【原】小樂數學科普：只有數學才能解開的物理學核心之謎——譯自Quanta Magazine量子雜志

zzllrr小樂 2022-07-11 發布于江蘇

展開全文

作者：Kevin Hartnett 量子雜志高級作家 2021-6-10 譯者：zzllrr小樂 2021-6-11

全文7484字，預計閱讀時間20分鐘。立即關注zzllrr小樂公眾號，數學科普不迷路。

在過去的一個世紀里，量子場論（QFT）被證明是有史以來最廣泛和最成功的物理理論。它是一個涵蓋許多特定量子場論的總稱——“形狀”涵蓋了正方形和圓形等特例。這些理論中最突出的被稱為標準模型，這種物理學框架取得了如此成功。

“它可以從根本上解釋我們做過的每一個實驗，”劍橋大學的物理學家David Tong說。

但是量子場論（QFT）無疑是不完整的。物理學家和數學家都不知道是什么使量子場論成為量子場論。他們已經瞥見了全貌，但他們還不能弄明白。

“有各種跡象表明可能有更好的方式來思考 QFT，”高級研究所的物理學家Nathan Seiberg說。“它給你的感覺是一種你可以從很多地方觸摸到的動物，但你并沒有完整看到它。”

數學這門語言，需要內部一致性和對每一個細節的關注，或許能使 QFT 變得完整。如果數學能夠像描述完善的數學對象那樣嚴格地描述 QFT，那么可能會出現更完整的物理世界圖景。

“如果你真正理解量子場論中的一個適當的數學方法，這將給我們解答許多開放物理問題，甚至包括重力的量子化”，高級研究所長Robbert Dijkgraaf說。

這也不是一條單行道。幾千年來，物理世界一直是數學最偉大的繆斯女神。古希臘人發明了三角學來研究恒星的運動。數學轉變為一門具有定義和規則的學科，學生們現在可以在不參考天體起源主題的情況下學習這些規則。將近 2000 年后，艾薩克·牛頓想要了解開普勒的行星運動定律，并試圖找到一種嚴謹的思考無窮小的方法。這種沖動（以及來自戈特弗里德·萊布尼茨的啟示）催生了微積分領域，數學對此利用和改進——沒有它就幾乎不可能有今天的數學。

現在，數學家們想對 QFT 做同樣的事情，將物理學家為研究基本粒子而發展的思想、對象和技術納入數學的主體。這意味著定義 QFT 的基本特征，以便未來的數學家不必考慮理論最初出現的物理背景。

回報可能是巨大的：當數學找到新的探索對象，以及刻畫了一些數字、方程和形狀之間最重要的關系的新結構時，它就會成長。而這兩者QFT皆有提供。

“作為一種結構，物理學本身非常深刻，而且通常是思考我們已經感興趣的數學事物的更好方式。這只是一種更好的組織方式，”奧斯汀的德克薩斯州立大學數學家 David Ben-Zvi說。

至少在 40 年里，QFT 一直吸引著數學家各種追求的想法。近年來，他們終于開始了解 QFT 本身的一些基本對象——將它們從粒子物理學世界中抽象出來，并將它們本身轉化為數學對象。

然而，這項努力還為時尚早。

羅格斯大學的物理學家Greg Moore說：“我們不知何時到達，然而我當然希望看到的只是冰山一角。” “如果數學家真的了解 [QFT]，那將導致數學的深刻進步。”

永遠的場

人們普遍認為宇宙是由基本粒子構成的：電子、夸克、光子等。但是物理學很久以前就超越了這種觀點。物理學家現在談論的不是粒子，而是稱為“量子場”的事物，它是（編織）現實的真正經緯線。

這些場橫跨宇宙的時空。它們種類繁多，像翻滾的海洋一樣波動。隨著場的漣漪和相互作用，粒子從中涌出，然后又消失在里面，就像波浪的波峰一樣。

“粒子不是永遠存在的物體，”Tong說。“而是場之間的舞蹈。”

要理解量子場，最容易從一個普通的或經典的場開始。例如，想象一下測量地球表面每個點的溫度。將可以進行這些測量的無限多點組合在一起形成一個幾何對象，稱為場，它將所有這些溫度信息打包在一起。

