【原】日本書店里的數學專業新書（幾何類）

日本的數學家們比較重視現代數學知識的整理和傳播，他們編寫了大量的介紹現代數學基礎知識的專業書籍。2019年筆者在日本旅游期間，著重考察了在東京的幾家大型書店里正在銷售的數學專業類新書的情況。秋日的東京，氣溫宜人，大街上的人們行色匆匆，城市生活的一切都顯得井井有條。各大書店里人氣旺盛，密集的書架上陳列著文理科各個學科數量極其豐富、印刷精良的高質量新書，讓人眼花繚亂、目不暇接。

本文記錄下了筆者在東京的幾家大型書店里，所看到的幾何類（包括微分幾何與代數幾何）方面的大部分專業新書，并且對其中的部分圖書的內容作了一些簡單的說明。

一、 經典幾何方面的新書

經典幾何領域相對來說比較穩定不變，因此其中所包含的新分支學科很少，目前比較成熟的分支學科有：

“

歐氏幾何、非歐幾何、射影幾何、解析幾何、仿射幾何、共形幾何、組合幾何。

”

圖1：這里從左至右的數學新書是：《從對稱性來講的群論入門》、《代數幾何學1》、《代數幾何學2》、《代數幾何學3》、《幾何學I：從歐幾里得的原本看現代數學》、《幾何學II：從歐幾里得的原本看現代數學》、《數論中的經典分析》、《Gr?bner基1》

        1．《幾何學I：從歐幾里得的原本看現代數學》、《幾何學II：從歐幾里得的原本看現代數學》

  這兩卷書屬于丸善出版公司的“數學名著”叢書，它們譯自R. Hartshorne的《Geometry：Euclid and Beyond（幾何學：歐幾里得及其擴展）》。該書主要講歐幾里得的幾何原本、希爾伯特的幾何公理體系、幾何作圖和域的擴張、非歐幾何，以及多面體等內容，其作者曾經寫出了著名的教材《Algebraic Geometry（代數幾何）》（GTM52）。《Geometry：Euclid and Beyond》）有世界圖書出版公司的英文影印版。

圖2：這里從左至右的數學新書是：《射影幾何學入門》、《一維代數的奇點與鄧肯圖》、《直觀幾何》、《面向理論物理的微分幾何學》、《微分幾何》、《花紋的幾何學·花紋中的群作用與對稱性》、《聯絡的微分幾何與規范場理論》、《運用重心坐標的幾何學》、《現代集合論探究》、《平面幾何》、《幾何學講座》、《幾何》、《各種各樣的幾何學》、《圓的幾何》、《初等幾何入門·從公理角度來講》

2． 《各種各樣的幾何學》

  作者是井口順一。

3． 《直觀幾何》

  作者是希爾伯特，康福森。該譯本有高等教育出版社的中譯本。

  在日本的大型書店里，講經典幾何的新書還是比較多的，這里僅再列出四本：

4． 《通向現代幾何的歐幾里得幾何》

  作者是小林昭七。小林昭七（Kobayashi）是日本著名的幾何學家，他與野水克己（Nomizu）一起曾經寫出了整體微分幾何的經典名著《Foundations of Differential Geometry（微分幾何基礎）》。

5． 《幾何學入門》

  作者是瀧洋精二。

      6．  《射影幾何學》 

       作者是秋月康夫等人。

      7．  《線性空間與仿射幾何》

       作者是伊原信一郎。

二、 微分幾何方面的新書

在19世紀，微分幾何學主要還是研究流形的局部性質，而到了20世紀，幾何學家們開始研究流形的整體（或大范圍）性質，特別是流形的局部性質與整體性質之間的密切聯系。德拉姆（de Rham）在1931年證明了一個著名定理：流形的上同調不變量可以通過微分形式的計算來得到，接著霍奇（Hodge）證明了另一個十分重要的定理：在緊黎曼流形上，每個上同調類中都有唯一的調和微分形式，有了這些基本定理，人們就能夠用微分幾何與分析學的手段來獲取流形的上同調不變量。

在1930年左右，數學家們發現了一類重要的復流形，稱為凱勒（K?hler）流形，它具有和黎曼度量相類似的凱勒度量。在凱勒流形上，可以建立起關于調和積分的霍奇理論。

在1940年代，聯系流形的局部與整體性質的高斯-博內定理被陳省身先生推廣到了高維，然后他由此發展了陳（省身）示性類的理論。陳示性類理論后來被用來表達高維的黎曼-羅赫定理。

