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作者：Steve Nadis 2021-8-5 譯者：zzllrr小樂 2021-8-6
如果你對生長在特定地區(qū)的所有植物進行普查，而不是統(tǒng)計每一種植物，你可能會決定按物種組織它們。都靈大學數(shù)學家 Gianluca Paolini 說，在托斯卡納海岸的某些地方這樣做不會太困難，因為你會發(fā)現(xiàn)主要是一種植物——海松（pinus pinaster）。相比之下，如果你在亞馬遜熱帶雨林中，試圖找出在那里扎根的所有物種的名稱和數(shù)量，你將面臨更大的挑戰(zhàn)。完全這樣做很可能是不可能的。 數(shù)學家在試圖理解數(shù)學對象的廣闊景觀時，可能會面臨類似的挑戰(zhàn)。對于描述性集合理論領域的從業(yè)者來說尤其如此，他們試圖對分類問題的難度進行評級——有時會得出結論認為給定的分類任務相對容易執(zhí)行，有時（就像亞馬遜一樣）發(fā)現(xiàn)它太難了。這門學科只是集合論的一個分支，研究對象的集合——它們可以是數(shù)字、圖形、空間中的點、向量，任何東西——稱為集合。實數(shù)、有理數(shù)、虛數(shù)等都是數(shù)學家們常研究的對象的集合。 幾十年來，一個分類問題——涉及一組特定的無限大對象，稱為無扭阿貝爾群（TFAB，Torsion-Free Abelian Groups）——一直困擾著研究人員。這個問題最早是由數(shù)學家 Harvey Friedman 和 Lee Stanley 于 1989 年在一篇論文中提出的，根據(jù) Paolini 的說法，“介紹了一種對可數(shù)結構分類問題難度進行比較的新方法，表明有些事情比其他事情更復雜。” 如今，在今年早些時候在線發(fā)布的一篇論文中，Paolini 和他的前博士后導師、耶路撒冷希伯來大學的 Saharon Shelah 終于解決了有關 TFAB 的問題。 “這無疑是一篇重要的論文，它解決了 30 多年前的一個老問題，”加州理工學院的 Alexander Kechris 說。
都靈大學的 Gianluca Paolini（上）和耶路撒冷希伯來大學的 Saharon Shelah （下）已經回答了幾十年前的問題，即對某些被稱為無扭阿貝爾群的數(shù)學對象進行分類是多么困難。 “[他們的策略顯示]在將復雜問題轉化為更簡單的問題方面具有難以置信的聰明才智，”馬里蘭大學的 Chris Laskowski 補充道，他與 Shelah 合作了大約 12 篇論文（盡管不是這一篇）。“許多人嘗試過但沒有成功。能解決這個問題真是太好了。” 對無窮大計數(shù) 由于 Friedman 和 Stanley 提出的問題涉及一類無限可數(shù)的結構，因此有助于理解數(shù)學家如何處理這些看似笨拙的數(shù)量。首先，結構集合“可數(shù)”意味著什么？自然數(shù) (0, 1, 2, 3 ...) 是無限的，但仍被認為是可數(shù)的，原因與它們有時被稱為計數(shù)數(shù)的原因相同。如果你按順序說出這些數(shù)字，他們幾乎會數(shù)出自己個數(shù)。（當然，你會花上一段時間。）自然數(shù)集合中的元素數(shù)，或者它的“基數(shù)”，被標記為 aleph-0。數(shù)學家認為任何與自然數(shù)的無限集大小相同的集合也是可數(shù)的。 相比之下，實數(shù)——包含了自然數(shù)以及有理數(shù)和無理數(shù)——也是無限的，但它們被歸類為不可數(shù)。主要原因是它們實在是太多了：我們從 1800 年代后期就知道，塞在 0 和 1 之間的實數(shù)比所有自然數(shù)加起來還要多。換句話說，并非所有無窮大都生而平等，有些比其他的要大。實數(shù)集比自然數(shù)具有更大的基數(shù)，因為它們更多。任何可數(shù)的集合要么是有限的，要么是無限的，而如果是無限的，則其基數(shù)為 aleph-0。 那么數(shù)學家可以用這些想法做什么呢？Friedman-Stanley 的論文以及 Paolini 和 Shelah 的新工作重點關注結構之間的等價關系——稱為同構（isomorphism）。例如，讓我們考慮兩個無限但可數(shù)的數(shù)字群： … ?3, ?2, ?1, 0, 1, 2, 3 … 第一組由整數(shù)組成；第二個僅由偶數(shù)組成。