【原】萬物皆數 畢達哥拉斯

畢達哥拉斯（Pythagoras，約前580年-約前500年），古希臘數學家、哲學家。畢達哥拉斯將數學和哲學結合在一起，創立以數學為本原的學派——畢達哥拉斯學派，亦稱“南意大利學派”。人們叫畢達哥拉斯“智者”，但他謝絕了這一稱號，他說：“我并不是智者，我只是愛智慧的人”，從此，哲學（philosopher）一詞便盛行開來。從他開始，希臘哲學產生了數學研究，畢達哥拉斯被尊稱為“數學之父”。畢達哥拉斯用數學研究樂理，由此所產生的“和諧”的概念。他認為數學可以解釋世界上的一切事物，對數字癡迷到幾近崇拜；同時認為一切真理都可以用比例、平方及直角三角形去反映和證實。在宇宙論方面他認為存在著許多但有限個世界，并堅持大地是圓形的。在數學上，畢達哥拉斯被認為是勾股定理的發現者，在西方，勾股定理被稱為畢達哥拉斯定理，對數學發展影響重大。他埃及的旅行經歷可能導致他相信靈魂不朽和復活。

畢達哥拉斯

I 生平

大約公元前580年，畢達哥拉斯出生在米利都附近的薩摩斯島(今希臘東部的小島)——愛奧尼亞群島的主要島嶼城市之一，此時群島正處于極盛時期，在經濟、文化等各方面都遠遠領先于希臘本土的各個城邦。

關于畢達哥拉斯的歷史資料并沒有被完全證明，因為他那個時代的文件都沒有保存下來。傳說，在他出生前幾個月，神諭預言畢達哥拉斯的父親會生育一個天才。畢達哥拉斯（Pythagoras）的名字，“Announced by Pythian（希臘語Delphi，以神諭著稱）”，意為“由德爾菲神諭宣布的”。正如神諭所預言的那樣，畢達哥拉斯被證明是一個非常有天賦的孩子。

畢達哥拉斯的父親是一個富商，九歲時被父親送到提爾，在閃族敘利亞學者那里學習，在這里他接觸了東方的宗教和文化。以后他又多次隨父親作商務旅行到小亞細亞。 

      早年，畢達哥拉斯在薩摩斯的詩人克萊非洛斯那里學習了詩歌和音樂。

      公元前551年，畢達哥拉斯來到米利都、得洛斯等地，拜訪了泰勒斯、阿那克西曼德和菲爾庫德斯，并成為了他們的學生。

      公元前550年，30歲的畢達哥拉斯因宣傳理性神學，穿東方人服裝，蓄上頭發從而引起當地人的反感，從此薩摩斯人一直對畢達哥拉斯有成見，認為他標新立異，鼓吹邪說。畢達哥拉斯被迫于公元前535年離家前往埃及，途中他在腓尼基各沿海城市停留，學習當地神話和宗教，并在提爾一神廟中靜修。抵達埃及后，國王阿馬西斯推薦他入神廟學習。從公元前535年到公元前525年這十年中，畢達哥拉斯學習了象形文字和埃及神話歷史和宗教，并宣傳希臘哲學，受到許多希臘人尊敬，有不少人投到他的門下求學。

畢達哥拉斯與埃及祭司, Louis Figuier, 1866

       公元前525年，波斯人入侵這個國家，并把他作為俘虜帶到巴比倫。在那里，他利用他的時間來研究巴比倫的抄寫員的知識。

        其后，畢達哥拉斯返回家鄉薩摩斯，開始講學并開辦學校，但是沒有達到他預期的成效。

       公元前520年左右，為了擺脫當時君主的暴政，他與母親和唯一的一個門徒離開薩摩斯，移居西西里島，后來定居在克羅托內。在那里他廣收門徒，建立了一個宗教、政治、學術合一的團體。