在20世紀的下半葉，微分幾何所取得的重大成就有：60年代，阿蒂亞（Atiyah）和辛格（Singer）一起證明了阿蒂亞-辛格指標定理。70年代，誕生了著名的Calabi-Yau（卡拉比-丘（成桐））定理，以及由此產生的Calabi-Yau（卡拉比-丘（成桐））流形理論。80年代，微分幾何與理論物理的互相作用產生了一個十分重要的規范場（Gauge Field）理論，并且規范場理論反過來也極大地促進了對于微分幾何的研究。90年代至20世紀初，證明了著名的龐加萊猜想。

目前在微分幾何學領域中比較成熟的分支學科（或方向）有：

“

曲線與曲面的微分幾何、微分流形論、黎曼流形、聯絡論、張量與旋量、整體黎曼幾何、齊性空間的微分幾何、G-結構與等價問題、復流形、調和積分、子流形的微分幾何、極小子流形、幾何測度論、調和映射、莫爾斯（Morse）理論、仿射微分幾何、Finsler空間、積分幾何、譜幾何、剛性與幾何群論、辛幾何與切觸幾何、模空間與偏微分方程、一些新的幾何理論（包括Twistor空間、超凱勒幾何、卡拉比-丘（Calabi-Yau）流形等）。

”

下面分別對每張書店里的書架照片，從左至右地列出各本新書及其作者：

圖3：這里從左至右的數學新書是：《彎曲空間的幾何學》、《幾何學與不變量》、《曲線與曲面》、《慢慢地學曲線與曲面·微分幾何學初步》、《曲面的微分幾何學·從局部到整體》、《微分幾何學講義：黎曼幾何與Finsler幾何》、《線性空間入門》、《曲面的數學》、《曲面的幾何學》、《曲線與曲面的基礎》、《高中與大學銜接的幾何學》、《平面圖形的幾何學》、《高原地形：用膠水和剪刀做的雙曲平面》、《幾何學的再發現》、《幾何學怎么能不微分呢——微分幾何入門》、《截面代數與離散球體論》、《纖維叢》

8． 《彎曲空間的幾何學》

  作者是小島定吉。

9． 《幾何學與不變量》

  作者是西山享。

10． 《曲線與曲面》

  作者是山田光太郎等人。

11． 《慢慢地學曲線與曲面·微分幾何學初步》

  作者是中內伸光。

12． 《曲面的微分幾何學·從局部到整體》

  作者是成慶明等人。

13． 《解析幾何學入門》

  作者是關尺正躬。

14． 《微分幾何學講義：黎曼幾何與Finsler幾何》

  該書譯自陳省身、陳維桓、Lam寫的英文著作《Lectures on Differential Geometry（微分幾何講義）》，而這本英文著作的內容又主要翻譯自于北京大學出版社出版的陳省身、陳維桓的《微分幾何講義》。

15． 《線性空間入門》

  作者是尾原健。

16. 《曲面的數學》

  該書譯自R. E. Schwartz寫的英文著作《Mostly Surfaces（幾乎所有的曲面）》，這本書有一個副標題是“從歐幾里得幾何到泰希米勒（Teichmüller）空間”。泰希米勒空間是黎曼面復結構的形變所組成的空間。這本書按照幾何學思想發展的順序，依次講了歐幾里得幾何、球面幾何、雙曲幾何、基本群、黎曼面、黎曼流形、高斯-博內定理、黎曼映射定理、泰希米勒空間等內容，盡量用比較淺顯的語言向數學本科學生介紹現代幾何學的基本思想。

17． 《曲面的幾何學》

  作者是伊藤光弘。

18． 《曲線與曲面的基礎》

  作者是福井。

19． 《高中與大學銜接的幾何學》

  作者是大田春外。

20． 《平面圖形的幾何學》

  作者是難波誠。

21． 《高原地形：用膠水和剪刀做的雙曲平面》

  作者是阿原一志。

22． 《幾何學的再發現》

  作者是瀨山士郎。

23． 《幾何學怎么能不微分呢——微分幾何入門》

  這本書的作者是中內伸光。正如書名所說，微分是研究幾何學的強有力手段。該書是一本對話體微分幾何普及讀物，它從古典微分幾何開始，一直講到現代的微分流形上的黎曼幾何，所包括的內容主要有：曲線論（曲率、繞率及Frenet-Serret公式）、曲面論（高斯曲率、高斯公式及Weingarten公式）、微分流形（切空間、向量場、聯絡、黎曼度量、黎曼曲率張量）等。這本書采用了一個教師和一個學生之間的對話形式，通過回答學生的問題，再加上豐富的圖形和卡通形象，使讀者得到教益和啟發。