這兩組彼此同構，因為它們具有相同數(shù)量的元素，也就是說它們的無窮大是相同的。并且一個群中的每個元素都對應于——或者，正如數(shù)學家所用的術語，“映射到”——另一群中的一個元素。此外，用于從一個群映射到另一個群的函數(shù)還必須保留群的運算和屬性（例如加法結合律）。 什么是同構（isomorphism）? 盡管某些數(shù)學結構是本性是無窮的，仍能夠研究它們，并與其他對象比較，判斷是否同構或粗略認為相等。 例1：數(shù)字集合 整數(shù)集合與偶數(shù)集合同構。一個集合的元素與另一個集合的元素一一對應。兩個集合有相同多的無窮大數(shù)量。
例2：圖 同構圖的頂點之間一一對應。且一個圖中的兩個頂點通過一條邊相連，則另一個圖中，相應兩個頂點也被一條邊連接。
像這樣的同構群并不等同，因為它們沒有相同的元素，但它們確實具有平行結構：一個群中的每個元素都與另一個群中的單個元素直接對應。函數(shù)可以將第一個結構轉換為第二個結構，如上例所示，只需將第一個結構的每個元素乘以 2。同構結構具有 Paolini 所說的“相同形狀”（如果不是內容完全相同）。 “說兩個結構是同構的意味著它們本質上是相同的，”Laskowski 說。“你可以有一個紅色的或一個藍色的，但從深層次而言，它們是一樣的。” 這種同構的概念是這個幾十年前問題的核心。 復雜程度有多復雜？ 在他們 1989 年的論文中， 弗里德曼（Friedman）和斯坦利（Stanley）主要想知道一件事：給定一個可數(shù)結構族——無論它們是否數(shù)字無限群（如上面提到的整數(shù)）還是圖（可以通過邊連接的各種各樣的頂點）——找出該族中的對象是否彼此同構有多難？ 弗里德曼和斯坦利舉出的一個案例涉及一系列圖，每個圖都有無限（盡管可數(shù)）的頂點數(shù)。對于要標記為同構的兩個可數(shù)圖，一個圖中的頂點和另一個圖中的頂點之間必須再次存在一對一的對應關系。如果一個圖中的兩個頂點由一條邊連接，則另一個圖中相應的頂點也必須由一條邊連接。 弗里德曼和斯坦利表明，回答兩個可數(shù)圖是否同構的問題是極其復雜的——極可能地困難。這使所有可數(shù)圖的族都成為“Borel 完備的”。（兩人在 1989 年的論文中創(chuàng)造了這個術語，因為他們依賴于由數(shù)學家émile Borel（埃米爾·博雷爾）設計的所謂的博雷爾函數(shù)。） 弗里德曼和斯坦利接著想知道：還有哪些類別的可數(shù)對象是 Borel 完備的？拉斯科夫斯基說，這個簡單的問題“是描述性集合論的核心主題之一。” 從那以后的幾年里，弗里德曼、斯坦利和其他人已經確定了幾類滿足 Borel 完備性標準的數(shù)學對象，包括樹——一種簡化的圖——和線序，一組數(shù)字（自然或實數(shù)），字面上是順序排列，就像數(shù)軸上的數(shù)字一樣。 但在 1989 年的論文中考慮的許多不同情況中，只有一個——關于上述無扭阿貝爾群——拒絕通過同構進行分類。為了一步一步地描述這個令人生畏的術語，TFAB 群從根本上說是數(shù)字的群。每個 TFAB 由遵循某些群規(guī)則的實數(shù)的可數(shù)子集組成，例如在加減下封閉（因此對于該群中的任何數(shù)字 p 和 q，p + q 和 p - q 也出現(xiàn)在群中）。它還遵守交換律（意味著 p + q = q + p），這是阿貝爾群的標志。最后，術語無扭轉（torsion-free）意味著如果 g 是群中的非零元素，則 g + g 永遠不能等于零，g + g + g 也不能，g + g + g +g 也不能，依此類推。 Shelah 說，30 年來，數(shù)學家一直想知道：“如果我們有兩個 [可數(shù)] 無扭阿貝爾群，我們問它們是否同構，這是一個簡單的問題，一個中等難度問題還是最難的問題？” Kechris 說，在 Friedman-Stanley 論文中提出的所有問題中，這個問題解決的時間最長。“所以說它最具挑戰(zhàn)性是合理的。”在它產生效果之前需要一種新的方法。 Shelah 和 Paolini 終于在今年早些時候找到了突破的方法。 跨結構轉換 他們通過使用經典數(shù)學家的技巧做到了這一點：將一個頑固的問題簡化為一個更易于駕馭的問題。如果他們能夠證明 TFAB 與另一個已知的 Borel 完備結構族（例如可數(shù)圖族）一樣復雜，那么將證明 TFAB 也是如此。