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原標題：數學家清除解碼質數任務中的障礙 作者：Kevin Hartnett 2022-1-13 譯者：zzllrr小樂 2022-2-1 自從黎曼（Bernhard Riemann） 提出關于素數分布的開創性問題以來，已經過去了 162 年。盡管他們盡了最大的努力，但數學家在黎曼假設上取得的進展卻很小。但他們已設法在更簡單的相關問題上取得進展。 在 9 月發表的一篇論文中，高級研究所的保羅·納爾遜解決了一個次凸性問題的版本，這是黎曼問題的一種輕量級版本。該證明本身就是一項重大成就，并引發了與質數相關的更大發現的可能性。 “這是一個有點牽強的夢想，但你可以非常樂觀地希望，也許我們可以通過研究這樣的問題來了解[黎曼假設]是如何工作的，”尼爾森說。
黎曼假設和次凸性問題很重要，因為素數是數學中最基本的——也是最神秘的——對象。當您將它們繪制在數軸上時，它們的分布方式似乎沒有規律。但在 1859 年，黎曼設計了一個名為黎曼 zeta 函數的對象——一種無限和——它推動了一種革命性的方法，如果證明有效，它將解開素數的隱藏結構。 “這證明了幾年前會被視為科幻小說的結果，”波恩大學的 Valentin Blomer 說。 到達復數（Getting Complex） 黎曼的問題取決于黎曼 zeta 函數。加在一起的每一項是整數的倒數，其中分母是由變量 s 定義的冪（即 1/1?、1/2?、1/3? 等等）。 黎曼提出，如果數學家能夠證明這個函數的一個基本性質——它等于零需要什么——他們將能夠非常準確地估計在數軸上的任何給定區間上有多少質數。 在黎曼之前，萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）構造了一個類似的函數，并用它來創建一個新的證明，證明存在無限多個素數。在歐拉函數中，分母的冪是實數。相比之下，黎曼 zeta 函數將復數分配給變量 s，這一創新將復分析中的全部大量技術帶到了數論中的問題上。 復數有兩部分，一個實數和一個虛數，后者與虛數 i 有關，定義為 -1 的平方根。示例包括 3 + 4i 和 2 - 6i。在這些情況下，3 和 2 是實部，而 4 和 -6 是虛部。
黎曼假設是關于哪些 s 值使黎曼 zeta 函數等于零。它預測 s 的唯一重要的或非平凡的值是實部等于 1/2 的復數。（只要 s 是一個虛部等于 0 的負偶整數，該函數也等于 0，但那些零是很容易看到并且被認為是微不足道的。）如果黎曼假設是正確的，黎曼 zeta 函數解釋了素數是如何分布在數軸上的。 自從黎曼提出它以來的幾年里，黎曼假設已經在數學上引發了許多進步，盡管數學家在這個問題本身上幾乎沒有取得什么進展。考慮到這種相對無用的情況，他們有時會將注意力轉移到與黎曼難解之謎相近的稍微簡單的問題上。 微乎其微（ Next to Nothing） Paul Nelson 解決的問題比黎曼假設少了兩個步驟。每一步都需要一點解釋。 第一個是林德洛夫假說( Lindel?f hypothesis）。黎曼假設說，當 s 的實部等于 1/2 時，黎曼 zeta 函數的唯一非平凡零點出現，而林德洛夫假設只是說，在這種情況下，黎曼 zeta 函數的輸出在某種精確意義上很小。 對于 Riemann 和 Lindel?f 假設，s 的實部固定為 1/2，但虛部可以是您喜歡的任何數字：2、537、1/2。定義“小”的一種方法是比較 輸入（ s ）和輸出中的位數。 數學家可以很容易地確定輸出的位數永遠不會超過輸入的 25%。這意味著它隨著輸入的增長而增長，但不會不成比例地增長。這 25% 稱為平凡界限。但是林德洛夫假設說，隨著輸入變大，輸出的大小實際上總是限制在輸入數字的 1% 上。 一個多世紀以來，數學家一直致力于縮小平凡界限（25%）和推測界限（1%）之間的差距。他們進行了十多次改進，最近一次是在 2017 年，當時 Jean Bourgain 證明，對于實部 1/2 的 s 值，黎曼 zeta 函數的輸出大小約為輸入大小的 15%。