       他的演講吸引了各階層的人士，很多上層社會的人士來參加演講會。按當時的風俗，婦女是被禁止出席公開的會議的，畢達哥拉斯打破了這個成規，允許她們也來聽講。男女地位一律平等，一切財產都歸公有。社團的組織紀律很嚴密，甚至帶有濃厚的宗教色彩。每個學員都要在學術上達到一定的水平，加入組織還要經歷一系列神秘的儀式，以求達到“心靈的凈化”。他們要接受長期的訓練和考核，遵守很多的規范和戒律，并且宣誓永不泄露學派的秘密和學說。他們相信依靠數學可使靈魂升華，與上帝融為一體，萬物都包含數，甚至萬物都是數，上帝通過數來統治宇宙。這是畢達哥拉斯學派和其他教派的主要區別。

       熱心的聽眾中就有他后來的妻子西雅娜，她年輕漂亮，曾給他寫過傳記，可惜已經失傳了。

       學派的教義鼓勵人們自制、節欲、純潔、服從。他們開始在大希臘(今意大利南部一帶)贏得了很高的聲譽，產生過相當大的影響，也因此引起了敵對派的嫉恨。

 畢達哥拉斯學派慶祝日出儀式，Fyodor Bronnikov，1869

     后來他們受到民主運動的沖擊，社團在克羅托內的活動場所遭到了嚴重的破壞。畢達哥拉斯被迫移居他林敦(今意大利南部塔蘭托)，并于公元前500年去世，享年80歲。許多門徒逃回希臘本土，在弗利奧斯重新建立據點，另一些人到了塔蘭托，繼續進行數學哲學研究，以及政治方面的活動，直到公元前4世紀中葉。畢達哥拉斯學派持續繁榮了兩個世紀之久。

 畢達哥拉斯學派在Croton

II 主要觀點和業績

1. 數論

     畢達哥拉斯主張研究數學的目的并不在于實用而是為了探索自然的奧秘。他們從五個蘋果、五個手指等事物中抽象出了五這個數，定義了自然數，并將自然數區分為奇數(odd)、偶數(even)、素數(prime)、合數(composite)、完美數(perfect)、親和數(amicable)。

2. 數與音樂

     在研究音樂時，畢達哥拉斯將一條弦固定，通過不同的比例區分整體與部分間的距離，結果發現：弦長比為2：1時，則發出相隔八度的兩個高音；當弦長之比為4：3、3：2時，則發出純五度、純四度的音程關系，這種數量關系，是對樂音組成的原初認識，即和諧的最簡單的形式。畢達哥拉斯用這種方法創造了一套互相有明確數學關系的音律，被稱作五度相生律。這套定律不僅成為了畢達哥拉斯學派各種藝術活動中的基石，也流傳至后世一直影響著現代的音樂理論。

在這個意義上，畢達哥拉斯定義了有理數，即一切數都可以表示成兩個自然數的比值。

3. 數形關系

在畢達哥拉斯派看來，數為宇宙提供了一個概念模型，數量和形狀決定一切自然物體的形式，數不但有量的多寡，而且也具有幾何形狀，從而定義了平方數(square)、三角數和五角數等。

三角數

平方數

4. 萬物皆數的哲學思想

在這個意義上，他們把數理解為自然物體的形式和形象，是一切事物的總根源。因為有了數，才有幾何學上的點，有了點才有線面和立體，有了立體才有火、氣、水、土這四種元素，從而構成萬物，所以數在物之先。自然界的一切現象和規律都是由數決定的，都必須服從“數的和諧”，即服從數的關系，宣稱數是宇宙萬物的本原。

