 新冠疫情改變了正常的社會秩序，也影響了人們對世界的認知。病毒的擴散和對疫苗的急切需求在互聯網上催生出眾多生物學科普；全球停擺帶來的經濟衰退使得經濟顯學信徒一增再增；更不要說在當今國際社會集體右轉、逆全球化趨勢抬頭的大背景下國關話題就未曾冷卻過…… 而有一門學科，看似無人問津，卻對疫情期間辦公室、學校和其他公共空間重新開放，同時保持人與人之間的安全社交距離十分必要。它就是數學，所有關于人員排布的問題都可以從數學家這幾個世紀以來的研究中得到答案。  那么到底怎樣讓大家恢復上班，同時又保持合理的安全距離呢？我們可以把這個問題簡化為“球體填充”，即在給定的平面或空間中排列盡可能多的圓或球體。 舉個例子來說，如果每個人都必須與其他人保持6英尺（1.8米）的距離，那么問題就是要計算出一間辦公室或餐廳里最多能能坐多少人。 這乍聽起來是一個很簡單的問題，但卻一直困擾著歷史上一些最偉大的數學家，而且圍繞這個問題至今仍然有令人興奮的研究誕生，特別是在更高維度上。 例如，數學家最近證明了將球體填充到8維和24維空間的最佳方法，可不要小瞧這個看起來不知所謂的研究，它可是優化手機的糾錯代碼技術和太空探測器通信技術所必需的理論基礎。因此，讓我們來看看當我們試圖用最簡單的形狀填充空間時，究竟會出現什么你意想不到的復雜情況。 我們來設想一個情景：現在你的工作是將用一個盒子給橙子打包（或在安全社會距離下安排學生的座位，二者大同小異）。那么盒子的大小和形狀就是問題的關鍵。 首先，把問題降維一下，它就轉化成了在二維空間中用不重疊的相同大小的圓覆蓋平面。換句話說就是在平面上填充圓。  估計此時大多數人的第一反應是按照上圖進行有規則的重復平鋪排列，這是很自然的想法。不過在這種情況下，圓圈之間就會有小縫隙，也就意味著平面沒有完全覆蓋，即所謂的“填充密度”不高。  在這種“方形填充”（即我們把圓的中心想象成正方形的頂點）的條件下，假設每個圓的半徑為r，則填充面積百分比計算過程如下：  可以算出，每一個正方形被圓覆蓋的面積約為78.54%。因為平面中圓的排列是重復的，所以由一得全貌，整個平面中圓的填充密度也是約為78.54%。 現在，我們需要想辦法改進一下排列方式以提升填充密度。估計聰明的你已經想到，只需要將每兩排圓交錯排列，就可以減少圓與圓之間的縫隙，進而減少“空間浪費”。  有了上面正方形的經驗，我們依葫蘆畫瓢，可以把這種排列方式中的圓心想象成規則的六邊形的頂點。那么它的名字也就自然而然成了“六邊形填充”。  我們來比較一下它的填充密度。假設每個圓的半徑為r，則六邊形中填充面積百分比計算過程如下：  可以看出，每個六邊形大約有90.69%的面積被圓覆蓋，因此這是比方形填充更有效的填充方式。事實上，這也是填充密度最高的方式，沒有比這更高的了。 那么這個結論是怎么得出的呢？要證明這一點可不容易，像約瑟夫·路易斯·拉格朗日（Joseph Louis Lagrange）和卡爾·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）這樣的著名數學家早在18世紀末19世紀初就開始了這項工作，但直到20世紀40年代，當所有可能的排列方式（包括規則的和不規則的）都被嚴格計算后，這個問題才得到徹底解決。 單單是在二維空間中處理填充問題花了上百年的時間，那要是切換到更高維度空間的話，事情是不是就難上加難了？ 的確，在三維空間中進行球體填充是一個復雜得多的問題，其與上面所講的二維平面填充有相同點，但也不完全一樣。 例如，在方形填充或六邊形填充中，排列其實符合逐層堆疊的思路，不同的填充方式取決于我們如何將每一層放置在另一層之上。這一點在三維空間中也是適用的。   但在三維空間中，幾何結構就更復雜了。在每一層球體中，相鄰空隙之間的距離小于球體中心之間的距離。所以你不能在每個縫隙里放一個球體：那樣它們就重疊了。這時候，你再將第二排放上去后，就會出現一個有意思的事情，那就是從俯視的角度來看的話，兩層球體中會有一個個的“縫隙”。  