一般而言，只要你有一些可以在空間中以無限精細分辨率唯一測量的量，就會出現場。加拿大滑鐵盧的Perimeter理論物理研究所的物理學家Davide Gaiotto說：“你可以就每個時空點提出獨立的問題，比如這里和那里的電場是什么。”

當你在空間和時間的每個點觀察量子現象（例如電子的能量）時，就會產生量子場。但是量子場與經典場有著根本的不同。

地球上某個點的溫度就是它的溫度，不管你是否測量它，然而電子在你觀察到它們之前卻都沒有確定的位置。在此之前，它們的位置只能通過概率來描述，通過為量子場中的每個點分配值來捕捉你在那里與其他地方找到電子的可能性。在觀察之前，電子基本上處處都不在，并且處處都在。

“物理學中的大多數事物不僅僅是物體；而是存在于空間和時間的每一個點上的事物。”Dijkgraaf 說。

量子場論附帶了一組稱為相關函數的規則，這些規則解釋了場中某個點的測量如何與另一點相關。

每種量子場論都在特定數量的維度上描述物理學。二維量子場論通常可用于描述材料的行為，如絕緣體；六維量子場論與弦論特別相關；四維量子場論描述了我們實際四維宇宙中的物理學。標準模型就是其中之一；它是唯一最重要的量子場論，因為它最能描述宇宙。

有 12 種已知的基本粒子構成了宇宙。每個都有自己獨特的量子場。標準模型為這 12 個粒子場添加了四種力場，代表四種基本力：重力、電磁力、強核力和弱核力。它將這 16 種場組合在一個方程中，描述了它們如何相互作用。通過這些相互作用，基本粒子被理解為各自量子場的波動，物理世界就出現在我們眼前。

這聽起來可能很奇怪，但物理學家在 1930 年代意識到基于場而不是粒子的物理學解決了一些最緊迫的不一致性問題，比如因果關系問題，粒子不會永遠存在的事實等等。它還解釋了在物理世界中看似不可能的一致性。

Tong說：“宇宙中所有同類型的粒子都是一樣的。” “如果我們去大型強子對撞機并制造一個新鑄造的質子，它與已經旅行了 100 億年的質子完全相同。這值得作一些解釋。” QFT 就提供了解釋：所有質子都只是同一底層的質子場（或者，如果你可以更仔細地觀察，底層的夸克場）中的波動。

但是 QFT 的解釋能力需要付出高昂的數學代價。

“量子場論是迄今為止數學中最復雜的對象，以至于數學家不知道如何理解它們，”Tong說。“量子場論是尚未被數學家發明的數學。”

太多的無限

是什么讓數學家如此復雜？簡言之，無限。

當你在一個點測量量子場時，結果不是坐標和溫度等幾個數字。而是一個矩陣，即一個數字數組。也不是任意矩陣——是一個很大的矩陣，稱為算子（operator），具有無限多的列和行。這反映了量子場怎樣包含從場中出現的粒子的所有可能性。

約克大學的Kasia Rejzner說：“一個粒子可以有無數個位置，這導致描述位置和動量的度量的矩陣也必須是無限維的。”

理論產生無窮大時，會產生物理相關性的質疑，因為無窮大作為一個概念存在，而不是任何實驗可以測量的東西。它還使理論難以在數學上使用。

“我們不喜歡有一個說明無窮大的框架。這就是為什么你開始意識到需要對正在發生的事情有更好的數學理解，”阿姆斯特丹大學的物理學家Alejandra Castro說。

當物理學家開始思考兩個量子場如何相互作用時，無窮大的問題變得更糟，例如，當在日內瓦郊外的大型強子對撞機上模擬粒子碰撞時。在經典力學中，這種類型的計算很容易：要模擬兩個臺球碰撞時會發生什么，只需使用指定每個球在碰撞點處的動量的數字即可。

當兩個量子場相互作用時，你想做類似的事情：在時空中恰好相遇的點處，將一個場的無限維算子乘以另一個場的無限維算子。但是這個計算——將兩個無限靠近的無限維對象相乘——是困難的。

“此乃事情變得非常糟糕所在，”Rejzner 說。

愉快的成功

物理學家和數學家無法使用無窮大進行計算，但他們已經開發出了變通方法——近似數量的方法來避免問題。這些變通方法產生近似預測，這已經足夠好了，因為實驗也不是無限精確的。

