網(wǎng) 正如我們所討論的，希格斯機(jī)制是使得弱相互作用的媒介子獲得質(zhì)量的重要原因，所以希格斯粒子也獲得了“上帝粒子”的稱號，那么是不是所有的微觀粒子的質(zhì)量都來自于希格斯機(jī)制呢？這實際上是一個開放性的問題，有的人認(rèn)為世間萬物的質(zhì)量都源于希格斯粒子。然而事實上，答案很可能是否定的——至少中微子的質(zhì)量產(chǎn)生機(jī)制并不源于希格斯粒子 [4]。筆者和小編認(rèn)為，微觀粒子的質(zhì)量產(chǎn)生機(jī)制比較復(fù)雜，它也與粒子的運動狀態(tài)有關(guān)。 事實上和希格斯機(jī)制相比，自發(fā)對稱破缺是更為重要的物理思想。正如本文一開始所說的，對稱性在物理學(xué)中是美的象征，但是不同的物理系統(tǒng)具有不同的對稱性，當(dāng)不同的物理系統(tǒng)發(fā)生耦合的時候，其本身的對稱性都有可能被破壞，發(fā)生對稱破缺。我們生活在不同物理系統(tǒng)耦合在一起的世界中，這樣的自發(fā)對稱破缺其實是非常普遍的，而希格斯粒子的概念，也早已被推廣到更加廣泛的物理系統(tǒng)中。在當(dāng)下頗為熱門的凝聚態(tài)物理中，自發(fā)對稱破缺也是最基本的物理思想之一，筆者還將推出相變系列的科普文章，闡述物理系統(tǒng)在相變過程中的自發(fā)對稱破缺現(xiàn)象。
轉(zhuǎn)載內(nèi)容僅代表作者觀點 不代表中科院物理所立場 來源：科普最前線 |
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就是刻畫該物理系統(tǒng)的物理量。
