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著名的納維-斯托克斯（Navier-Stokes）方程可能導致出現多個結果的情況，但僅限于極少數情況。 一個渦環（vortex ring）被用來證明新的結果。 作者：Leila Sloman 2022-5-2 譯者：zzllrr小樂 2022-5-2 近兩個世紀以來，各種對流體如何流動感興趣的研究人員都轉向了納維-斯托克斯方程。但是數學家仍然對它們存有基本的疑問。其中最重要的是：方程與現實的吻合程度如何？ 即將出現在《數學年鑒》上的一篇新論文削弱了這個問題，證明了曾經有希望的一類解可以包含違反物理學的矛盾。這一進展是朝著理解納維-斯托克斯與物理世界之間的差異邁出的又一步——這是數學最著名的開放問題之一的謎題。 “這非常令人印象深刻，”巴黎高等師范學院和巴黎城市大學的數學家Isabelle Gallagher說。“我的意思是，這是你第一次真正擁有 [這些] 不是獨一無二的解。” 流體本質上難以描述，因為它們的組成分子不會作為一個整體移動。考慮到這一點，納維-斯托克斯方程使用“速度場”（velocity fields）來描述流體，該“速度場”指定三維空間中每個點的速度和方向。這些方程描述了起始速度場如何隨時間演變。 數學家想要回答的大問題：對于任意遙遠未來的任何起始速度場，納維-斯托克斯方程是否總是有效？這個問題被認為非常重要，以至于克萊數學研究所將其作為他們著名的千禧年獎問題之一的主題，每個千禧年問題都有 100 萬美元的獎金。 特別地，數學家想知道一個開始是光滑的解 - 這意味著它的速度場不會從一個附近的點突然變化到另一個 - 是否會始終保持光滑。一段時間后，可能會出現代表無限速度的尖銳尖峰。這種被數學家稱為爆破（blow-up）的結果會偏離現實生活中流體的行為。要獲得 100 萬美元的獎金，數學家必須要么證明爆破永遠不會發生，要么找到它發生的例子。 即使方程可以爆破，也許不是所有的都丟失了。第二個問題是，爆破的流體是否會始終以明確的、可預測的方式流動。更準確地說：無論初始條件如何，納維-斯托克斯方程是否只有一個解？ 這種被稱為獨特性的特征是普林斯頓高等研究院（IAS）的Dallas Albritton和Elia Bruè以及瑞士洛桑聯邦理工學院的Maria Colombo的新論文的主題。 非量子世界以這種方式運作。物理定律決定了一個系統如何從一個時刻進化到下一個時刻，沒有瞎猜或隨機性的余地。如果 納維-斯托克斯方程真的可以描述現實生活中的流體，那么它們的解應該遵循相同的規則。“如果你沒有獨特性，那么這個模型[可能] 是不完整的，”明尼蘇達大學教授、Albritton 的博士生導師Vladimír ?verák說。“根本不可能像人們想象的那樣用納維-斯托克斯方程來描述流體。” 1934 年，數學家讓·勒雷（Jean Leray）發現了一類新穎的解。這些解可能會爆破，但只是一點點。（從技術上講，部分速度場變得無限，但流體的總能量仍然是有限的。）Leray 能夠證明他的非光滑解可以無限期地繼續下去。如果這些解也是獨一無二的，那么它們可以幫助理解爆破后會發生什么。 然而，這篇新論文有令人沮喪的消息。這三位作者表明，一個 Leray 起點可以與兩個截然不同的結果一致，這意味著他們與現實的聯系比研究人員希望的要弱。 數學家懷疑這與 Leray 解有關，并且在過去幾年中，證據不斷積累。紐約大學庫朗研究所教授Vlad Vicol說，新結果“在某種程度上是最重要的” 。 Albritton、Bruè 和 Colombo 在 2020 年秋季加入 IAS（普林斯頓高等研究院） 的一個研究小組時進入了這個領域。該小組的目的是閱讀數學家Misha Vishik于 2018 年在網上發布的兩篇 論文。雖然最受歡迎的答案是關于三維空間中的納維-斯托克斯方程，但也存在二維版本的方程。Vishik 已經證明，非唯一性出現在這些二維方程的修改版本中。 然而，在Vishik發表論文兩年后，他的工作細節仍然難以理解。七人研究小組定期大約六個月開一次會，以研究論文。“我們所有人都做出了貢獻，我們能夠看到發生了什么，”Albritton 說。 Vishik 的證明使用了外力。在現實世界中，力可能是由于飛濺、風或其他任何能夠改變流體軌跡的因素。但Vishik的力是一種數學結構。它并不光滑，也不代表任何特定的物理過程。 有了這種力，Vishik 能夠找到二維方程的兩個不同解。他的解基于漩渦狀流動。 “它本質上是創造一種流體流動，讓你四處旋轉，”Albritton 說。 Albritton和Colombo——后來 Bruè加入——意識到他們也可以使用Vishik的漩渦作為三維的兩種不同解的基礎。 “該策略實際上非常具有創新性，”Vicol 說，Albritton 在紐約大學做博士后研究期間他為 Albritton 提供了建議。 為了證明非唯一性，三位作者為三維方程構建了一個環形的“渦環”（vortex ring）解。起初，它們的流體完全靜止，但有一種力推動它運動。這股力，和Vishik的一樣，不是光滑的，保證了渦環也不會光滑。當流體獲得動量時，它會沿著渦流流動，在圓環孔中盤旋，然后在外面回流。 然后作者表明，這種渦環解可以退化為不同的解。 效果就像是把石頭扔進湖里。通常，你會看到一些波在短時間內消散。這些波在 納維-斯托克斯方程中顯示為添加到速度場的“擾動”。你可以通過或多或少地輕輕地放下石頭來處理這種擾動的大小。如果你從靠近水面的位置非常小心地放下它，它可能幾乎不會影響到湖面。 但是，如果你在 Albritton、Bruè 和 Colombo 創造的水流中投入一塊石頭，擾動就永遠不會消失。即使你將石頭從零高度落下，那微乎其微的干擾也會發展成更可怕的東西。這從相同的初始條件創建了第二個不同的解。 “你有一個解，制造一個無限小的干擾，而不是制造一個有限的干擾，”Albritton 說。“然后，解立即被分崩離析。” 新論文并未明確說明 Leray 解是否獨一無二。它的結論依賴于一種專門為使非唯一性發生而設計的外力。數學家更愿意完全避免添加力，并證明某些初始條件會導致非唯一性，而不受任何外部影響。這個問題現在也許離答案更近了。 |
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