“我們可以進行實驗并測量到小數點后 13 位，他們同意所有 13 位小數。這是所有科學中最令人驚訝的事情，”Tong說。

一種解決方法是先想象你有一個沒有發生任何事情的量子場。在這種情況下——被稱為“自由”理論，因為它沒有相互作用——你不必擔心乘以無限維矩陣，因為沒有任何東西在運動，也沒有任何東西發生碰撞。這種情況很容易用完整的數學細節來描述，盡管這種描述不值一提。

“這很無聊，因為你描述了一個沒有任何互動的孤獨場，所以這有點像學術練習，”Rejzner 說。

但是你可以讓它更有趣。物理學家撥弄相互作用，試圖保持對圖像的數學控制，因為他們使相互作用更強。

這種方法稱為微擾 QFT，因為你允許自由場中的微小變化或擾動。你可以將微擾視角應用于類似于自由理論的量子場論。它對于驗證實驗也非常有用。“你獲得了驚人的準確性，驚人的實驗一致性，”Rejzner 說。

但是，如果你不斷增強相互作用，微擾方法最終會過熱。它沒有產生接近真實物理宇宙的越來越準確的計算，而是變得越來越不準確。這表明，雖然微擾方法是實驗的有用指引，但最終它不是嘗試和描述宇宙的正確方法：它實際上很有用，但在理論上卻很不穩定。

Gaiotto 說：“我們不知道如何把所有事情加起來，得到一些合理的東西。”

另一種近似方案試圖通過其他方式悄悄靠近成熟的量子場論。理論上，量子場包含無限細粒度的信息。為了構建這些場，物理學家從網格或格柵開始，并將測量限制在格子線相互交叉的地方。因此，你不能在任何地方測量量子場，而是只能在相距固定距離的選定位置進行測量。

從那里，物理學家提高了格柵的分辨率，將線拉得更近，以形成越來越精細的編織。隨著它變緊，你可以進行測量的點數量會增加，接近理想化的概念，即你可以在任何地方進行測量。

“點之間的距離變得非常小，這樣的東西就變成了一個連續的場，”Seiberg說。用數學術語來說，他們說連續量子場是緊縮格柵的極限。

數學家習慣于處理極限，并且知道如何確定某些極限確實存在。例如，他們證明了無限序列 1/2 + 1/4 +1/8 + 1/16 + ... = 1. 物理學家想證明量子場是這個格化過程的極限。只是不知道如何做。

“目前還不清楚如何達到這個極限以及它在數學上的意義，”Moore說。

物理學家并不懷疑緊縮格柵正在朝著量子場的理想化概念發展。QFT 的預測與實驗結果之間的密切擬合強烈表明情況確實如此。

“毫無疑問，所有這些極限都確實存在，因為量子場論的成功確實令人驚嘆，”Seiberg說。但是有強有力的證據表明某件事是正確的，與最終證明它是正確的，是兩件不同的事情。

這是某種程度上的不精確性，與 QFT 想要取代的其他偉大的物理理論不一致。艾薩克·牛頓的運動定律、量子力學、阿爾伯特·愛因斯坦的狹義和廣義相對論——它們都只是 QFT 想要講述的更大故事的一部分，但與 QFT 不同的是，它們都可以用精確的數學術語寫下來。

“量子場論作為一種幾乎通用的物理現象語言出現，但它的數學形式很糟糕，”Dijkgraaf 說。對于一些物理學家來說，這是暫停的原因。

“如果整個房子的人都依賴于這個本身無法以數學方式理解的核心概念，那么你憑啥如此自信認為它能描述世界？這加劇了整個問題，”Dijkgraaf 說。

外部鼓動

即使在這種不完整的狀態下，QFT 也促成了許多重要的數學發現。相互作用的一般模式是，使用 QFT 的物理學家偶然發現了令人驚訝的計算，然后數學家試圖解釋這些計算。

“這是一臺產生創意的機器，”Tong 說。

在基本層面上，物理現象與幾何有著密切的關系。舉一個簡單的例子，如果你讓一個球在光滑的表面上運動，它的軌跡將指明任意兩點之間的最短路徑，這個屬性被稱為測地線。通過這種方式，物理現象可以檢測形狀的幾何特征。

現在用電子代替臺球。電子概率性地存在于一個表面的任何地方。通過研究捕獲這些概率的量子場，你可以了解該表面（或流形，用數學家的術語）的整體性質，例如它有多少個孔。這是幾何學和拓撲學相關領域的數學家想要回答的一個基本問題。

