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作者：Kevin Hartnett 2021-7-19 譯者：zzllrr小樂 2021-7-24
數學界最偉大的項目收到了一份難得的禮物，它以2月份發表的350頁的龐大論文的形式出現，將改變世界各地的研究人員對該領域一些最深層次問題的研究方式。這個工作成果塑造了一個新的幾何對象，實現了一個關于幾何與數論之間關系的大膽夢想。 “這確實開辟了大量的可能性。他們的方法和結構非常新穎，有待進一步探索，”密歇根大學的Tasho Kaletha說。 這項工作是巴黎Jussieu數學研究所的Laurent Fargues（洛朗·法格）和波恩大學的Peter Scholze（彼得·舒爾茨） 合作完成的。它在長期運行的“朗蘭茲綱領”中開辟了一條新戰線，該計劃旨在將數學的不同分支——如微積分和幾何——聯系起來，以回答一些關于數字的最基本問題。 他們的論文實現了這一愿景，為數學家提供了一種全新的思考方式，以思考幾個世紀以來一直啟發和困惑他們的問題。 Fargues 和 Scholze 工作成果的中心是一個重新煥發活力的幾何對象，稱為 Fargues-Fontaine 曲線。它由 Fargues 和 Jean-Marc Fontaine 于 2010 年左右首次發展，后者在 2019 年因癌癥去世之前一直是巴黎第十一大學（Paris-Sud University）的教授。十年后的現在，該曲線才達到最高形式。 “當時他們知道 Fargues-Fontaine 曲線很有趣，也很重要，但不知道是什么方式，”慕尼黑工業大學的Eva Viehmann說。 這條曲線可能仍然局限于被發明的數學技術角落，但在 2014 年涉及 Fargues 和 Scholze 的事件將其推向了該領域的中心。在接下來的七年中，他們制定了使法格曲線適應 Scholze 理論所需的基本細節。最終的結果并沒有太多的橋梁連接數論和幾何，而是讓它們之間的地面坍塌。 “這是兩個不同世界之間的某種蟲洞，”Scholze 說?！八麄冋娴闹皇峭ㄟ^不同的鏡頭以某種方式變成了同一件事?！?/p>
根的收獲 朗蘭茲綱領是一個龐大的研究愿景，從一個簡單的問題開始：找到多項式方程的解，如x2 ? 2 = 0 和x? ? 10 x2 + 22 = 0。求解它們意味著找到多項式的“根” ，即X的值，使多項式等于零。到 1500 年代，數學家已經發現了用于計算最高冪為 2、3 或 4 的多項式根的簡潔公式。然后他們尋找方法來識別變量 5 次冪及以上的多項式的根。但是在 1832 年，年輕的數學家埃瓦里斯特·伽羅瓦（évariste Galois）發現搜索不會有結果，證明沒有通用的方法來計算高次多項式的根。 不過，伽羅瓦并沒有就此止步。在 1832 年 20 歲的決斗中去世前幾個月，伽羅瓦提出了多項式解的新理論。他沒有精確計算根——這在大多數情況下無法完成——他提議研究根之間的對稱性，他將其編碼在一個新的數學對象中，最終稱為伽羅瓦群。 在x2 ? 2的例子中，伽羅瓦群沒有明確說明根，而是強調這兩個根（無論它們是什么）就代數定律而言是彼此的鏡像。 “數學家不得不遠離公式，因為通常沒有公式，”斯坦福大學的Brian Conrad說?！坝嬎阗ち_瓦群是計算根之間關系的某種度量?！?/p> 在整個 20 世紀，數學家設計了研究伽羅瓦群的新方法。一個主要的策略是創建一個字典，在群和其他對象之間進行翻譯——通常是來自微積分的函數——并研究這些作為直接處理伽羅瓦群的代理。這是朗蘭茲綱領的基本前提，它是通過這些類型的翻譯研究伽羅瓦群——實際上是多項式——的廣闊視野。 