24． 《截面代數與離散球體論》

  作者是佐吳滿夫。

25． 《纖維叢》

  該書譯自D. Husem?ller寫的名作《Fibre Bundles（纖維叢）》（GTM20），有世界圖書出版公司的英文影印版。纖維叢是現代微分幾何的基本概念，纖維叢理論對代數幾何與復流形有深刻的應用，它是表達物理學中規范場理論的合適的數學語言。該書講了纖維叢、示性類、K理論等基本內容。

圖4：這里從左至右的數學新書是：《聯絡的微分幾何與規范場理論》、《微分幾何學》、《快樂學習初等幾何》、《幾何篇——面積、體積與拓撲學》、《微分流形入門》、《從具體例子學習微分流形》、《計數幾何講義》、《幾何學序論》、《微分幾何學最前沿》、《幾何光學的正準理論》、《三角形與圓的幾何學》、《幾何學I：微分流形入門》、《幾何學II：同調入門》、《幾何學III：微分形式》、《自旋（Spin）幾何學》、《曲線與曲面的微分幾何》、《代數曲線的幾何學》、《慢慢地學曲線與曲面：微分幾何學初步》、《雙曲幾何學》

      26． 《聯絡的微分幾何與規范場理論》

  作者是小林昭七。規范場理論又稱為“楊（振寧）-米爾斯理論”，它是研究自然界中四種相互作用力（電磁、弱、強、引力）的最基本理論，這個理論對于20世紀數學與物理學的發展都具有重要意義。規范場理論的數學基礎主要就是纖維叢的微分幾何，而規范場理論中的規范勢正好就是纖維叢上的聯絡。

27． 《微分幾何學》

  作者是今野宏。該書是一本內容非常全面的整體微分幾何著作，其內容包括了微分流形、向量叢、向量叢的聯絡、黎曼流形、黎曼流形上的幾何、流形上的微分算子、主叢、示性類、復流形、凱勒（K?hler）流形、辛流形，以及流形上的分析等，幾乎包含了所有的整體微分幾何基礎知識。

28． 《快樂學習初等幾何》

  作者是春日龍郎。

29． 《幾何篇——面積、體積與拓撲學》

  這是“莫斯科數學廣場”叢書的第2冊。

30． 《微分流形入門》

  作者是日本著名數學家松島與三（Y. Matsushima）。這本書初版于1965年，后來在1972年被翻譯成了英語，書名是《Differentiable Manifolds（微分流形）》。在上世紀70年代，微分流形的教科書還非常少，而這本《Differentiable Manifolds》在當時是很流行的英文教材，它幫助了世界范圍內的許多現代微分幾何的初學者。

31． 《從具體例子學習微分流形》

  作者是藤岡敦。在日本的書店里，有不少像《從具體例子學習微分流形》這樣的寫得很容易讀懂的初級讀物，它們的特點是充分運用大量具體的例子，來幫助學生理解非常抽象的現代數學基本概念和理論。

32． 《計數幾何講義》

  作者是池田岳。

33． 《幾何學序論》

  該書的副標題是“徹底弄明白邏輯、集合、映射與拓撲”。

34． 《微分幾何學最前沿》

  作者是幾何學家中島啟。日本的數學家們經常會寫一些關于現代數學前沿研究領域的介紹性讀物，以吸引和鼓勵年輕的學者能夠進入到數學的前沿研究中來。

35． 《幾何光學的正準理論》

  這是一本介紹數學物理前沿研究方面的讀物。

36． 《三角形與圓的幾何學》

  這是代數幾何學家安藤哲哉寫的一本關于數學奧林匹克幾何問題的輔導讀物。

37． 《幾何學I：微分流形入門》

  這是幾何學家坪井俊寫的一套現代幾何學入門教材中的第一本。從中可以看到，在日本的大學數學系幾何類課程中，他們十分強調高維的微分流形理論，以及相關的同調與上同調理論等現代內容。