并建立了數的神秘化理論體系。

“1”代表數的第一原則，萬物之母，也是智慧；

“2”代表對立和否定的原則，是意見；

“3”代表萬物的形體和形式；

“4”代表正義，是宇宙創造者的象征；

“5”代表奇數和偶數，雄性與雌性和結合，也是婚姻；

“6”代表神的生命，是靈魂；

“7”代表機會；

“8”代表和諧，也是愛情和友誼；

“9”代表理性和強大；

“10”包容了一切數目，是完滿和美好

畢達哥拉斯雕版畫，1702

5. 畢達哥拉斯定理

畢達哥拉斯本人以發現勾股定理(西方稱畢達哥拉斯定理)著稱于世。這定理早已為巴比倫人和中國人所知，不過最早的證明大概可歸功于畢達哥拉斯。他是用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方之和，即畢達哥拉斯定理(在中國稱為勾股定理)。據說畢達哥拉斯學派殺了一百頭牛來慶祝這個定理的發現，因而又稱百牛定理。該定理至今有超過400 種證明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一，激起了無數愛好者的無限熱情。

畢達哥拉斯定理

6. 幾何：四種？五種？正多面體

畢達哥拉斯學派在幾何學方面的貢獻

證明了“三角形內角之和等于兩個直角”的論斷；

研究了黃金分割；

發現了正五角形和相似多邊形的作法；

用歸謬法(reduction to absurdity)證明了正多面體只有五種(后稱為Platonic solids)——正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體。 忍不住叨一句，這非常有意思的證明呀！

三角形內角和定理：三角形內角和是180°

五種正多面體

7. 球形是最完美的

在所有的數形結構中，畢達哥拉斯認為球形是最完美的。

傳說畢達哥拉斯認為地球是圓形的。但沒有給出強有力的證明。

8. 勻速圓周運動的宇宙模型

畢達哥拉斯從球形是最完美幾何體的觀點出發，認為大地是球形的，提出了太陽、月亮和行星作均勻圓運動的思想。他認為十是最完美的數，所以天上運動的發光體必然有十個。

 畢達哥拉斯學派認為，我們生活在一系列的“同心球”之中，一環套一環。行星鑲嵌在天球之上，跟隨天球運轉。最中心的位置是“中心火”，然后由里往外是對地、地球、月亮、太陽、金星、水星、火星、木星、土星、恒星天（即天球）。這種“地球-天球”模式的宇宙構圖，形成了古希臘人的基本天文常識。后來用算術、幾何來計算天體運動規律，都是在這個模式下計算的。隨著觀測數據越來越豐富，計算結果越來越超出意外，人們對這個框架修修補補，經過在兩千多年的積累中，傳襲到哥白尼。

他還有一套這樣的理論：地球沿著一個球面圍繞著空間一個固定點處的“中央火”轉動，另一側有一個“對地星”與之平衡。這個“中央火”是宇宙的祭壇，是人永遠也看不見的。這十個天體到中央火之間的距離，同音節之間的音程具有同樣的比例關系，以保證星球的和諧，從而奏出美妙的天體的音樂。

9. 畢達哥拉斯的倫理觀

　在早年的治學時期，畢達哥拉斯經常到各地演講，以向人們闡明經過他深思熟慮的見解，除了“數是萬物之原”的主題外，他還常常談起有關道德倫理的問題。

　他對議事廳的權貴們說，“一定要公正。不公正，就破壞了秩序，破壞了和諧，這是最大的惡。起誓是很嚴重的行為，不到關鍵時刻不要隨便起誓，每個官員應能立下保證，保證自己不說謊話。”

　在談到治家時，他認為對兒女的愛是不能指望有回報的，但做父親的應當努力用自己的言行去獲得子女由衷的敬愛。父母的愛是神圣的，作子女的應當珍惜。子女應是父母的朋友，兄弟姐妹之間也應該彼此互敬互愛。當提到夫妻關系時，他說彼此尊重是最重要的，雙方都應忠實于配偶。

　他談到過自律的問題。他說，自律是對人個性的一種考驗，對兒童、少年、老人、婦女來說，能自律是一種美德，但對年輕人來說，則是必要。自律使你身體健康，心靈潔凈，意志堅強。畢達哥拉斯從如何培養自律講到教育的重要性，他認為人的自律只能在理性和知識的指導下才能培養起來，而知識只能通過教育才能獲得，所以教育的重要性是不容忽視的。

