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作者：Steven Strogatz 2022-7-13 譯者：zzllrr小樂 2022-7-14 是什么使得證明強于猜測？在數學抽象領域中證據是什么樣子？讓我們聽一聽數學家 Melanie Matchett Wood 解釋概率如何幫助引導數論學家走向確定性。 人們怎么能夠肯定地談論無窮大？在不知道所有的神秘素數的情況下，我們能真正了解它們嗎？正如科學家需要數據來評估他們的假設一樣，數學家也需要證據來證明或反駁猜想。但在數論的無形領域中，什么才是證據？在這一集中，Steven Strogatz 與哈佛大學數學教授Melanie Matchett Wood（梅蘭妮·馬切特·伍德）交談，了解概率和隨機性如何幫助建立數學家所要求的無懈可擊的證據。 Steven Strogatz (00:02)：我是 Steve Strogatz，這是來自Quanta雜志的播客，帶您了解當今數學和科學中一些最大的未解決問題。在這一集中，我們將討論數學中的證據。數學家使用什么樣的證據？是什么讓他們在得到滴水不漏的證據之前認為某些事情可能是真的？ (00:26) 這聽起來像是一個悖論，但事實證明，基于概率論的推理，對機會和隨機性的研究，有時會導致數學家真正追求的是確定性，而不僅僅是概率。例如，在被稱為數論的數學分支中，使用隨機性來幫助數學家猜測什么是真的由來已久。現在，概率被用來幫助他們證明什么是真實的。 (00:53) 我們將在這里關注質數（也叫素數）。你可能還記得素數，對吧？你在學校了解了他們。素數是一個大于 1 的整數，只能被 1 和它自己整除。例如，7 或 11。這些是質數，但 15 不是，因為 15 可以被 3 或 5 整除。從某種意義上說，你可以將質數視為化學元素周期表中的元素，它們是構成所有其他數字的不可分割的原子。 (01:27) 素數看起來應該很簡單，但數學中一些最大的謎團是關于素數的問題。在某些情況下，這些問題已經存在了數百年。素數確實有一些非常微妙的東西。它們似乎生活在秩序與隨機之間的邊界中。我今天的嘉賓將幫助我們更多地了解數學證據的性質，特別是隨機性如何以及為什么可以告訴我們很多關于素數的信息，以及為什么基于概率的模型在數論的前沿如此有用。現在和我一起討論這一切的是哈佛大學數學教授 Melanie Matchett Wood。歡迎，梅蘭妮！
梅蘭妮 (02:09)：嗨，很高興與您交談。 Strogatz (02:11): 很高興和你交談，我是一個忠實的粉絲。讓我們來談談數學和科學之間的關系，因為這兩個詞經常一起使用，但是我們在數學中用來獲得證明和確定性的技術，與我們在科學中試圖做的有些不同。例如，當我們談到在數學中收集證據時，它與在科學中通過科學方法收集證據有什么相同或有什么不同？ 梅蘭妮 (02:38)：數學證明是絕對密不透風、完整的邏輯論證，某些數學主張必須是這樣，而不能是其他任何方式。所以不像科學理論——根據我們今天的證據，這可能是我們擁有的最好的理論，但你知道，在接下來的 10 年里，我們會得到更多的證據，也許會有一個新的理論——一個數學證明說某些陳述必須是這樣的，我們不可能在 10 年或 20 年后發現它會是錯誤的。 Strogatz (03:17)：嗯，什么樣的東西可以算作數學中的證據？ 梅蘭妮 (03:19)：你可能會在很多例子中看到某些事情是正確的。并且基于它在很多例子中是正確的，你可能會說這是事實的證據，你可能會做出一個猜想，數學家會稱之為猜想，猜測某事是真的。但是，數學家想要的是一個證明，證明你在很多例子中看到的那個東西總是會按照你聲稱的方式工作。 Strogatz (03:49)：是的，與證據的分量非常不同。這是一個聲明，為什么某事將永遠、在所有時間、在任何情況下都是真實的，這是有原因的。 梅蘭妮 (03:58)：不僅僅是“哦，好吧，我看過一百萬個案例，每個案例都是如此。” 這是猜測或推測它總是正確的理由。但是在數學中，我們將這種可能基于大量案例或證據的猜測，與有一個定理或一個證明（一種告訴你它適用于每種情況的論據，即使是你沒有嘗試過的情況）區分開來。 