“一個即使坐在那里，什么都不做的粒子，也會開始知道流形的拓撲結構，”Tong說。

1970 年代后期，物理學家和數學家開始應用這種觀點來解決幾何中的基本問題。到 1990 年代初，Seiberg 和他的合作者Edward Witten（愛德華·威滕）想出了如何使用它來創建一種新的數學工具——現在稱為 Seiberg-Witten 不變量——將量子現象變成一個形狀的純數學特征的指數：計算量子粒子某種方式行為的次數，而你已經有效地計算了形狀中的孔數。

牛津大學數學家 Graeme Segal說：“威滕表明，量子場論對幾何問題給出了完全出乎意料但又完全準確的見解，使棘手的問題變得可以解決。”

這種交流的另一個例子也發生在 1990 年代初期，當時物理學家正在進行與弦理論相關的計算。他們根據根本不同的數學規則在兩個不同的幾何空間中執行它們，并不斷產生相互精確匹配的長組數字。數學家們繼續發力，將其詳細闡述為一個全新的研究領域，稱為鏡像對稱，研究并發性以及許多其他類似性質。

Ben-Zvi 說：“物理學會提出這些驚人的預測，數學家會嘗試用自己的方法來證明它們。” “這些預測既奇怪又精彩，結果證明它們幾乎總是正確的。”

但是，盡管 QFT 成功地為數學提供了線索，但其核心思想仍然幾乎完全存在于數學之外。量子場論并不是數學家能夠很好地理解以使用他們可以使用多項式、群、流形和其他學科支柱（其中許多也起源于物理學）的方式的對象。

對于物理學家來說，與數學的這種疏遠關系表明他們需要了解更多關于他們誕生的理論。“過去幾個世紀以來物理學中使用的所有其他想法在數學中都有其自然的地位，”Seiberg說。“這顯然不是量子場論的情況。”

而對于數學家來說，似乎 QFT 和數學之間的關系應該比偶爾的互動更深入。這是因為量子場論包含許多對稱性或基本結構，它們決定了場不同部分中的點如何相互關聯。這些對稱性具有物理意義——它們體現了正如量子場隨時間演變，能量等物理量是如何守恒的。而它們本身也是數學上有趣的對象。

“數學家可能關心某種對稱性，我們可以把它放在物理環境中。它在這兩個領域之間建立了這座美麗的橋梁，”Castro說。

數學家已經使用對稱性和幾何的其他方面來研究從不同類型方程的解到素數分布的所有內容。通常，幾何對有關數字的問題的答案進行編碼。QFT 為數學家們提供了一種豐富的新型幾何對象——如果他們能直接用到它，他們將能做出許多無法預知的事。

“在某種程度上，我們在玩 QFT，”德克薩斯大學奧斯汀分校的數學家Dan Freed說。“我們一直在使用 QFT 作為外部刺激，但如果它是內部刺激就好了。”

為 QFT 鋪路

數學不會輕易接受新科目。許多基本概念都經過了長期的試驗，然后才在該領域找到了合適的、規范的位置。

譬如，實數 - 數軸上的所有無限多個刻度標志。數學需要近 2000 年的實踐才能就定義它們的方式達成一致。最后，在 1850 年代，數學家確定了一個精確的三詞陳述，將實數描述為“完備有序域”。它們是完備的，因為它們不包含間隙；它們是有序的，因為總有一種方法可以確定一個實數是否大于或小于另一個實數，并且它們形成了一個“域”，對于數學家來說，這意味著它們遵循算術規則。

Freed說：“這三個詞在歷史上是被強烈爭論的。”

為了將 QFT 變成一種內部刺激——一種他們可以用于自己目的的工具——數學家們希望對 QFT 進行與他們對實數相同的處理：任何特定量子場論都需要滿足一個清晰的特征列表。

許多將 QFT 部分翻譯成數學的工作來自Perimeter研究所的一位名叫Kevin Costello的數學家。2016 年，他與他人合著了一本教科書，將微擾 QFT 置于牢固的數學基礎上，包括對隨著交互次數增加而出現的無限量形式化處理。這項工作是在 2000 年代早期的一項名為代數量子場論的工作之后進行的，該工作尋求類似的目標，Rejzner在 2016 年的一本書中對其進行了評論。所以現在，雖然微擾 QFT 仍然不能真正描述宇宙，但數學家知道如何處理它產生的物理上無意義的無窮大。

