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作者：量子雜志作家Charlie Wood 2021-6-17 譯者：zzllrr小樂 2021-6-19 在普林斯頓大學的理論物理學家亞歷山大·波利亞科夫( Alexander Polyakov)于 1981 年瞥見了量子理論的未來。從弦的擺動到夸克與質子的結合，一系列的謎團需要一種新的數學工具，來描繪出其輪廓。 “科學中有一些方法和公式可以作為解決諸多明顯不同問題的萬能鑰匙，”他在現在著名的《物理快報 B》的四頁信的介紹中寫道。“目前我們必須開發一種在隨機表面上處理求和的藝術。” 波利亞科夫的提議被證明是有力的。在他的論文中，他草擬了一個公式，粗略地描述了如何計算一種非常混亂的表面，即“劉維爾場”（ Liouville field）的均值。他的工作將物理學家帶入了一個新的數學領域，這對于解開稱為弦的理論對象的行為和構建量子引力的簡化模型至關重要。 多年的辛勞使波利亞科夫為物理學中的其他理論找到突破性的解決方案，但他從未完全理解劉維爾場背后的數學。 然而，在過去的七年里，一群數學家完成了許多研究人員認為不可能的事情。在具有里程碑意義的出版物三部曲中，他們使用完全嚴謹的數學語言重新定義了波利亞科夫 的公式，并證明了劉維爾場完美地模擬了波利亞科夫預測的現象。
法國國家科學研究中心的Vincent Vargas 及其合作者取得了一項罕見的壯舉：用簡短的數學公式完美地描述了強相互作用的量子場論。（照片出處：IHES/MC Vergne） “我們在數學上花了 40 年的時間才弄懂了四頁紙。”法國國家科學研究中心的數學家 Vincent Vargas說。他與艾克斯-馬賽大學的 Rémi Rhode、赫爾辛基大學的Antti Kupiainen、法國國家科學研究中心的Fran?ois David和巴黎薩克雷大學的Colin Guillarmou是共同作者。 這三篇論文在嶄新的數學世界和混亂的物理學現實之間架起了一座橋梁——他們在概率論的數學領域開辟了新天地。這項工作還涉及有關在基礎物理學主流理論中占據中心位置的物體的哲學問題：量子場。
“這是數學物理學的杰作，”賓夕法尼亞大學數學家Sun Xin說。 無限場在今天的物理學中，理論上最成功的主角是場——填充空間的物體，在不同的地方具有不同的取值。 例如，在經典物理學中，單個場會告訴你有關力如何推動物體的所有信息。以地球的磁場為例：羅盤指針的顫動揭示了磁場對地球上每一點的影響（其強度和方向）。 場也是量子物理學的核心。然而，由于量子理論的深度隨機性，這里的情況更加復雜。從量子的角度來看，地球不會產生一個磁場，而是產生無數不同的磁場。有些看起來幾乎就像我們在經典物理學中觀察到的場，但其他的卻大不相同。 但是物理學家仍然希望做出預測——在這種情況下，預測與登山者在指南針上看到的內容完美匹配。將量子場的無限形式透徹理解為單一預測是“量子場論”（簡稱QFT，內容詳見zzllrr小樂公眾號上一篇譯作）的艱巨任務。這是一個或多個量子場如何運作和相互作用的模型，每個量子場都有無限的變化。 在大量實驗支持的推動下，QFT 已成為粒子物理學的基本語言。標準模型就是一個這樣的QFT，描繪了電子等基本粒子是從無窮電子場模糊碰撞中涌現出來的。迄今為止，它已經通過了所有實驗測試（盡管各個小組可能即將找到第一個洞）。 物理學家嘗試了許多不同的 QFT。一些，如標準模型，渴望模擬在我們宇宙的四個維度（三個空間維度加上一個時間維度）中移動的真實粒子。其他則描述了奇異宇宙中的奇異粒子，從二維平面到六維超級世界。它們與現實的聯系是遙遠的，但物理學家研究它們是希望獲得可以帶回我們自己世界的見解。 波利亞科夫的劉維爾場論就是這樣一個例子。