朗蘭茲綱領始于1967年，當時（得名于）羅伯特·朗蘭茲，寫了一封信給名為韋依（André Weil）一個著名的數學家。朗蘭茲提出應該有一種方法將每個伽羅瓦群與一個稱為自守形式的對象相匹配。雖然伽羅瓦群出現在代數中（反映你使用代數求解方程的方式），但自守形式來自一個非常不同的數學分支，稱為分析，它是微積分的增強形式。20 世紀上半葉的數學進展已經確定了兩者之間的足夠相似之處，使朗蘭茲懷疑存在更徹底的聯系。 倫敦帝國理工學院的Ana Caraiani說：“這些性質截然不同的對象以某種方式相互交流，這很了不起?！?/p> 如果數學家能夠證明所謂的朗蘭茲對應，他們就可以自信地使用微積分的強大工具研究所有多項式。所猜想的關系是如此基礎，以至于它的解也可能涉及數論中許多最大的未解決問題，包括百萬美元千禧年獎中的三個問題：黎曼假設、BSD 猜想和霍奇猜想。 考慮到利害關系，幾代數學家都被激勵加入這項工作，將朗蘭茲最初的猜想發展為當今該領域最大、最廣泛的項目。 “朗蘭茲綱領是一個猜想網絡，幾乎涉及純數學的每個領域，”Caraiani 說。 來自形狀的數字 從 1980 年代初期開始，弗拉基米爾·德林菲爾德（ Vladimir Drinfeld）和后來的亞歷山大·貝林森(Alexander Beilinson)提出應該有一種方法來用幾何術語解釋朗蘭茲的猜想。數論和幾何之間的轉換通常很困難，但是當它起作用時，它可以解決問題。 舉一個例子，關于一個數的一個基本問題是它是否有重復的質因數。數字 12 可以：它分解為 2 × 2 × 3，其中 2 出現兩次。數字 15 沒有（它被分解為 3 × 5）。 一般來說，沒有快速的方法知道一個數字是否有重復因子。但是有一個類似的幾何問題要容易得多。 多項式具有許多與數字相同的屬性：可以對它們進行加、減、乘和除。甚至還有一個關于多項式是“素”的概念。但與數字不同的是，多項式具有清晰的幾何外觀。你可以繪制他們的解并研究這些圖表以獲得有關它們的見解。 例如，如果圖形在任何一點與x軸相切，你就可以推斷出多項式具有重復因子（正好在相切點處指示）。這只是一個模糊的算術問題如何在轉換為多項式類似物后獲得視覺意義的一個例子。 “你可以繪制多項式。你不能繪制一個數字。當你繪制一個 [多項式] 時，它會給你一些想法，”康拉德說?！岸鴶底种皇菙底??！?/p> “幾何”朗蘭茲綱領，正如后來被稱為的那樣，旨在尋找具有可以代表朗蘭茲猜想中的伽羅瓦群和自守形式的性質的幾何對象。通過使用幾何工具在這個新環境中證明類似的對應關系可以讓數學家對原始朗蘭茲猜想更有信心，并可能提出有用的思考方式。這是一個美好的愿景，但也有點空靈——有點像說如果你只有一臺時間機器，你就可以穿越宇宙。 “制作在數字設定中起到類似作用的幾何對象要困難得多，”康拉德說。 因此幾十年來，幾何朗蘭茲綱領與原始綱領相距甚遠。兩人被同一個目標所激勵，但他們涉及的對象是如此根本不同，以至于沒有真正的方法可以讓他們彼此交談。 “算術人員似乎對 [幾何朗蘭茲綱領] 感到困惑。他們說這很好，但與我們的擔憂完全無關，”Kaletha 說。 然而，Scholze 和 Fargues 的新工作終于實現了寄托在幾何朗蘭茲綱領上的希望——通過找到第一個形狀，其屬性直接與朗蘭茲最初的關注點聯系起來。
舒爾茨的絕技 2014 年 9 月，Scholze 在加州大學伯克利分校教授一門特殊課程。盡管只有26歲，但他已經是數學界的傳奇人物。兩年前，他完成了他的論文，在論文中他闡明了一種基于他發明的稱為完美胚空間(perfectoid spaces)的對象的新幾何理論。然后他使用這個框架解決了數論中稱為權重單項猜想的部分問題。 但比特定結果更重要的是圍繞它的可能性感覺——不知道有多少數學中的其他問題可能會產生這種尖銳的新觀點。 Scholze課程的主題是他的完美胚空間理論的更廣泛版本。數學家們坐滿了小研討室的座位，他們沿著墻壁排成一排，然后涌到走廊里聽他說話。 “每個人都想去那里，因為我們知道這是革命性的東西，”德克薩斯大學奧斯汀分校的大衛·本-茲維（David Ben-Zvi）說。