Strogatz (04:25)：那僅僅是數學家天生挑剔，還是確實有一些案例，在非常多的可能性中看起來正確，但一旦超過某個大的數字后，最終不是真實的？ 梅蘭妮 (04:39)：哦，那是一個很好的問題。好吧，這是我喜歡的一個例子，因為我喜歡素數。所以當你遍歷素數——2、3、5、7——你可以做的事情之一時，你可能會說，“嘿，它們能被 2 整除嗎？” 事實證明這不是很有趣。在 2 之后，它們都不能被 2 整除，它們都是奇數。 (05:10) 然后你可能會想，“嗯，它們能被 3 整除嗎？” 當然，在 3 之后，它們也不能被 3 整除，因為它們是素數。但是，你可能會注意到其中一些，當你將它們除以 3 時，會得到余數1，它們比 3 的倍數多 1。所以像 7 比 6 多 1 ，以及 13 比 12 多1。其中一些素數，例如 11 或 17（比 15 多2），當你將它們除以 3 時，它們的余數將為 2，因為它們比 3的某個倍數 多 2 。 (05:47) 所以你可以分組考慮這些素數。第 1 組是所有比 3 的倍數多 1 的素數，第 2 組是所有比 3 的倍數多 2 的素數。當你遍歷素數時，可以統計一下，看看有多少素數在第 1 組，有多少在第 2 組。如果你統計到 6000 億，在每個點上，每個數字都達到 6000 億，你會發現第2組 的素數比第1組 的素數多。因此，基于該證據，你可能會自然而然地推測，第 2組 的質數總是比第1組 的素數多。 Strogatz (06:33)：當然。聽起來完全像。 梅蘭妮 ：結果是，大約 6080 億，我忘記了確切的數字，它改變了。 Strogatz (06:46)：哇哦。 梅蘭妮 ：是的，它真的變了。現在突然之間，第 1 組處于領先地位。所以，這是一個（反例） Strogatz (06:53)：等一下。等等，這太神奇了。它們一直在變化嗎？你繼續這樣做下去我們會知道發生什么嗎？它們不斷變化嗎？ 梅蘭妮 (07:01)：是的，很好的問題。事實上，它們的領先地位將無限頻繁地改變，這是一個定理。 Strogatz (07:07)：真的嗎？ 梅蘭妮 ：它們會一直互換領先地位。當你研究質數時，這是一個非常好的例子，你要記住，僅僅因為前 6000 億個案例中的某些事情是正確的，并不意味著它永遠都是正確的。 Strogatz (07:25)：哦，哇。好的。所以，和一般情況一樣，你如何從猜想變成證明？ 梅蘭妮 (07:31)：這在很大程度上取決于案例。我的意思是，在許多數學案例中，我們有猜想但沒有證明。所以從猜想到證明沒有什么簡單的方法，否則我們不會有這么多著名的未解決問題，你知道，有一些——一些猜想，人們認為某事以某種方式起作用，但我們不能確定。但是，你知道，有時這個猜想可能會暗示某些事情為真的原因。有時它只是數學理論，建立在人們已經發展了數百年的越來越多的數學理論之上，為我們提供了足夠的工具和結構來理解我們得出一個證明的事物。但猜想并不必然會得到證明。這個猜想可能會激發人們去尋找證明，但證明的產生方式可能與猜想本身是完全分開的。 Strogatz (08:31)：是的，我有興趣枚舉或列出缺乏證明的證據的類型，這會讓人們相信值得嘗試去尋找一個證明。 梅蘭妮 (08:41): 是的，我們可以稱之為證據的，不僅僅是例子（example），還有啟發式（heuristic）。啟發式可能類似于論證，但嚴格程度要低得多。就像，這看起來OK嗎？不是“我絕對肯定地確定了這一事實嗎？” 而是“確實如此——是的，這似乎很合理。” 因此，啟發式可能是一種看起來很合理的推理，你知道，但實際上并不是一個嚴格的證明。所以這是某種證據。 (09:12) 有時我們可能有一個模型，我們認為該模型刻畫了我們試圖理解的數學系統的基本元素，因此你會推測你的系統與你的模型具有相同的行為。 Strogatz (09:30)：好的。在某些時候，我想聽聽一些模型和猜想的例子，你知道，它們在某些問題上起作用或不起作用的程度，但是，如果你不介意，我會喜歡回到一些個人的小事上，因為我們在這里談論數字，而你是一個數論家。人們在日常生活中可能不認識很多數論家。所以，我想知道你能不能告訴我們什么是數論，還有，為什么你覺得它很有趣？你為什么來研究它？ 梅蘭妮 (10:02) ：嗯，數論是對整數的數學研究。