因此，如果輸入是 1,000,000 位數字，則輸出不會超過 150,000 位。這與證明林德洛夫假設相去甚遠，更不用說黎曼的問題了，但它確實是。 “150 年來，我們在黎曼假設上沒有取得任何進展，而這是一個我們可以逐步取得進展的問題，”尼爾森說。“有一種方法可以讓你得分。” 林德洛夫假設只是適合得分的黎曼鄰近問題的一個例子。在他的新工作中，尼爾森解決了另一個與黎曼的問題相距甚遠的問題。 函數族（ Families of Functions） 黎曼 zeta 函數是一大類數學對象 L 函數中最著名的成員，它對許多不同的算術關系進行編碼。通過修改黎曼 zeta 函數的定義，數學家可以構建其他 L 函數，以提供關于素數的更精細信息。例如，一些 L 函數的性質度量了有多少小于某個值的素數具有給定數字作為它們的最后一位。 由于這種多功能性，L 函數是深入研究的對象，它們是被稱為朗蘭茲計劃的龐大研究愿景的核心參與者。目前，數學家仍然缺乏一個完整的理論來解釋它們是什么。 “這些東西有一些很大的動物園，對于它們中的大多數，我們根本無法證明任何事情，”尼爾森說。 該理論的一部分涉及林德洛夫假設的推廣，該假設預測只要復數輸入的實部等于 1/2，輸出相對于所有 L 函數（不僅僅是黎曼 zeta 函數）的輸入保持較小。 雖然數學家已經削弱了林德洛夫假設，但他們只在所謂的次凸問題上取得了零星的進展。解決這個問題就等于打破了平凡的界限——也就是說，證明對于任何 L 函數，輸出的位數都少于輸入的 25%（乘以一個稱為 L 函數度數的量） ）。以前，數學家只對少數幾個特定的 L 函數族（包括黎曼 zeta 函數）做到了這一點，并且遠未達到普遍的結果。 但在 1990 年代，當數學家認識到僅僅打破一般 L 函數的微不足道的界限可能會導致在不同問題上取得進展時，這種情況開始發生變化，包括稱為算術量子混沌的研究領域中的問題以及關于哪些整數可以寫的問題 作為三個平方的和。 瑞士蘇黎世聯邦理工學院的 Emmanuel Kowalski 說：“人們在過去 20 到 30 年意識到，只要能夠證明這種關于次凸性的技術性陳述”，所有這些問題都可以解決。 納爾遜是最終做到這一點的數學家，經過二十年的工作幫助他學會了如何想象它。 視角轉變（A Shift in Perspective） 在 2000 年代初期，兩支數學家團隊——一支是 Joseph Bernstein 和 Andre Reznikov，另一支是 Philippe Michel 和 Akshay Venkatesh——改變了數學家估計 L 函數的方式。他們沒有僅僅用算術術語來看待它們，而是創建了一種幾何方式來考慮其輸出的大小。這項工作幫助文卡特什在 2018 年贏得了數學界的最高榮譽菲爾茲獎。 在這張修改后的圖片中，L 函數的大小與稱為周期的積分的大小相關聯，周期可以通過沿幾何空間對稱為自守形式的函數積分來計算。這為數學家提供了更多工具，他們可以用來嘗試打破瑣碎的界限。 “你可以使用更多的技術，”瑞士洛桑聯邦理工學院的米歇爾說。 Nelson 和 Venkatesh 在 2018 年合作發表了一篇論文，該論文確定了哪些自守形式最適合做出回答亞凸問題所需的各種大小估計。在接下來的幾年里，尼爾森又發表了兩篇關于這個主題的個人論文——第一篇在 2020 年，第二篇在去年 9 月——共同解決了這個問題。 Nelson 證明了每個 L 函數都滿足一個子凸界，這意味著它的輸出小于其輸入大小的 25%。他只差一點就打破了界限——大多數 L 函數的準確率都低于 25%——但有時這就是從一個世界穿越到另一個世界所需的全部內容。 “他打破了瑣碎的束縛，我們對此非常滿意。這真的是破壞事物，”米歇爾說。 現在，數學家們將推進他們的次凸邊界以面對其他問題，甚至有一天可能包括黎曼假設。現在這似乎有些牽強，但數學在希望中茁壯成長，至少，尼爾森的新證明提供了這一點。 |
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