38． 《幾何學II：同調入門》

  作者是坪井俊。

39． 《幾何學III：微分形式》

  作者是坪井俊。

40． 《自旋（Spin）幾何學》

  自旋幾何學是黎曼幾何學的一個現代分支，它主要研究自旋流形的幾何性質。

41． 《曲線與曲面的微分幾何》

  作者是小林昭七。

42． 《代數曲線的幾何學》

  作者是難波誠。

43． 《慢慢地學曲線與曲面·微分幾何學初步》

  作者是中內伸光。

44． 《雙曲幾何學》

  雙曲幾何學也稱為羅巴切夫斯基（Lobachevskii）非歐幾何學。

除了以上照片中的新書外，書店里還有下面的微分幾何新書：

45． 《現代幾何學概觀──從曲面的幾何到辛幾何、Floer同調》

  作者是宮岡禮子，該書有一個副標題是“從曲面的幾何到辛幾何、Floer同調”。這本內容很豐富的入門讀物概要介紹了測地線的數學、曲面的幾何、閉曲面的分類、基本群與覆蓋空間、龐加萊猜想與幾何化猜想、Ricci流、平均曲率流、一些高維的幾何定理、莫爾斯（Morse）理論、調和映射理論、辛幾何與經典力學、Lagrange子流形、Floer同調與相交理論。

圖5：宮岡禮子寫的《現代幾何學概觀》

46． 《現代微分幾何入門》

  作者是野水克己（Nomizu），他曾經和小林昭七一起寫出了整體微分幾何的經典名著《Foundations of Differential Geometry（微分幾何基礎）》。

47． 《微分幾何入門（上）》、《微分幾何入門（下）》

  作者是落合卓四郎。

48． 《微分幾何》

  作者是石原繁等人。

49． 《微分幾何的基本概念》

 該書譯自J. A. Thorpe的《Elementary Topics in Differential Geometry（微分幾何的初等教程）》，有世界圖書出版公司的英文影印版。這本微分幾何教材的特點是：直接用微分流形與微分形式的現代語言，來講解高維歐氏空間中光滑超曲面的微分幾何，而不是像通常的微分幾何初等教材那樣只講3維歐氏空間中的光滑曲線和光滑曲面。

50. 《曲線與曲面的現代幾何學──從入門到發展》

  作者是宮岡禮子。這本于2019年剛出版的新書運用了現代幾何的語言和觀點，清晰地講解了經典微分幾何的基本思想和方法。這本書先用經典的向量方法講解了平面與空間曲線論、曲面的拓撲、曲面的局部理論、高斯曲率和曲面論的基本定理，然后介紹現代的微分形式概念及其性質，再運用微分形式重新再講一遍曲面論的基本定理，以此來顯示微分形式的簡潔特點和用處。該書接下來繼續運用微分形式來證明經典的Gauss-Bonnet定理。這本書的后半部分講解了測地線、雙曲平面、球面與圓盤上的度量、基本群與覆蓋空間、變分方法等基本內容。

圖6：宮岡禮子寫的《曲線與曲面的現代幾何學》

51. 《微分流形基礎》

  作者是松本幸夫。

52. 《微分流形》

  作者是荻上宏一。

53. 《通向微分流形的道路》

  作者是夏本一之。

54. 《黎曼幾何入門》

  作者是朝長康郎。

55. 《黎曼幾何學》

  作者是酒井隆。該書在1992年出版，然后在1996年由美國數學會出版社譯成了英語出版。這本在日本已經成為了經典的著作所包含的內容有：黎曼幾何基本概念、黎曼幾何整體概念、比較定理及應用、曲率與拓撲的聯系、等周不等式與譜幾何。

圖7：中間的一本是酒井隆寫的《黎曼幾何學》

56. 《黎曼幾何學入門》

  作者是矢野健太郎。

57. 《黎曼幾何學》

  作者是立花俊一。

58. 《張量分析》

  作者是田代嘉宏。

59. 《莫爾斯（Morse）理論基礎》

  莫爾斯（Morse）理論是微分幾何的一個分支，它主要研究流形上函數的臨界點與流形的拓撲性質之間的密切關系。

60. 《極小曲面理論入門》

  作者是川上裕、藤森祥一。

61. 《復流形理論》

  作者是日本著名數學家小平邦彥。該書是復流形理論的經典著作。

圖8：中間的兩本就是小平邦彥寫的《復流形理論》

62. 《小平邦彥開拓的數學》

  作者是上野健爾。該書從專業的角度，非常詳細地介紹了數學大師小平邦彥在調和積分理論、層論、消失定理、嵌入定理、形變理論、解析曲面分類理論等方面開拓性的奠基貢獻。

63. 《復流形理論講義》（遷元）

  該書的內容包括了：多復變函數預備知識、復流形、層、層的上同調理論、解析空間、解析空間的奇點、Dolbeault復形與層系數上同調、相交理論、Hermite聯絡與黎曼-羅赫（Riemann-Roch）定理、調和積分理論、小平-中野消失定理、霍奇（Hodge）理論、L²-存在定理、奇異Hermite度量與乘子理想層、Stein流形、對代數曲線的應用、Bergman核、復流形的形變、K?hler-Einstein度量。