重力場劉維爾場基于 1800 年代法國數學家 Joseph Liouville發展的復分析方程，描述了一個完全隨機的二維表面——即，一個類似于地殼的表面，但其在每個點的高度都是隨機選擇的。這樣的星球會爆發出無數山脈的高峰，每個山峰都 這樣的對象可能看起來不像物理學的提供有用信息的模型，但隨機性并非沒有模式。例如，鐘形曲線告訴你在街上隨機走過一個 7 英尺高的籃球運動員的可能性有多大。同樣，球狀云和皺巴巴的海岸線遵循隨機模式，但仍然有可能辨別出它們的大尺度和小尺度特征之間的一致關系。 劉維爾理論可用于識別所有可能的隨機、鋸齒狀表面的無盡景觀中的模式。Polyakov 意識到這種混沌地形對于弦的建模至關重要，弦在其移動時可以描繪出表面。該理論還被應用于描述二維世界中的量子引力。愛因斯坦將引力定義為時空的曲率，但將他的描述翻譯成量子場論的語言會創造出無數的時空——就像地球產生無限的磁場一樣。劉維爾理論將所有這些表面打包成一個對象。它為物理學家提供了測量隨機二維表面上每個位置的曲率以及引力的工具。 “量子引力基本上意味著隨機幾何，因為量子意味著隨機，引力意味著幾何，”孫說。 波利亞科夫探索隨機表面世界的第一步是寫下一個表達式，定義找到特定尖刺行星的幾率，就像鐘形曲線定義遇到特定高度的人的幾率一樣。但是他的公式并沒有帶來有用的數值預測。 解決量子場論就是能夠使用這個場來預測觀察結果。在實踐中，這意味著計算一個場的“相關函數”，它通過描述一個點的場測量與另一點的測量相關或以關聯程度來刻畫場的行為。例如，計算光子場中的相關函數可以為你提供量子電磁學的教科書定律。 Polyakov 追求的是更抽象的東西：隨機表面的本質，類似于使云成為云或海岸線成為海岸線的統計關系。他需要劉維爾場隨機高度之間的相關性。幾十年來，他嘗試了兩種不同的計算方法。他從一種稱為費曼路徑積分的技術開始，最終開發了一種變通方法（稱為bootstrap）。兩種方法都以不同的方式出現問題，直到（本文提及的）新工作背后的數學家將它們結合在一起，形成了更精確的公式。 把它們加起來你可能會想象，解釋一個量子場可以采取的無限多種形式幾乎是不可能的。你可能是對的。1940 年代，量子物理學先驅理查德·費曼 (Richard Feynman) 開發了一種方法來處理這種令人困惑的情況，但事實證明該方法非常有限。 再以地球磁場為例。你的目標是使用量子場論來預測你在特定位置進行指南針讀數時會觀察到的情況。為此，費曼提議將所有場的形式匯總在一起。他認為你的讀數將代表這個場所有可能形式的平均水平。將這些配置適當權重的無限場相加的過程稱為費曼路徑積分。 這是一個優雅的想法，它只針對選定的量子場產生具體的答案。沒有任何已知的數學處理方法可以有意義地平均覆蓋無限廣闊空間的無限數量的物體。路徑積分更像是一種物理哲學，而不是精確的數學配方。數學家質疑它作為有效運算的存在，并為物理學家依賴它的方式感到困擾。 德國波恩大學數學家Eveliina Peltola說：“作為一名數學家，我對一些未定義的事情感到不安。” 物理學家可以利用費曼的路徑積分來計算最無聊的場的精確相關函數——自由場，它們不與其他場相互作用，甚至不與它們自身相互作用。另外，他們必須回避它，假裝這些場是自由的，并添加溫和的相互作用（即“擾動”perturbations）。這個程序被稱為微擾理論，它為標準模型中的大多數場獲得相關函數，因為自然力恰好非常微弱。 但它對Polyakov 不起作用。盡管他最初推測劉維爾場可能服從添加輕度擾動的標準技巧，但他發現它與自身相互作用太強。與自由場相比，劉維爾場在數學上顯得高深莫測，其相關函數也顯得高不可攀。
通過bootstrap往上爬Polyakov 很快開始尋找解決方法。1984 年，他與 Alexander Belavin 和 Alexander Zamolodchikov 合作開發了一種稱為bootstrap的技術——一種逐漸通向一個場的相關函數的數學階梯。 要開始爬梯子，你需要一個函數來表達一個場中僅三個點的測量值之間的相關性。這個“三點相關函數”，加上一些關于場的粒子可以擁有的能量的額外信息，形成了bootstrap梯子的底部梯級。 從那里你一次爬一個點：用三點函數構造四點函數，用四點函數構造五點函數，依此類推。但是，如果你在第一個 Polyakov、Belavin 和 Zamolodchikov 使用 bootstrap 成功地解決了各種簡單的 QFT 理論，但就像費曼路徑積分一樣，他們無法使其適用于劉維爾場。 然后在 1990 年代，兩對物理學家——Harald Dorn 和 Hans-J?rg Otto，以及Zamolodchikov 和他的兄弟 Alexei——設法找到了可以縮放梯子的三點相關函數，完全解決了劉維爾場（和它對量子引力的簡單描述）。他們的結果，以他們的首字母縮寫為 DOZZ 公式，讓物理學家可以做出任何有關劉維爾場的預測。