Scholze 的理論基于稱為p進制（p-adic）的特殊數字系統。p進中的“p”代表“素數”，就像在素數中一樣。對于每個素數，都有一個唯一的p進系統：2進、3進、5進等等。一個多世紀以來，P進數一直是數學的核心工具。它們作為更易于管理的數字系統非常有用，可以在其中研究出現在有理數（可以寫為正整數或負整數的比率的數字）中的問題，相比之下，這些問題很笨拙。 p進數的優點是它們每個都只基于一個素數。這使得它們比有理數更直截了當，結構也更明顯，有理數有無窮多個素數，其中沒有明顯的模式。數學家們經常試圖首先理解p進制中關于數字的基本問題，然后將這些課程帶回他們對有理數的研究。 “p進數是進入有理數的一個小窗口，”Kaletha 說。 所有數系都有幾何形式——例如，實數采用線的形式。Scholze 的完美胚空間為p進數提供了一種新的、更有用的幾何形式。這種增強的幾何學使p進數成為探索基本數論現象（例如多項式方程的解的問題）的更有效方法。 “他重新構想了p進世界并將其變成了幾何學，”Ben-Zvi說?！耙驗樗鼈兎浅Ｖ匾?，所以這會帶來很多很多的成功?！?/p> 在他的伯克利課程中，Scholze 提出了他的完美胚空間理論的更一般版本，建立在他設計的更新的對象上，稱為鉆石（diamonds）。該理論承諾進一步擴大p進數的用途。然而，在 Scholze 開始教學時，他甚至還沒有完成。 “他在發展理論的同時開設了課程。他在晚上提出想法，并在早上提出新的想法，”Kaletha 說。 這是一場精湛的表演，房間里聽到它的人之一是 Laurent Fargues。 有曲線，會旅行 在 Scholze 講課的同時，Fargues 正在伯克利校區山上的數學科學研究所（MSRI）參加一個特殊學期。他對p進數也考慮了很多。在過去的十年里，他與 Jean-Marc Fontaine一起在一個叫做p進霍奇理論的數學領域工作，該領域專注于關于這些數字的基本算術問題。在那段時間里，他和Fontaine想出了一個他們自己的新幾何對象。這是一條曲線——Fargues-Fontaine 曲線——每個點代表一個重要對象的一個版本，稱為一個p進環（p-adic ring）。 正如最初設想的那樣，它是數學技術領域的一個狹隘有用的工具，而不是可能撼動整個領域的東西。 “這是p進霍奇理論中的一個組織原則，我就是這么認為的。在這條曲線出現之前，我不可能跟蹤所有這些環，”Caraiani 說。 但是當 Fargues 坐在那里聆聽 Scholze 的演講時，他設想曲線在數學中發揮更大的作用。幾何朗蘭茲綱領從未實現的目標是找到一個幾何對象，該對象可以編碼數論問題的答案。Fargues 認為他的曲線與 Scholze 的p進幾何相結合，可以完全發揮這個作用。大約在學期中期，他把 Scholze 拉到一邊，并分享了他的萌芽計劃。Scholze持懷疑態度。 “他在數學科學研究所（MSRI）喝咖啡休息時向我提到了這個想法，”Scholze 說?！斑@不是一次很長的談話。一開始我覺得這不可能是好事?！?/p> 但是他們進行了更多的對話，Scholze 很快意識到這種方法畢竟可能奏效。12 月 5 日，隨著學期的結束，Fargues在 MSRI 做了一場演講，介紹了幾何朗蘭茲綱領的新愿景。