      64. 《復幾何》

      作者是小林昭七。在日本，這是一部關于關于復流形與復幾何的經典 著作。

      65. 《復流形講義》

  該書譯自陳省身先生的復流形名著《Complex Manifolds Without Potential Theory（不包含位勢理論的復流形理論）》，有世界圖書出版公司的英文影印版。

66． 《凱勒（K?hler）流形論入門》

      該書譯自A. Weil的法文經典名著《Introduction à l’étude 

   des variétés K?hleriennes》。

        67． 《幾何分析》

  作者是酒井隆、小林治、芥川和雄、西川青季、小林亮一。該書是“幾何學百科”系列叢書中的第二卷，它比較完整地總結了幾何分析理論中的主要成果。幾何分析是微分方程、非線性分析、微分幾何與拓撲學的交叉學科，其目的是解決流形上的幾何與拓撲問題，從上世紀70年代開始，一批數學家開始用偏微分方程的理論來研究微分幾何中產生的偏微分方程，他們研究了流形上的函數論、流形的特征值、典則度量的存在性、極小曲面與極小子流形等問題，獲得了前所未有的巨大進展，并最終證明了著名的龐加萊猜想。《幾何分析》一書所包含的主要內容有：相對論與正質量定理、Yamabe問題與Yamabe不變量、Dirac算子、調和映射、K?hler流形的強剛性定理、Ricci流、K?hler-Ricci流。

圖9：中間的一本就是酒井隆等人寫的《幾何分析》

    68． 《非線性問題與復幾何》

     作者是中島啟。

    69．  《平均曲率流── 子流形的時間演化》

 該書作者是小池直之。平均曲率流是幾何分析中一個比較新的研究方向，它運用了偏微分方程的理論來研究光滑子流形隨著時間而演化的規律，從中得到了各種關于收斂性和幾何性質的結果。

圖10：中間的一本是小池直之寫的《平均曲率流── 子流形的時間演化》

    70．  《譜幾何》

  譜幾何是微分幾何的一個新的分支，它的研究內容有：黎曼流形上橢圓算子的譜（特征值）與熱核、等譜流形。

    71．  《雙曲幾何》

     作者是深谷賢治。

    72．  《積分幾何學》

     作者是栗田稔。

    73．  《度量微分幾何學》

     作者是松本誠。

    74．  《反復積分的幾何學》

       作者是河野俊丈。

三、 代數幾何方面的新書

19世紀代數幾何主要的研究對象是代數曲線。在20世紀，數學家們轉向代數曲面和高維代數簇的研究。人們開始運用抽象代數、整體微分幾何和拓撲學的方法來精確地刻畫代數簇的各種幾何性質，在1960年代，格羅滕迪克（Grothendieck）通過創立概形理論，為代數幾何建立了一個牢固的邏輯基礎，由此促進了代數幾何的大發展。

另一方面，復數域上代數幾何的超越方法在20世紀中也有了重大的進展，例如有霍奇（Hodge）的調和積分理論的應用、小平邦彥等人的形變理論等基本成果。在20世紀的下半葉，模空間理論的研究取得了很大的進展，人們對代數簇的分類有了更多的了解。大量的代數幾何經典問題得到了解決，并且在解決的過程中又形成了不少代數幾何領域新的分支學科。

目前在代數幾何學領域中比較成熟的分支學科（或方向）有：

“

代數曲線、代數曲面與復解析曲面、代數簇、凝聚層及其上同調理論、有理映射與奇點、除子理論、閉鏈與周環、代數空間與形式概形、極化簇、代數簇的拓撲與比較定理、代數向量叢、霍奇理論、阿貝爾簇、有理簇與法諾（Fano）簇、雙有理幾何、環面簇、相交理論、計數幾何、奇點理論、模空間理論。

”

圖11：這里從左至右的數學新書是：《計數幾何講義》、《三角形與圓的幾何學》、《K3曲面》、《可視化技術與現代幾何學》、《Laplacian幾何與有限元方法》、《幾何學與代數系》、《代數幾何學1》、《代數幾何學2》、《代數幾何學3》、《代數幾何學入門》、《代數幾何學講義》