通過向球體上的曲線增加無限多的扭曲，可以將其壓成一個小球，而不會扭曲其距離。
作者：Mordechai Rorvig 量子雜志Quanta Magazine 2021-6-3 譯者：zzllrr小樂 2021-6-5數學科普翻譯與數學科普原創一樣都不易，尤其圖文公式，歡迎分享轉載并注明本文來源頭條號/公眾號，zzllrr小樂。
在 1950 年代，也就是在他因對博弈論的貢獻獲得諾貝爾獎以及他的故事啟發了書和電影“美麗心靈”的四年前，數學家John Nash約翰·納什證明了所有幾何學中最杰出的成果之一。其中有一亮點，它暗示可以將一個球體揉成任何大小的球，而無需將其弄皺。他通過發明一種稱為“嵌入”的新型幾何對象使這成為可能，該對象將形狀置于更大的空間內——與將二維海報裝入三維管沒什么不同。有多種嵌入形狀的方法。有些保留了形狀的自然形式——比如將海報卷成圓柱體——而另一些則將其折皺或撕裂以使其適合不同的方式。納什的技術出人意料地涉及為形狀的所有曲線添加扭曲，使其結構有彈性，表面起皺。他證明，如果你添加無數次這樣的扭曲，你可以把球體揉成一個小球。結果震驚了數學家，他們以前認為以這種方式弄皺球體需要脆性的折疊。從那時起，數學家一直試圖準確了解納什開創性技術的局限性。他展示了你可以使用扭曲將球體弄皺，但他沒有確切證明你至少需要多少扭曲才能得到這個結果。換句話說，納什之后的數學家想要量化平坦度和扭曲度之間的確切閾值，或者更一般地說，平滑度和粗糙度之間的確切閾值，在這個閾值下，像球體這樣的形狀開始皺縮。在最近的兩篇論文中，至少對于位于更高維空間中的球體而言，該閾值被找到了。在 2018 年 9 月發布并于 2020 年 3 月出版的一篇論文中，新澤西州普林斯頓高等研究院的 Camillo De Lellis與 萊比錫大學的 Dominik Inauen 確定了一個特定形狀的確切閾值。2020 年 10 月，北京首都師范大學的 Inauen 和 Wentao Cao 的后續工作證明，該閾值適用于某種一般類型的所有形狀。這兩篇論文顯著提高了數學家對納什嵌入的理解。它們還在嵌入和流體流動之間建立了一種不太可能的聯系。“我們發現了這兩個問題之間的這些驚人的聯系點，”De Lellis說。翻滾的河流似乎與皺巴巴的形狀只有模糊的關系，但數學家在 2009 年發現，它們實際上可以使用相同的技術進行研究。三年前，包括 De Lellis 在內的數學家使用納什的想法來理解流動變成湍流的點。他們的工作將流體重新想象為由扭曲的流動組成——他們證明，如果你在這些流動中添加足夠多的扭曲，流體會突然呈現湍流的關鍵特征。關于嵌入的新工作建立在早期湍流工作的重要經驗教訓之上，這表明數學家現在有了一個通用框架來識別一系列數學環境中的急劇轉變點。保持長度今天的數學家考慮形狀，例如球體，具有自己固有的幾何特性：無論你在哪里找到球體，球體都是一個球體。但是你可以拿一個抽象形狀并將其嵌入更大的幾何空間中。當你嵌入它時，可能希望保留有關它的所有性質?；蛘?，你可能只要求某些屬性保持不變——例如，其曲面上的曲線長度保持不變。這種嵌入被稱為“等距”。等距嵌入保持長度，但仍然可以以重要的方式改變形狀。例如，從一張帶有垂直線網格的方格紙開始。隨意折疊多次。這個過程可以被認為是一個等距嵌入。生成的形狀看起來與你開始時的平滑平面完全不同，但網格線的長度不會改變。 納什的扭曲嵌入保留了令人驚訝的平滑度，即使它們可以從根本上改變表面。很長一段時間，數學家認為尖銳的折疊是同時兼得這兩種特征的唯一方法：保持長度的皺折形狀。普林斯頓大學的特里斯坦·巴克馬斯特 (Tristan Buckmaster) 說：“如果允許拐角發生，那么問題就會容易得多?！?/section>但是在 1954 年，John Nash 發現了一種截然不同的等距嵌入類型，可以實現相同的技巧。它使用螺旋扭曲而不是尖銳的折痕和角。為了對納什的想法有一個直觀的了解，請再次從球體的光滑表面開始。該曲面由許多曲線組成。取每條曲線并將其擰成彈簧狀的螺旋線。像這樣重新制作所有曲線后，就可以壓縮球體了。然而，這樣的過程似乎違反了等距嵌入的規則——畢竟，兩點之間的曲線路徑總是比直線路徑長。但是，值得注意的是，納什展示了一種嚴格的保持長度的方法，即使你對扭曲的線重新制作曲線也是如此。