“他的貢獻非常巧妙和有見地。他將 [微擾] 理論置于一個適用于嚴格數學的良好的新框架中，”Moore說。

Costello 解釋說，他寫這本書是為了讓微擾量子場論更加自洽。“我只是發現某些物理學家的方法沒有動機和針對性。我想要數學家可以使用的更獨立的東西，”他說。

通過準確說明微擾理論的工作原理，Costello創造了一個基礎，物理學家和數學家可以在此基礎上構建滿足其微擾方法要求的新型量子場論。它很快被該領域的其他人所接受。

“當然有很多年輕人在這個框架下工作。[他的書]產生了影響，”Freed說。

Costello還一直致力于定義量子場論是什么。在精簡的形式中，量子場論需要一個幾何空間，你可以在其中對每個點進行觀察，并結合相關函數來表達不同點的觀察結果如何相互關聯。Costello 的工作描述了一組相關函數需要具有的屬性，以便作為量子場論的可行基礎。

最熟悉的量子場論，如標準模型，包含可能并非在所有量子場論中都存在的附加特征。缺乏這些特征的量子場論可能描述了其他尚未發現的特性，這些特性可以幫助物理學家解釋標準模型無法解釋的物理現象。如果你對量子場論的想法過于接近我們已經知道的版本，你甚至很難想象其他必要的可能性。

“有一個很大的燈桿，你可以在它下面找到場理論（比如標準模型），它周圍是漆黑一片（量子場論），我們不知道如何定義，但我們知道它們就在那里，”Gaiotto說。

Costello用他對量子場的定義照亮了一些黑暗的空間。從這些定義中，他發現了兩個令人驚訝的新量子場論。兩者都沒有描述我們的四維宇宙，但它們確實滿足了配備相關函數的幾何空間的核心需求。他們純粹思考的發現非常類似于你可能會發現的物理世界中存在的第一個形狀，但是一旦你對形狀有了一般定義，你就可以思考與物理無關的例子。

如果數學可以確定量子場論的全部可能性空間——滿足涉及相關函數的一般定義的所有不同可能性——物理學家可以使用它來找到解釋他們最關心的重要物理問題的特定理論的方法。

“我想知道所有 QFT 的空間，因為我想知道量子引力是什么，”Castro說。

多代人的挑戰

有很長的路要走。到目前為止，所有用完整數學術語描述的量子場論都依賴于各種簡化，這使得它們在數學上更容易使用。

幾十年前，簡化問題的一種方法是研究更簡單的二維 QFT，而不是四維 QFT。法國的一個團隊最近確定了一個著名的二維 QFT 的所有數學細節。

其他簡化會假設量子場以與物理現實不匹配的方式對稱，但這使它們從數學角度更易于處理。這些包括“超對稱”和“拓撲”QFT。

下一個更困難的步驟將是去除拐杖并提供更適合物理學家最想描述的物理世界的量子場論的數學描述：四維連續宇宙，其中所有相互作用都是可能立刻發生。

“這是（一件）非常尷尬的事情，我們沒有一個單一的量子場論，使我們可以在四個維度上無擾動地描述，”Rejzner 說。“這是一個難題，顯然需要一兩代以上的數學家和物理學家來解決。”

但這并不能阻止數學家和物理學家貪婪地盯著它。對于數學家來說，QFT 是他們所希望的豐富的對象類型。定義所有量子場論共有的特性幾乎肯定需要合并數學的兩個支柱：分析，它解釋了如何控制無窮大；幾何，它提供了一種談論對稱性的語言。

“就數學本身而言，這是一個引人入勝的問題，因為它結合了兩個偉大的想法，”Dijkgraaf 說。

如果數學家能夠理解 QFT，那么就無法知道在解鎖過程中會等來什么數學發現。數學家很久以前就定義了其他對象的特征屬性，如流形和群，而這些對象現在幾乎滲透到數學的每個角落。當它們第一次被定義時，不可能預料到它們的所有數學后果。QFT 對數學至少有同樣的希望。

“我喜歡說物理學家不一定知道一切，但物理學知道，”Ben-Zvi說。“如果你問對了問題，它已經有了數學家正在尋找的現象。”