|
朗蘭茲綱領（Langlands Program ）為數學的各個領域提供了一套精美錯綜復雜的連接，為老問題的新解決方案指明了道路。 作者：數學家Alex Kontorovich 2022-6-2 譯者：zzllrr小樂 2022-6-2 亞歷克斯·康托羅維奇（Alex Kontorovich）是羅格斯大學（Rutgers University）的數學教授，也是紐約市國家數學博物館（National Museum of Math）2020-21年度數學公開傳播杰出客座教授。他是美國國家科學院的Kavli研究員，美國數學學會的會員，以及美國數學會2014年Levi L. Conant獎的獲得者。他還擔任《實驗數學》雜志的主編。 不久前，我被要求在一條推文中解釋所謂的朗蘭茲綱領。我立刻想到，這不可能。它是數學領域最大，最全面的項目之一，能夠連接遙遠的研究領域，自然極難描述。 但后來我想起了一個故事，一個學生要求偉大的塔木德圣人大希勒爾（猶太教）單腳立地站著解釋整本圣經《妥拉》。得到的回答說：“你自己不喜歡的，不要強加給你的鄰居（己所不欲，勿施于人），這就是全部的圣經，余下的全是評注?！碑斎唬憧梢栽谑ソ浿姓业奖冗@更多的智慧，可以花一輩子的時間研究這些評注。但對大希勒爾來說，這就是啟動這一切的核心。朗蘭茲有類似物嗎？我不是希勒爾，但盡我所能如下： 考慮函數（如圖）：
如果你還不認出這些分母，它們其實就是奇數的階乘。階乘是小于或等于給定數字的所有正整數的乘積，由感嘆號表示。例如，3! = 1 × 2 × 3 = 6 和 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120。 希望現在的模式是明確的：要獲得序列中的下一個多項式，只需添加或減去（以交替方式）x的下一個奇數冪，然后除以該冪的階乘。請注意，與任何多項式一樣，當 x 變為正無窮大或負無窮大（分別向右或向左）時，函數要么爆炸到（正）無窮大，要么跳到負無窮大。但盡管如此，在原點周圍的某些區域，函數的行為開始穩定下來。它很快變成一條有規律的擺動曲線，似乎在?1和1之間。
當我們把這個函數序列引到它的邏輯結論，忽略關于這實際上是否可以完成（事實上是可以的）的各種重要問題時，我們得到無窮級數
事實證明，這是寫三角學中的簡單正弦函數的另一種方法。而正弦函數（sine function）也可以理解為粘貼到一個旋轉圓的邊緣的一個點的高度，它隨著時間的推移上下起伏。至關重要的是，如果將圓旋轉2π弧度（一次完整的旋轉），那么這個圓將再次開始相同的擺動。這意味著正弦函數和上面的無窮級數具有特殊的對稱性：如果將輸入改變2π，則該函數就會重復。即 對于所有x，有F∞(x+2π)=F∞(x) 如果這對你來說不是一個壯觀的奇跡，那么你沒有仔細觀察。所有這些多項式的系數僅由奇數階乘分母及其交替符號組成。誰邀請了2π參加派對？我們看到的第一個多項式都沒有這種平移對稱性 - 它只出現在無窮大處。我們將看到，這種在極限中出人意料的對稱性的出現是支撐朗蘭茲綱領的關鍵見解。 正弦函數是我們數學家更普遍地稱之為自守函數（automorphic function）的基本例子：當我們通過某個過程（本例中，滑動2π）改變（變形）變量時，函數會變回自身（因此是“自動”形態）。
今天我們知道許多技術可以揭示這個無窮級數的自同構。例如，我們可以從正弦函數本身開始，而不是從所有這些多項式開始。然后，它在平移下的不變性是重言式的，遵循基本定義，我們只需要將正弦函數連接到多項式序列。后者是一個稱為泰勒級數展開的一般過程，在正弦函數的情況下，它給出了上面討論的多項式。（即使沒有任何對正弦函數的引用，也可以使用導數來證明這種自守，導數是一種測量函數局部變化程度的方法）。 那么什么是朗蘭茲綱領呢？它預測由某些（無限）序列定義的對象，所具有的“額外”的不明顯的對稱性（即自守）。這是盡我所能的解釋了（單腳立地，像大希勒爾那樣）！ 現在，正如本文隨附的視頻所討論的那樣（https:///_bJeKUosqoY），數學家們不僅僅是對證明這些對稱性感興趣（盡管這肯定已經足夠了），因為大多數數學家認為它們美麗而重要。這些對稱性具有令人難以置信的結果，以及用于其他數學問題的應用，例如費馬大定理（FLT）的完整解決。 以下是這些對稱性如何幫助解決另一組被稱為拉馬努金猜想的問題，這些問題在最一般的形式下至今仍未解決。 拉馬努金猜想說了一些非常粗略的東西，就像下面這樣。如果你有一個由某個系數序列給出的自守函數，如下所示： G(x)=a?+a?x+a?x2+a?x3+… 那么所有的系數——所有的a——都以1為界（絕對值不超過1），這意味著它們的值都在?1和1之間。 不過，我們也無法證明這一點。我們能做的最好的事情就是將這些系數限制在10（以內），這是一個相當弱的信息，而且似乎幾乎毫無用處。 但這就是朗蘭茲的用武之地。如果綱領的一個猜想部分，稱為函子性（functoriality），是正確的（正如數學家所懷疑的那樣），那么我們可以完全證明拉馬努金猜想。函子性聲稱我們可以從G（x）中產生新的自守函數，只需將所有系數提高到任何固定的整數冪。（實際上，這個過程要復雜得多，但讓我們繼續得到這個想法。）因此，給定 G（x） 是自守的，函子性猜想函數 G?(x)=a?2+a?2x+a?2x2+a?2x3+… 也應該是自同構的。由于這個看似無用的結果，我們可以證明任何自同構函數的系數都是以10為界的，我們現在可以證明G?的系數- 即G系數的平方 - 也以10為界。如果G系數的平方以10為界，則系數本身以10的平方根為界，約為3.16。多虧了朗蘭茲提供的聯系，我們大大提高了對邊界的了解！ 但函子性并不止于此。它還預測系數是 G 系數立方的函數也是自守的： G?(x)=a?3+a?3x+a?3x2+a?3x3+… 如果為真，則G的系數實際上以10的立方根（約2.15）為界，而不僅僅是其平方根。對于所有這些“函子提升”，依此類推： Gk(x)=a??+a??x+a??x2+a??x3+… 現在你看到拉馬努金猜想怎么處理了吧？對于一個巨大的數 k，10 的k次方根越來越接近 1。所以，如果你知道所有這些函子提升確實是自守的，正如朗蘭茲所預測的那樣，你就解決了拉馬努金猜想。多么聰明的把戲！
我們在這里的討論只是朗蘭茲綱領的冰山一角。我省略了L-函數，動形（motive，數學家Grothendieck定義），跡公式（trace formulas），伽羅瓦表示（Galois representations），類域論（class field theory）以及過去半個世紀以來圍繞該綱領構建的各種驚人的數學。如果你對這些事情感興趣，我鼓勵你進一步研究它們——就像大希勒爾希望他的答案也能激勵提問者繼續學習一樣。 |
|
|