而當放置第三層時，你就會面臨兩個選擇。一種是如下圖所示，維持縫隙不變。事實上，這樣就會讓第三層的球體正好落在第一層球體的正上方。為了同二維中的概念相類比，這種球體的排列方式被稱為“六邊體密集填充”（hexagonal close-packed，HCP）。 第二種選擇就是將“縫隙”封閉，即你把第三層的球體直接放在第一層的縫隙上方。這就是所謂的“面心立方晶格”（face-centered cubic，FCC）或“立方體密集填充”（cubic close-packed）。從鳥瞰的角度看，“縫隙”就不見了。 這兩種相似但實質完全不同的排列方式多出現在化學中，最常見的就是原子在不同物質中的排列。例如，像銀和金這樣的金屬就具備典型的FCC結構，而像鋅和鈦這樣的金屬則是HCP結構。 回到球體填充的問題，在HCP排列中，每隔一層的球體都在完全相同的位置，而在FCC中，是每三層的球體在相同的位置。實際上，你還可以通過混合模式創造出無限多個不同的填充方式。 但你以為事情到這里就結束了？HCP和FCC模式最引人注目的是它們都能產生最佳的填充模式！即達到約0.7405的最佳填充密度，這也是三維空間中最密集的球體填充方式了。 同樣的，要印證這一點也花費了幾百年的時間，著名的數學家、天文學家約翰內斯·開普勒（Johannes Kepler）在1611年就猜測到了這一點，但直到1998年，數學家托馬斯·黑爾斯（Thomas Hales）才給出了完整的證明。 托馬斯·黑爾斯 讓我們來總結一下：三維空間中的額外空間給了我們更多有效填充球體的方法。而隨著維度的增加，填充也變得更加復雜——更多維的空間意味著更多的填充方案可能性，但同時也意味著更難可視化。不僅如此，球體在更高的維度上比例還會變得更小。 我們舉個例子，在一個邊長為1的正方形中畫一個圓。圓的半徑r=1/2，所以圓的面積與正方形的面積之比為： 也恰好就是“方形填充”中的填充密度。 同樣轉換到三維空間中，一個球體與立方體的體積之比為： 請注意內切球在三維空間中的填充密度要小于內切圓在二維空間中的填充密度——隨著維度的增加，這個比率會逐級降低。也就是說，當 n 變大時，n 維球體在 n 維空間中的填充密度越來越低。 以上規律可以用微積分來表示，但是我們也可以通過思考角來理解它。在每一個維度上，我們都可以在一個n維的立方體里面刻畫一個n維的球體。球體接觸到了立方體的面，但沒有觸達立方體的角，所以在每個角的周圍都有一個區域，這個區域在立方體內，但在球體外。 可一個n維的盒子有2?個角，這意味著隨著n的增加，球體未覆蓋的區域數量會成倍增長。不僅如此，角與球體之間的距離也會拉長。這意味著隨著n的增加，屬于n維立方體內但在n維球體外的空間會越來越大。 如果說球體縮小還不夠驚艷的話，那么研究球體填充的數學家們在8維和24維中發現了更加令人驚訝的事情。在這兩個維度中，球體收縮得恰到好處，能夠用新的球體填補空隙，產生了所謂的高維空間的超密填充。這些特殊的排列方式被猜測是最優的，但數學家們并不確定。直到2016年，瑞士洛桑聯邦理工學院的Maryna Viazovska對8維猜想進行了證明，一周之內，Viazovska和合作者將她的方法進行了擴展，并證明了24維情況下的猜想。 Maryna Viazovska Viazovska的證明意味著我們現在知道了在1、2、3、8和24維中填充球體的最佳方法。但在其他維度上還有很多工作要做。所以，你不妨現在就找幾個橙子嘗試做一下實驗，沒準你就會成為那個最終填補“空白”的人。 參考資料： [1]https://www./the-math-of-social-distancing-is-a-lesson-in-geometry-20200713/ [2]https://www./sphere-packing-solved-in-higher-dimensions-20160330/ |
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