首先，像放氣的氣球一樣均勻地收縮球體。然后為每條曲線添加越來越緊密的螺旋線。通過添加無限多的此類扭曲，最終可以將每條曲線恢復到其原始長度，即使原始球體已被弄皺。納什的工作需要進一步探索。從技術上講，他的結果意味著只有當球體存在于四個空間維度時，才能將球體弄皺。但在 1955 年，尼古拉斯·柯伊伯Nicolaas Kuiper推廣了納什的工作，使其適用于標準的三維球體。如果將球體的曲線扭曲得足夠多，數學家想確切了解多到哪種程度，可以使其坍塌。平滑度折疊和扭曲的形狀在一個關鍵方面彼此不同。要了解其中的原理，你需要了解數學家所說的“平滑”是什么意思。平滑度的一個經典例子是正弦波的上升和下降形狀，這是數學中最常見的曲線之一。表達這種平滑度的一種數學方法是說你可以計算波在每個點的“導數”。導數可以測量曲線在某一點的斜率，即它傾斜或下降的程度。事實上，你可以做的不僅僅是計算正弦波的導數。你還可以計算導數的導數，即“二階”導數，它捕獲斜率的變化率。這個量可以確定曲線的曲率——曲線在某個點附近是凸還是凹，以及彎曲到什么程度。沒有理由止步于此。你還可以計算導數的導數的導數（“三次”導數），依此類推。這個無限的導數塔使正弦波在精確的數學意義上完美平滑。但是當你折疊一個正弦波時，導數塔就會倒塌。沿著折痕曲線的斜率沒有明確定義，這意味著甚至無法計算一階導數。在納什之前，數學家認為失去一階導數是在保持長度的同時將球體弄皺的必然結果。換句話說，他們認為皺巴巴和光滑是不相容的。 約翰納什在 1954 年震驚了數學界，當時他證明了可以在保持距離的同時揉皺一個球體，而不需要折疊它。使用他的方法，可以在不折疊任何曲線的情況下將球體弄皺。納什所需要的只是光環的扭曲。然而，他的嵌入所需的無限微小扭曲使得曲率的二階導數概念變得荒謬，就像折疊破壞了斜率的一階導數概念一樣。在一個納什曲面上，曲線是凹的還是凸的，這一點永遠都不清楚。每增加一次扭曲，形狀就會有越來越多的波紋和凹槽，無限凹槽的表面變得粗糙。里昂大學的文森特·博雷利 (Vincent Borrelli) 說：“如果你是曲面上的滑雪者，那么到處都會感覺到顛簸，”他在 2012 年與合作者合作創建了納什嵌入的第一個準確的可視化。這項新工作解釋了一個曲面可以在多大程度上保持導數，即使它的結構坍塌。尋找邊界數學家有精確的符號來描述可以在曲線上計算的導數的數量。折疊形狀的嵌入稱為 C?。C 代表連續性continuity，上標零表示嵌入曲面上的曲線沒有導數，甚至沒有一階導數。 還有帶有分數上標的嵌入，例如 C?,1/2，它們仍然會產生折痕，但不那么尖銳。 然后是納什的 1嵌入，它僅通過應用平滑扭曲來擠壓曲線，從而保留一階導數。在納什的工作之前，數學家主要關注具有一定標準光滑度 C2 及以上的等距嵌入。這些 C2 嵌入可能會扭曲或彎曲曲線，但只是輕輕地。1916 年，有影響力的數學家赫爾曼·外爾 (Hermann Weyl) 猜測，無法在不破壞距離的情況下使用如此溫和的彎曲來改變球體的形狀。1940 年代，數學家解決了 Weyl 問題，證明 C2 等距嵌入無法使球體皺縮。在 1960 年代，Yurii Borisov 發現 C1,1/3嵌入仍然可以弄皺球體，而 C1,2/3 嵌入則不能。因此，在納什的 C1嵌入和輕輕彎曲的C2 嵌入之間的某處，揉皺成為可能。但是在Borisov的工作之后的幾十年里，數學家們并沒有更接近于找到一個確切的邊界——如果一個邊界存在的話。雖然數學家無法取得進展，但他們確實為納什的想法找到了其他應用。在 1970 年代，Mikhael Gromov 將它們重新定義為一種稱為“凸積分”的通用工具，它允許數學家通過使用扭曲子結構來構建許多問題的解。在一個最終與新成果相關的例子中，凸積分使得可以將流動的流體視為由許多扭曲的子流組成。幾十年后的 2016 年，Gromov 回顧了球體嵌入的漸進進展，并推測實際上存在一個閾值，即 C1,1/2。問題是，在那個閾值上，現有的方法就失效了。為了取得進展，數學家需要一種新方法來區分不同平滑度的嵌入。De Lellis 和 Inauen 的靈感來自一種完全不同的現象：湍流。