  他形象的描述了教育的特性：“你能通過學習從別人那里獲得知識，但教授你的人卻不會因此失去了知識。這就是教育的特性。世界上有許多美好的東西。好的稟賦可以從遺傳中獲得，如健康的身體，嬌好的容顏，勇武的個性；有的東西很寶貴，但一經授予他人就不再歸你所有，如財富，如權力。而比這一切都寶貴的是知識，只要你努力學習，你就能得到而又不會損害他人，并可能改變你的天性。”

10. 靈魂不朽與生命輪回

畢達哥拉斯告訴人們，他是上帝的兒子，他已經多次轉世，直到他達到現在的狀態。畢達哥拉斯聲稱，在過去的生活中，他是赫爾墨斯的兒子，他曾給了畢達哥拉斯任何他想要的禮物，除了永生。畢達哥拉斯要求記住他的一生，記住他曾經經歷過的每一個人。他曾和阿喀琉斯一起參加過特洛伊戰爭。他曾是一個卑微的漁夫。他甚至是一個漂亮的妓女，和有權勢的男人睡過覺。更重要的是，畢達哥拉斯聲稱他能在新的身體中感覺到古老的靈魂。傳說，他曾經看到一只狗在街上被毆打，然后跑過去阻止毆打。“停止了！別打它！這是一個朋友的靈魂?！彼?/span>從狗的叫聲里認出了他。

畢達哥拉斯和漁翁，Salvator Rosa，1662

畢達哥拉斯從地府復活，Salvator Rosa，1662

III 無理數的發現

畢達哥拉斯堅信，世界上的數字均可以用與有理數（整數或者整數之比（即分數））來表示。傳說畢達哥拉斯的學生之一希帕索斯(Hippasus)卻發現，若根據勾股定理計算邊長為1的正方形的對角線，其值√2不能用任何一個整數之比來表示，這是人類發現的第一個無理數。這一發現觸犯了畢達哥拉斯學派的信條，傳說希帕索斯被畢達哥拉斯投如愛琴海，溺水身亡。這次事件被稱作數學歷史上的第一次危機，它否定了一切數都是有理數的結論。直到18至19世紀，關于微積分嚴格性的討論才對第一次數學危機給出了解答。

無理數的發現

畢達哥拉斯定理：在Rt△ABC中，a、b是兩直角邊，c是斜邊，則有：a²+b²=c².

進一步閱讀

1. Aristotle. The Complete Works of Aristotle. Princeton University Press, 1984.

2. Baird, F.E. Philosophic Classics, Volume I Ancient Philosophy. Prentice Hall, 2010.

3. David, R. Religion and Magic in Ancient Egypt. Penguin Books, 2003.

4. Diogenes Laertius. Lives of the Eminent Philosophers. Oxford University Press, 2018.

5. Freeman, K. Ancilla to the Pre-Socratic Philosophers. Harvard University Press, 1983.

6. Friedrich Nietzsche. The Portable Nietzsche. Penguin Books, 1977.

7. James, G. G. M. Stolen Legacy: The Egyptian Origins of Western Philosophy. Echo Point Books, 2016.

8. Mansley Robinson, J. An Introduction to Early Greek Philosophy. Houghton Mifflin School, 1968.

9. Plato. Phaedo. Harvard University Press, 2017.

10. Plato. The Collected Dialogues of Plato. Princeton University Press, 2005.

11. Pythagoras (Stanford Encyclopedia of Philosophy)Accessed 1 Dec 2016.

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14. Waterfield, R. The First Philosophers: The Presocratics and the Sophists. Oxford University Press, 2009.

15. Website：https://www./Pythagoras/

16. Website：https://plato./entries/pythagoras/

17. Website：https://www./biography/Pythagoras

18. Website：https://mathshistory./Biographies /Pythagoras/