“如果你想知道一個人是否是世界上最高的人，有什么聰明的方法呢？”Paolini問道。“與其和地球上的每個人都核對，不如去找被認為最高的人，看看誰更高。” Shelah 解釋說，在決定使用可數(shù)圖作為衡量標準后，他們面臨著關鍵的下一步：創(chuàng)建一個函數(shù)（具體來說是一種 Borel 函數(shù)），它可以“將一個圖轉換成一個無扭阿貝爾群”。他們的函數(shù)需要接受一個圖作為它的輸入并產生一個 TFAB 作為它的輸出，在這個過程中將信息從圖傳遞到群。更具體地說，函數(shù) f 必須滿足以下關系：兩個可數(shù)圖 G 和 H 彼此同構當且僅當 f(G) 和 f(H) 是可數(shù)的 TFAB，它們也彼此同構。 這項任務并不容易，因為他們沒有可用的“技術”來連接如此不同的數(shù)學對象。他們不得不為這個問題發(fā)明它。 “整個游戲歸結為構建這個函數(shù)，”Laskowski 說。“這就像比較蘋果和橙子。圖和群沒有相同的詞匯。因此，在這種情況下，你所做的就是創(chuàng)建對應。” 再說一次，他們真的是在比較無限群的蘋果和無限群的橙子。幸運的是，Shelah 說，他們找到了一種簡化事情的方法。“你可以[使用]一個通用的圖而不是處理所有的圖”——一個非常龐大的圖，它的子圖，其中包含較小的圖，包括所有可能的可數(shù)圖。 兩個TFAB是同構的嗎？ 問題：判定兩個無扭阿貝爾群（TFAB）是否同構的困難程度如何？
策略：將TFAB與另一結構比較，例如可數(shù)圖（其同構性我們已經知道極其困難）
解：因為數(shù)學家已經知道可數(shù)圖族同構性極其復雜，那么可數(shù)TFAB族也必有這種困難性。 Laskowski 說，這是一個令人印象深刻的策略。“我不會直接嘗試解決這個問題，這會涉及大量的圖和群，我只會選擇這個母可數(shù)圖，每個可數(shù)圖都出現(xiàn)在它的保護傘下。” 通過這種方式，Paolini 和 Shelah 能夠構建必要的函數(shù)，從而證明圖和 TFAB 處于一種平等的地位。“我們找到了一種將無扭阿貝爾群與圖相關聯(lián)的方法，以便保留同構，”Paolini 說。 并且由于數(shù)學家已經知道可數(shù)圖族是 Borel 完備的——也就是說，在同構方面是最復雜的——這意味著可數(shù) TFAB 族也必須是 Borel 完備的。他們終于有了答案。 新叢林探索 這個結果會導致更普遍的事情嗎？“這還有待觀察，”Kechris 說，“但很有可能。” 事實上，Paolini 和 Shelah 已經在考慮推廣他們的結果。Shelah 說，在解決了可數(shù) TFAB 的情況后，他們現(xiàn)在正在研究更大的不可數(shù) TFAB 群，它們“可能有不同的答案”。 有理由認為他們可能會發(fā)現(xiàn)。“Shelah 有一個理論，”Laskowski 說，“當你將某些問題推到更高的基數(shù)時，某些問題會變得更容易”——更高的無窮級——因為當數(shù)字變得非常大時，重要數(shù)字之間的距離會增加，比如質數(shù)和整數(shù)的平方。結果，Shelah 告訴 Laskowski，“空氣變得更清新”，這可能使數(shù)學家更容易看清事物。 與此同時，他們關于可數(shù) TFAB 的論文已經具有一些直接的實際意義。“我們現(xiàn)在知道你的能力受到限制，”Shelah 說。例如，你永遠找不到這個群族的區(qū)別屬性（稱為不變量），它會自動告訴你兩個 TFAB 是否同構。這是可數(shù) TFAB 集合 “我們證明根本沒有簡單的方法來確定 [同構]，”Paolini 說。“沒有回旋的余地。極可能地困難。” 這是有用的知識，因為尋找不變量是數(shù)學家的主要關注點。“這有點像說人們不應該花很多時間來嘗試發(fā)明永動機，”Shelah 說，“鑒于我們現(xiàn)在知道這樣的機器無法制造。” 展望未來，數(shù)學家可能會發(fā)現(xiàn)其他類別的無限可數(shù)結構，例如圖和 TFAB，它們在確定同構時最為復雜。同樣，Paolini 說，“可以想象，我們可以在地球上找到其他像亞馬遜一樣復雜的叢林。” 但在這個類比中當然沒有比這更復雜的了。 僅僅知道這個事實，并且知道 TFAB 極可能地復雜，就可以將分類學家和描述性集合理論家關心的圖景進行簡化或去復雜化。 |
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