消失的能量所有接觸的材料都有摩擦力，我們認為摩擦力是減慢速度的原因。但多年來，物理學家已經觀察到湍流的一個顯著特性：即使沒有內部摩擦或粘度，它們也會減慢速度。1949 年，Lars Onsager 提出了一個解釋。他猜測無摩擦耗散與湍流的極端粗糙度（或缺乏平滑性）有關：當流動變得足夠粗糙時，它開始耗盡自己。2018 年，Philip Isett 證明了 Onsager 的猜想，Buckmaster、De Lellis、László Székelyhidi 和 Vlad Vicol 在另一項工作中做出了貢獻。他們使用凸積分來構建與 C? 一樣粗糙及更高可高達 C?,1/3（比 C1 更粗糙）的滾動流。這些流動違反了稱為動能守恒的正式規則，并且完全通過其粗糙度來減慢自己的速度。“能量在有限的時間內被發送到無限小的尺度，零長度尺度，然后消失，”巴克馬斯特Buckmaster說。早在1994 年的工作已經確定，比 C?,1/3更光滑（具有更大的上標）的無摩擦流動確實節約了能量。總之，這兩個結果在湍流、耗能流和非湍流、節能流之間確定了一個尖銳的閾值。Onsager 的工作還提供了一種原理證明，即凸積分可以揭示尖銳的閾值。關鍵之處似乎在于找到在閾值的一側成立而在另一側失敗的正確規則。De Lellis 和 Inauen 注意到了。“我們想也許你有一個額外的定律，比如 [動能定律]，”伊諾恩說。 “高于某個閾值的等距嵌入滿足它，低于該閾值則會違反它?！?/section>保持加速他們最終研究的規則與曲面上曲線的加速度值有關。要理解它，首先想象一個人在嵌入之前沿著球形滑冰。當他們擺動轉彎處并在山坡上滑行時，他們會感覺到加速（或減速）感。他們的軌跡形成了一條曲線。現在想象一下滑冰者在嵌入后沿著相同的形狀比賽。對于足夠光滑的等距嵌入，不會使球體皺縮或以任何方式變形，滑冰者應該沿著嵌入的曲線感受到相同的力。認識到這一點后，De Lellis 和 Inauen 需要證明這一點：比 C1,1/2 更光滑的嵌入可以保持加速度。2018 年，他們將這種視角應用于稱為極冠polar cap的特定形狀，它是球體的截頂。他們研究了使帽的底部保持固定位置的帽的嵌入。由于帽子的底部是固定的，因此只有在其上方的帽子形狀發生變化（例如，通過向內或向外扣緊）時，繞其運動的曲線才能改變加速度。他們證明了比 C1,1/2 更光滑的嵌入——甚至是納什嵌入——不會改變加速度，因此不會扣住帽子。“它提供了一個非常漂亮的幾何畫面，”Inauen 說。另一方面，他們使用凸積分來構建比C1,1/2 更粗糙的帽子嵌入。這些納什嵌入扭曲了曲線，以至于它們失去了加速度的概念，這是一個二階導數。但是圍繞底座的曲線的加速度仍然是合理的，因為它是位置固定的。他們表明，低于閾值的嵌入可以改變這條曲線的加速度，這意味著它們也會扣住帽子（因為如果帽子不扣，加速度保持恒定；如果加速度不恒定，這意味著帽子必須扣?。?。兩年后，Inauen 和 Cao 推廣了之前的論文，并證明了 Gromov 的 C1,1/2 預測值確實是一個適用于任何形狀或具有固定邊界的“流形”的閾值。在它上面，形狀不會彎曲，在它下面它們會彎曲。 “我們概括了結果，”曹說。Cao 和 Inauen 論文的一個關鍵限制是它需要將一個形狀嵌入到 8 維空間中，而不是 Gromov 心目中的 3 維空間。有了額外的維度，數學家獲得了更多的空間來添加扭曲，這使問題變得更容易。雖然結果并不能完全回答 Gromov 的猜想，但它們提供了迄今為止對光滑度和起皺之間關系的最佳洞察。 “他們給你一個我們真正看到這種二分法的第一個例子，”德萊利斯De Lellis說。從這里開始，數學家有許多路徑可以遵循。 一方面，他們想在三個維度上解決這個猜想。 同時，他們想更好地理解凸積分的力量。今年秋天，高等研究院將開始舉辦有關該主題的全年計劃。 它將匯集來自廣泛領域的研究人員，目的是更好地理解納什發明的想法。 正如格羅莫夫在他 2016年的論文中指出的那樣，納什扭曲的形狀不僅僅是幾何的一部分。 現在已經很清楚，他們為通往數學的全新“新土地”鋪平了道路，許多地方都出現了尖銳的閾值。
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