但即使是作者也知道他們有部分出于碰偶然巧，而不是通過可靠的數學。 “他們就是那種猜公式的天才，”Vargas說。 有 “在我看來，它就像科幻小說，”Kupiainen說。“這永遠不會被任何人證明。” 馴服狂野的表面在 2010 年代初期，Vargas和Kupiainen 與概率論學家Rémi Rhodes和物理學家Fran?ois David聯手。他們的目標是將劉維爾場的數學松散端扎牢——使 Polyakov 放棄的費曼路徑積分形式化，并且也許能揭開 DOZZ 公式的神秘面紗。 當他們開始時，他們意識到一位名叫Jean Pierre Kahane的法國數學家在幾十年前發現了Polyakov大師理論的關鍵。 “從某種意義上說，劉維爾在我們之前沒有被定義是完全瘋狂的，”Vargas 說。“所有的材料都已經在那里。” 這一見解導致了 2014 年至 2020 年間完成的三篇數學物理學里程碑式論文。
他們首先完善了路徑積分，這使Polyakov失敗了，因為劉維爾場與自身強烈相互作用，使其與費曼的微擾工具不兼容。因此，數學家們使用 Kahane 的想法將狂野的劉維爾場改寫為一個稍微溫和的隨機對象，稱為高斯自由場（Gaussian free field）。高斯自由場中的峰值不會像劉維爾場中的峰值一樣波動到相同的隨機極值，這使得數學家可以以合理的方式計算平均值和其他統計量度。 “某種程度上來講，這一切都只是使用高斯自由場，”Peltola 說。“從中他們可以構建理論中的一切。” 2014 年，他們公布了他們的成果：一個新的對Polyakov 在 1981 年寫下的路徑積分改進的版本，但完全根據可信的高斯自由場定義。費曼的路徑積分哲學找到了可靠的數學處理方式，這是一個罕見的例子。 “路徑積分可以存在，也確實存在，”德國電子同步加速器的物理學家J?rg Teschner說。 有了嚴格定義的路徑積分，研究人員隨后試圖看看他們是否可以用它來從劉維爾場中獲得答案并推導出其相關函數。目標是神話般的 DOZZ 公式——但它與路徑積分之間的鴻溝似乎很大。 Kupiainen 說：“出于宣傳原因，我們會在論文中寫道，我們想要理解 DOZZ 公式。” 該團隊花了數年時間推動他們的概率路徑積分，確認它確實具有使bootstrap湊效所需的所有特性。他們這樣做是建立在 Teschner 早期工作的基礎上。最終，Vargas、Kupiainen 和 Rhodes 于2017 年發表了一篇論文，并于2020 年10 月與 Colin Guillarmou發表了另一篇論文。他們從路徑積分中推導出 DOZZ 和其他相關函數，并表明這些公式與物理學家使用bootstrap得出的方程完全匹配。 “現在我們完成了，”Vargas 說。“兩個對象都是一樣的。” 這項工作解釋了 DOZZ 公式的起源，并將bootstrap（數學家認為這是粗略的）與經過驗證的數學對象聯系起來。總而言之，它解決了劉維爾場的最終謎團。 “某種意義上來講，這是一個時代的終結，”Peltola 說。“但我希望這也是一些新的、有趣的事情的開始。” QFT 的新希望Vargas和他的合作者現在手上有一只獨角獸，一個強相互作用的量子場論（QFT） 被一個簡短的數學公式以非微擾的方式完美地描述，該公式也可以進行數值預測。 現在真正價值百萬美元的問題（克萊研究所千禧年難題之一《楊米爾斯的存在性和質量缺口》是世界七大數學難題之一，譯者zzllrr小樂注）是：這些概率方法能走多遠？他們可以為所有 QFT 生成整潔的公式嗎？Vargas很快就打破了這種希望，堅稱他們的工具是專門針對劉維爾理論的二維環境的。在更高維度，即使是自由場也太不規則了，所以他懷疑該小組的方法是否能夠處理我們宇宙中引力場的量子行為。 但是，Polyakov 的“萬能鑰匙”的重新鑄造將打開另一扇門。它的影響已經在概率論中體現出來，數學家現在可以不受“懲罰”地運用以前“狡猾”的物理公式。受到劉維爾工作的鼓舞，孫和他的合作者已經從物理學中導入方程來解決關于隨機曲線的兩個 問題。 物理學家也在更遠的道路上等待切實的好處。 “[數學家] 會做一些我們甚至無法想象的事情，”Perimeter 研究所的理論物理學家Davide Gaiotto說。 |
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