他提出應該可以根據 Scholze 的p進幾何重新定義 Fargues-Fontaine 曲線，然后使用重新定義的對象來證明朗蘭茲對應關系的一個版本。Fargues 的提議是本已激動人心的數學季的最后一次出人意料的轉折。 “這就像本學期的壓軸戲。我記得當時只有震驚，”Ben-Zvi 說。 局部對應 最初的朗蘭茲猜想是關于有理數的伽羅瓦群與自守形式的匹配表示。該p進數有不同數量的系統，且那里有朗蘭茲的版本猜想。（兩者仍然與幾何朗蘭茲綱領分開。）它還涉及一種匹配，盡管在這種情況下，它是在p進數的伽羅瓦群的表示和p進群的表示之間。 雖然它們的對象不同，但兩種猜想的精神是相同的：通過關聯兩種看似無關的對象來研究多項式的解——一種是有理數，另一種是p進數。數學家將有理數的朗蘭茲猜想稱為“全局”朗蘭茲對應，因為有理數包含所有素數，而p進數的版本稱為“局部”朗蘭茲對應，因為p進數系統處理一個素數一次。 在他 12 月在 MSRI 的演講中，Fargues 提議使用 Fargues-Fontaine 曲線的幾何形狀來證明局部朗蘭茲猜想。但因為他和Fontaine為一項完全不同且更有限的任務發展了曲線，他們的定義需要更強大的幾何學，以提供曲線最終需要支持這些擴大計劃的結構和復雜性。 這種情況類似于你如何得到一個獨立于任何特定幾何理論的三邊形，但是如果你將這個形狀與歐幾里得幾何理論結合起來，它就會突然變得更加豐富：你得到三角學，勾股定理和定義明確的對稱概念。它變成了一個完全成熟的三角形。 “Fargues正在接受曲線的想法，并使用 Scholze 開發的強大幾何學來充實這個想法，”Kaletha 說?！斑@使你可以正式說明曲線的美麗特性?！?/p> Fargues的策略后來被稱為“局部朗蘭茲對應的幾何化”。但在他創造它的時候，現有的數學沒有他需要的工具來實現它，新的幾何理論也不是每天都會出現。幸運的是，歷史站在了他的一邊。 “Fargues的猜想是一個大膽的想法，因為 Fargues 需要不存在的幾何。但事實證明，當時 Scholze 正在開發它，”Kaletha 說。
地基建筑 在伯克利共事之后，法格和舒爾茨在接下來的七年中建立了一個幾何理論，使他們能夠以適合他們計劃的形式重建法格-方丹曲線（Fargues-Fontaine curve）。 “在 2014 年，基本情況已經很清楚了，一切應該如何組合在一起。只是一切都完全不明確。沒有任何基礎可以談論這些，”Scholze 說。 這項工作分幾個階段進行。2017 年，Scholze 完成了一篇名為“ étale Cohomology of Diamonds ”（鉆石的étale上同調）的論文，將他在伯克利講座中介紹的許多最重要的想法形式化了。他將那篇論文與他和哥本哈根大學的合著者達斯汀·克勞森( Dustin Clausen)于 2020 年作為系列講座發布的另一項大規模工作結合起來。在 Scholze 的鉆石工作中出現過的一些特定的觀點需要這些材料（全部 352 頁）奠定基礎。 Kaletha 說：“Scholze 不得不提出一個完全不同的理論來解決他 [2017] 論文最后三頁中出現的某些技術問題。 總之，這些論文和其他論文使 Fargues 和 Scholze 能夠設計出一種全新的定義幾何對象的方法。想象一下，你從一個無組織的點集合開始——用 Scholze 的話來說是“一團塵土”——你想以正確的方式將它們粘在一起以組裝你正在尋找的對象。Fargues 和 Scholze 發展的理論為執行該粘合提供了精確的數學方向，并證明最終你將獲得 Fargues-Fontaine 曲線。這一次，它以手頭任務的正確方式定義 - 解決局部的朗蘭茲對應。 “從技術上講，這是我們掌握它的唯一方法，”Scholze 說。