想想 1, 2, 3, 4, 5。特別是，整數中最重要的東西之一是素數。正如你所解釋的，在一開始，它們是我們可以通過乘法建立所有其他數字的基石。因為數論關注所有這些整數，所以它也關注它們的組成部分——素數，以及其他數字如何分解質因數以及它們是如何由素數構建出來。 Strogatz (10:37)：所以，對于我們今天的目的，數論將是對整數的研究，尤其是對素數感興趣。這似乎是一個不錯的開始。我想還不止這些。但也許這對我們來說是一個很好的定義。你認為是嗎？ 梅蘭妮 (10:50）：這是一個好的開始。我的意思是，從那里開始，人們會探索更多的東西，比如，如果你開始考慮比整數更復雜的數字系統怎么辦？就像你開始放進其他數字一樣，例如 2 的平方根，那么質數和因式分解會發生什么？你會被引導到更多的問題。但老實說，僅在整數和素數中就有很多豐富而美麗的數學。 Strogatz (11:16)：那么考慮到這一點，你為什么覺得它很有吸引力？你為什么喜歡數論的研究？是什么吸引了你？ 梅蘭妮 (11:22)：我想我喜歡是因為這些問題可以如此具體。你知道，我去和小學生聊天。我可以告訴他們，我想的一些事情。所以，對我來說，做一些事情很有趣，一方面，問題可能如此具體，但另一方面，試圖解決它可能如此困難。我的意思是，幾千年來，人們一直試圖回答關于整數、素數的問題。 (11:54) 還有很多數學分支。現代數論的重要組成部分之一是，要在人們長期研究的這些頑固的老問題上取得進展，就需要引入新的思想，并需要與數學的其他部分建立聯系。因此，即使我稱自己為數論學家，我也會使用來自所有不同領域的數學。從研究幾何和拓撲以及空間的形狀到概率和研究隨機性。我使用了各種各樣的數學，但試圖談論諸如整數、素數和因式分解之類的事情。 Strogatz (12:36)：是的，我喜歡將數學視為這個巨大的相互聯系的思想網絡的愿景，你可以希望生活在你最喜歡的特定部分。但是你已經提到素數是數論中一個特別有趣的領域，最基本的部分，真的。它們有什么困難？目前尚不清楚，在我們的討論中，那里有什么神秘之處？就像我們已經定義它們一樣，我想我們可能會繼續列出它們。你所指的那些已有數百年歷史的問題是什么？ 梅蘭妮 (13:05)：嗯，最大和最重要的問題之一，可能大約有 120 年的歷史，你說，“哦，你可以列出它們。如果你這樣做，你會找到多少？” 假設你列出了質數，大到一百，或一千，或十萬，或一百萬，十億。當你列出越來越大的素數時，你所經歷的這些數字中有多少實際上是素數？所以理解數量 確實 是黎曼假設的 核心, 這是 克萊 數學 研究所千禧年獎 問題之一，有一個百萬美元的答案獎金。這是最著名的問題之一，我們不知道該怎么做，它實際上只是這樣的一個問題：當你列出這些素數時，你會找到多少？ Strogatz(13:58)：好的。這很有趣，對吧？因為當你開始列出列表時，即使有人只是隨便開始列出最大為 100 的數字——你也會注意到一些有趣的事情。就像，我們開始時談的 11 和 13 ，它們相隔2。接著是15，但行不通，因為它可以被 5 和 3 整除。然后是 17，在 13 和 17 之間相差4 。但是然后 19 又接近了。我不知道，我的意思是，素數之間的間距可能有點不穩定。就像有時那里有一個相當大的間距，有時它們彼此相鄰，僅相距2。 梅蘭妮 (14:31): 是的，所以理解間隔和那些間距也是一個令人感興趣的大問題。在過去十年中，在理解素數間距方面取得了顯著進展。但仍有一個非常誘人的基本問題，我們不知道答案。你提到了這些素數，11 和 13，只是相距 2。這樣的素數稱為孿生素數。我們不能指望素數之間的距離小于 2，因為在 2 之后，它們都必須是奇數。這里有數學中的一個懸而未決的問題（這意味著我們不知道答案），即：是否存在無限多對孿生素數? 所以這里有一個猜想。我的意思是，不僅有一個猜想“是的，它們應該永遠存在，而且應該永遠存在更多”，而且甚至還有一個猜想關于你會發現多少個孿生素數。但那是完全開放的。據我們所知，有可能的情況是，一旦你到達一個非常大的數字，它們就會停止，你根本就找不到更多的孿生素數對。 Strogatz (15:40): 那個想法有一些非常詩意的東西，有點辛酸，可能在某一點結束。