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作者：Steve Nadis 2022-2-8 譯者：zzllrr小樂 2022-2-9 三位數學家首次展示了化圓為方：如何通過將正方形切割成可視化的可互換部分來形成面積與圓形相同的正方形。  大約在公元前 450 年，克拉佐梅奈的阿納克薩哥拉斯（Anaxagoras） 花時間思考。這位希臘數學家因聲稱“太陽不是神，而是像伯羅奔尼撒半島一樣大的熾熱巖石”而入獄。一位相信“理性統治世界”的哲學家，他在監禁期間研究了一個現在著名的數學問題，即化圓為方：使用圓規和直尺，你能得出一個與給定圓相等面積的正方形嗎？
Clazomenae 的希臘數學家 Anaxagoras，在此顯示為紐倫堡編年史中的一位中世紀學者，是第一個寫到“化圓為方”的人——這是一個看似困難的問題。 令人驚訝的是，數學家仍在研究這個問題。他們正在取得進展。上周，華威大學的 Andras Máthé 和 Oleg Pikhurko 以及維多利亞大學的 Jonathan Noel 在網上發表的一篇論文是最新加入這一古老傳統的人。作者展示了如何通過將圓切割成可以可視化和可能繪制的小塊來使其成為正方形。這是建立在豐富歷史基礎上的結果。 Anaxagoras 提出的確切問題在 1882 年得到了回答，當時德國數學家林德曼（Ferdinand von Lindemann）證明用經典工具不可能化圓為方。他證明了 π——半徑為 1 的圓的面積——是一種特殊的數字，被歸類為超越數（這個類別還包括歐拉數，e）。因為之前的結果表明，不可能用圓規和直尺來構造一個等于超越數的長度，所以也不可能用這種方法來化圓為方。 這可能是故事的結局，但在 1925 年，阿爾弗雷德·塔斯基通過調整規則重新處理這個問題。他問是否可以通過將一個圓切成有限數量的小塊來完成這項任務，這些小塊可以在平面內移動并重新組裝成一個面積相等的正方形——這種方法稱為等分解（equidecomposition）。 換句話說，如果兩個對象可以分解成大小和形狀相同的部分，或者更準確地說，“如果你可以將它們分成有限的多個部分，使得相應的部分彼此一致，”那么兩個對象是等分的，”Pikhurko說。 1964 年的一篇論文首次在塔斯基的問題版本上取得了實質性進展。作者表明，用剪刀無法完成等分解。如果可能的話，這項任務將需要更復雜的分形碎片，布滿孔洞和錯綜復雜的鋸齒狀邊緣。 直到 1990 年，Miklós Laczkovich 以響亮的肯定回答了塔斯基的問題：圓形可以重新配置為方形。 為了可視化 Laczkovich 的成就，想象一個圓形和正方形并排在頁面上。他證明，如果將圓形劃分為最多 10?? 塊，所有這些塊都復雜且形狀不尋常，那么這些塊可以被移動——甚至不需要旋轉——直到它們完全填滿正方形。 但是為了達到這個結果，Laczkovich 沒有使用形狀。相反，他將幾何問題轉化為圖論問題。他拍攝了一張帶有兩組不同頂點的大圖——一組對應于圓形，另一組對應于正方形——然后在一組頂點與另一組頂點之間建立了一一對應關系。 Macalester 學院的數學家 Stan Wagon 將結果描述為“令人瞠目結舌”。Laczkovich 展示了如何“取一個圓形空間并使其變直”。 然而，有一個問題。Laczkovich 的證明是存在性證明，數學家稱之為“非構造性的”。他證明了這是可以做到的，但他不能說如何構建這些作品，也不能以任何方式描述它們。更糟糕的是，這些碎片是“不可測量的”，這意味著無法確定它們的面積。
經過幾個世紀的努力——這些圖表可以追溯到 16 世紀和 17 世紀——費迪南德·馮·林德曼證明了僅使用圓規和直尺不可能將等面積的正方形與給定的圓畫出。但如果我們不需要這些工具，問題就會重新煥發生機。 中殿圖書館/科學資源 幾十年后，在 ?ukasz Grabowski、Máthé 和 Pikhurko 于 2016 年 1 月發表的一篇論文中，又邁出了一大步。與 Laczkovich 的不同，他們的證明幾乎是完全構造性的，這意味著這些部分大多是明確定義的。但同樣有一個問題：圓中定義明確的部分不會填滿整個正方形。仍然需要額外的部分來覆蓋正方形的一小部分。這部分非常小，沒有面積，數學家將其稱為“零測度集”。 “（正方形中）幾乎所有的空白都被搞好了，”加州大學洛杉磯分校的數學家安德魯馬克斯說。他說，你甚至不能畫出丟失的部分，因為這組看起來是不可見的。 馬克斯說，盡管有這些必要的額外部分，但結果是向前邁出了一大步。“他們找到了一種方法來使化圓為方幾乎在任何地方（除了一組測量零之外）都有效。” Marks 和現在在多倫多大學的 Spencer Unger 一年后取得了重大進展，提供了第一個完全構造性的化圓為方證明——一個在任何地方都有效的證明，無一例外。他們的論文完整地描述了化圓為方所需的所有部分。“他們的作品更好，”Máthé 說。“他們沒有這種丑陋的零區域。” 也就是說，他們的證明涉及更多的碎片——大約 102??個——而且這些碎片仍然相當復雜。“我們論文的缺點，”馬克斯說，“即使這些片段是從數學的角度明確定義的，也很難將它們可視化。” 這留下了一些改進的空間，這是 Máthé、Noel 和 Pikhurko 所提供的。他們的碎片個數仍約為 102??，形狀更簡單，更容易讓數學家可視化。 “這里最大的飛躍是，你無法以容易看到的方式繪制斯賓塞和我的作品，但有了這些作品，你可以，”馬克斯說。 但這不是故事的結局。加州理工學院的數學家亞歷山大·凱克里斯說，這個問題“還有更多的數學要做”。“這是一個過程。” Pikhurko 已經有了進一步簡化這些部件的想法，減少它們的總數并減少它們的不均勻性。Marks 做過的計算機實驗表明——但沒有證明——等式分解可以用 22 塊來完成。他認為最低數字可能會更低。 “我敢打賭一杯啤酒：你可以用不到 20 塊來化圓為方，”他說。“但我不會賭 1000 美元。” |
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