“你必須在這種框架中重建很多幾何基礎，這讓我感到非常驚訝，這是可能的?！?/p> 在定義了 Fargues-Fontaine 曲線之后，Fargues 和 Scholze 開始了他們旅程的下一階段：為其配備必要的特征，以證明伽羅瓦群的表示和p進群的表示之間的對應關系。 為了理解這些特征，讓我們首先考慮一個更簡單的幾何對象，比如一個圓。在圓上的每個點，都可以在該點處定位一條與形狀相切的線。每個點都有唯一的切線。你可以將所有這些線收集到一個輔助幾何對象中，稱為切線叢（tangent bundle），它與基礎幾何對象圓相關聯。 在他們的新工作中，Fargues 和 Scholze 對 Fargues-Fontaine 曲線做了類似的事情。但它們不是切平面和切線，而是定義了構造許多更復雜的幾何對象的方法。一個稱為層（sheaves）的示例可以自然地關聯到 Fargues-Fontaine 曲線上的點，就像切線可以關聯到圓上的點一樣。 層（sheaves）在 1950 年代由 亞歷山大·格羅滕迪克（Alexander Grothendieck）首次定義，它們跟蹤底層幾何對象的代數和幾何特征如何相互作用。幾十年來，數學家一直懷疑它們可能是幾何朗蘭茲綱領中最值得關注的對象。 康拉德說：“你可以根據層重新解釋伽羅瓦群的表示理論。” 幾何朗蘭茲規劃有局部版本和整體版本，就像原始版本一樣。關于層的問題與全局幾何綱領有關，Fargues 懷疑這可能與局部朗蘭茲對應有關。問題是數學家不能在正確類型的幾何對象上成功定義正確類型的層?，F在 Fargues 和 Scholze 通過 Fargues-Fontaine 曲線提供了。 開始的結束 具體來說，他們提出了兩種不同的類型：凝聚層（coherent sheaves）對應于p進群的表示，étale 層對應于伽羅瓦群的表示。在他們的新論文中，Fargues 和 Scholze 證明總有一種方法可以將凝聚層與 étale 層相匹配，因此總有一種方法可以將p進群的表示與 伽羅瓦群的表示相匹配。 這樣，他們終于證明了局部朗蘭茲對應的一個方向。但另一個方向仍然是一個懸而未決的問題。 “它給了你一個方向，如何從p進群的表示到伽羅瓦群的表示，但沒有告訴你如何返回，”Scholze 說。 這項工作是迄今為止朗蘭茲綱領取得的最大進展之一——經常與法國格勒諾布爾傅立葉研究所的文森特·拉福格( Vincent Lafforgue)在 2018 年關于朗蘭茲對應的不同方面的工作相提并論。確鑿的證據表明，早期的數學家通過幾何方法嘗試朗蘭茲綱領并不是愚蠢的。 Ben-Zvi 說：“這些事情對人們幾十年來在幾何朗蘭茲所做的工作來說是一個很好的證明?！?/p> 對于整個數學而言，在接受新工作時有一種敬畏和可能性的感覺：敬畏在于Scholze 自研究生院以來在 Fargues-Fontaine 曲線中建立的P-進幾何理論體現的方式；可能性，在于因為這條曲線開啟了朗蘭茲綱領的全新且未探索的維度。 “這真的改變了一切。在過去的五或八年里，它們確實改變了整個領域，” Viehmann 說。 清晰的下一步是確定局部朗蘭茲對應的雙方——以證明這是一條雙向街道，而不是迄今為止 Fargues 和 Scholze 鋪設的單向道路。 除此之外，還有整體朗蘭茲對應本身。沒有明顯的方法可以將 Fargues 和 Scholze 的p進數幾何轉換為有理數的相應構造。但也不可能看著這部新作品，而不好奇是否有辦法。 “這是我非常希望鉆研的一個方向，”Scholze 說。 |
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