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作者：Allison Whitten 2021-8-3 譯者：zzllrr小樂 2021-8-4
20 歲時在決斗中受傷殞命之前，埃瓦里斯特·伽羅瓦（évariste Galois） 發現了多項式方程的隱藏結構。通過研究它們的解之間的關系——而不是解自身——他創造了新的概念，這些概念已經成為許多數學分支的重要組成部分。 沒有人知道為什么伽羅瓦在 1832 年 5 月 30 日清晨發現自己在巴黎的決斗場，但前一天晚上，據說他熬夜完成了他最后的手稿。他在那里寫道： 去了解這些計算的根！將操作分組。根據它們的復雜性而不是它們的外觀對它們進行分類！我相信，這是未來數學家的使命。這是我從事這項工作的道路。 伽羅瓦的詔令是從數學困境中產生的。在 1500 年代，數學家研究了 x2? 2 和 x? ? 10x2+ 22之類的多項式。他們試圖找到簡單的公式來計算這些多項式的根——x 的值使方程等于 0——但是 只有當最高指數不大于 4 時才能找到它們。 除此之外，伽羅華自己證明了這樣的公式不存在。所以他設計了一種研究根的新方法：他意識到他可以研究它們之間的代數關系，而不是精確地計算它們——關注它們的復雜性，而不是它們的外觀。 他的觀點本質類似于考慮形狀的不同對稱性。這些是重新定位形狀以使其看起來仍然相同的各種方法，例如將正方形旋轉 180 度。多項式根之間的對稱性是交換它們的方法，以便它們保持相同的代數關系。 正如某些形狀比其他形狀具有更多對稱性（圓形有無數個；正方形只有八個），你可以更自由地重新排列某些多項式方程的根，而不是其他多項式的根。 “重新排列根的某些方法可能與代數規則不兼容。從這個意義上說，根可能無法完全互換，”斯坦福大學的Brian Conrad（布萊恩·康拉德）說。  在保持代數一致性的同時根可以相互交換的程度是一個微妙的特性，它告訴數學家很多關于如何識別僅通過觀察無法看到的多項式特征。通過示例最容易看到。讓我們看看兩個例子，每個例子都有三個根（因為每個的最高指數是 3）： f(x) = x3 ? 7x + 5 g(x) = x3 ? 7x + 7 在紙面上，它們幾乎相同。但在幕后，一個的根可以比另一個的根以更多的方式重新排列。 讓我們首先關注 f(x)。在這里，我們有三個根：a、b 和 c。我們可以通過對根對的乘積并將它們加在一起，以代數方式組合它們以得到一個新值。對于所有首項（三次項）系數為1的三次多項式（最高指數為 3 的多項式），眾所周知，這個由根構成的特定代數表達式總是等于線性項（即1次冪）的系數。在我們的示例中，這是 -7。 我們得到這個代數方程： ab + ac + bc = ?7 現在讓我們重新排列根，不理會 c，但交換 a 和 b。我們得到： ba + bc + ac = ?7 以這種方式重新排列根可以保留它們之間的代數關系：該等式仍然成立，因為乘法和加法是可交換的，這意味著交換事物的順序——比如將根改組——不會改變答案。事實上，對于這個例子，所有六種可能的重新排列根的方法（包括它們不變的方法）都保留了這種關系： a, b, c: ab + ac + bc = ?7 現在讓我們看看第二個多項式，g(x) = x3 ? 7x + 7。如果我們稱根為 r、s 和 t，那么與 f(x) 的方程類似的方程也成立： rs + rt + st = ?7 這對于首項為 x3 且線性項為 ? 7x 的任何三次多項式都是正確的。同樣，所有六種可能的排列仍然等于 ? 7。但奇怪的是，對于 g(x) ，并非所有這些都被視為多項式的對稱性。 這是因為它的根之間的代數關系更復雜：它的根滿足一個額外的特殊代數關系。特殊關系是 (r ? t)(r ? s)(t ? s) = 7（假設 r 小于 s，并且 s 小于 t）。其根的六種可能重排中只有三種保留了這兩種代數關系： rs + rt + st = 7 且 (r ? t)(r ? s)(t ? s) = 7 r, s, t: (r ? t)(r ? s)(t ? s) = 7 粗體的三個重排保留了根之間的所有代數關系，甚至超出了這兩個關系。因此，這三個重排被認為是多項式的對稱性。 乍一看，這兩個多項式的復雜程度并不明顯，但是當你采用伽羅瓦發明的視角時，它就會變得可見。 伽羅瓦將他的思維方式打包在新對象中——這些對象后來被稱為伽羅瓦群——這些對象對給定多項式的根之間的代數關系的復雜性進行了編碼。在這些關系中，根的重排可以一個接一個地應用，但可以撤消它們以返回到你開始的位置 - 就像你可以應用正方形的對稱性然后撤消它們以返回到你開始的確切位置。
這個想法反映了數學中群的一般概念，它是對稱性的集合，無論它們適用于正方形還是多項式的根。伽羅瓦群是群概念的第一個實例，伽羅瓦的思想發展成為今天強大的、無處不在的研究領域，稱為群論。 伽羅瓦群為研究多項式方程提供了一個強大的視角。如果你知道多項式的伽羅瓦群，那么可以通過借用許多群論工具來理解其根的行為。通過這種方法獲得的見解比通過對多項式本身執行代數獲得的見解更有啟發性。 賓夕法尼亞大學的戴維·哈巴特 (David Harbater) 說：“[使用伽羅瓦群]，你會得到一條信息，它會傳播并告訴你更多信息?！?/p> 例如，伽羅瓦群會立即告訴你一個多項式是否可以求解，并允許你比較不同多項式的底層結構。伽羅瓦群還可以用于研究代數和數論中的各種數學對象，以打開解決其他問題的方法。 “將關于多項式的問題轉化為關于群的問題，為許多其他數學運算和技術打開了大門，這些數學運算和技術無法用多項式的原始語言輕松描述，”康拉德說。 這種廣泛性使得伽羅瓦群在上個世紀左右的許多最著名的數學項目中發揮了核心作用。他們在 Gerd Faltings 1983 年的 Mordell 猜想證明和 Andrew Wiles 1994 年的費馬大定理證明中占有一席之地。 伽羅瓦群也是當今數學中一些最令人興奮的正在進行的工作的核心。正如 量子雜志在最近的一篇專題報道中所解釋的那樣，它們是龐大的朗蘭茲計劃的關鍵，該計劃將關于多項式的問題變成了關于伽羅瓦群與另一類特殊群之間關系的更復雜和具有啟發性的問題。 盡管埃瓦里斯特·伽羅瓦 (évariste Galois) 的生命被縮短了，但他最大的成就將在未來幾個世紀繼續推進數學——盡管很難準確預測是如何發展的。 “[伽羅瓦群] 只是有一種出現在令人驚訝的地方的方式，”威斯康星大學麥迪遜分校的Jose Rodriguez（何塞·羅德里格斯）說。 |
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