我的意思是，我們倆可能都不相信。但有可能，我猜，可以想象最后一對孤獨的雙胞胎依偎在黑暗中的數軸上。 梅蘭妮 (15:57)：是的，有可能。而且，你知道，作為數學家，我們會說，我們不知道。即使你可以在你找到許多數對的同時繪制一個圖表，而那個圖表看起來真的肯定會以永遠 - 永遠不會轉身的速度一直上升。但我想這是數學和科學之間區別的一部分，我們保持懷疑并說，好吧，我們不知道。我的意思是，也許在某個時候，圖表會轉過來，然后就沒有了。 Strogatz(16:29)：我喜歡你的圖表圖像，因為我認為每個人都可以理解這個想法，制圖，制作某種圖表。你知道，把素數看作是一種數據。并且我認為這可能是我們轉而開始討論概率論的好時機。談論與素數有關的概率和統計數據似乎有點奇怪，因為這里不涉及機會。素數是由我們給出的定義決定的，即它們不可被（1和自身之外的數）整除。但是像你一樣的數學家和數論家在思考素數時使用了統計或概率論據。我想知道你是否可以使用拋硬幣為我畫出類似的東西，然后回到我們開始討論的奇數和偶數。 梅蘭妮 (17:14)：好的。與素數不同，我們實際上非常了解奇數和偶數的模式。它們當然會繼續變成奇數、偶數、奇數、偶數。但是假設我們不理解這種模式。我們正在使用它來了解，如果你查看所有高達一百萬的數字，你可能會找到多少個奇數。你可以想象，既然有兩種可能性，一個數字可能是奇數或可能是偶數，也許有人會為每個數字擲硬幣，如果硬幣正面朝上，這個數字是奇數。如果硬幣出現反面，則數字是偶數。所以你可以讓你的擲硬幣的人沿著數軸走，在每個數字上擲硬幣，然后會宣布這個數字是奇數，或者宣布是偶數。 (18:03) 現在，一方面，這是無稽之談。另一方面，拋硬幣模型會做一些正確的事情。例如，如果你說，直到一百萬的數字中有多少是偶數？我們知道，如果你進行大量的硬幣翻轉，比如一百萬次，出現反面的硬幣翻轉次數大約是其中的一半。因此，該模型盡管可能很愚蠢，但仍然可以正確做出一些預測。我應該說，這聽起來可能很愚蠢，因為我們已經知道這個問題的答案。這個想法是我們為更復雜的模式建立模型，比如素數出現在數字中的位置，而不僅僅是奇數出現的位置。 Strogatz(18:55): 是的。我的意思是，我認為我們需要強調這一點——素數是多么神秘。素數沒有公式，而奇數有公式。就像如果你認為我們真的在這里談論荒謬的東西，擁有這些可以預測平均屬性的統計模型實際上非常有價值。就像類比一樣，小于一個大數的一半數字將是奇數。在素數的情況下，這是一個非常嚴肅、有趣的問題。比一個大數小的數中有多少是素數？而且，正如你所說，你可以制作一個正確的統計模型。然后可以使用什么樣的相同模型來預測有多少孿生素數會小于一個大數？在這種情況下，相同的模型是否做得很好？ 梅蘭妮 (19:41)：在素數的情況下，如果我們要建立一個模型——有一個模型被數學家使用，稱為素數的克拉默模型（Cramér model）——如果我們要建立一個素數的拋硬幣模型，我們想象有人沿著數軸走，并且在每個數字上拋硬幣，決定那個數字是素數還是非素數，我們會將我們所知道的關于素數的所有內容納入該模型。所以首先，我們知道大數與小數相比，更不太可能是素數。所以這些硬幣必須被加權。而且我們必須嘗試精確地放入我們期望的權重。我們知道，你不能有兩個相鄰的素數，因為其中一個必須是奇數，而其中一個必須是偶數。所以我們把它放到模型中。然后還有更多關于素數的知識。 (20:37) 所以這個模型是從這個拋硬幣模型開始的，但隨后它被所有這些其他規則以及我們所知道的關于素數的所有其他事情所修改。一旦你把我們所知道的所有東西都放入模型中，然后你會問這個拋硬幣的模型，你是否經常看到，硬幣以間隔為2的距離出現質數？模型告訴你，哦，是的，我們確實看到了。事實上，我們以這個非常特殊的速度看到它，我們可以給你一個公式。然后，如果你繪制實際孿生素數的數量，在沒有翻轉硬幣的實際數字中，與模型預測的情況相比，你會看到模型為你提供了對孿生素數數量的非常準確的預測。然后你想，也許這個模型知道它在說什么。 Strogatz (21:31)：太好了。我的意思是，這很重要，我們剛剛到達那里，那個 - 你還沒有使用計算機這個詞。但我假設你不是手動執行此操作。列出孿生素數的人，我不知道，我們在說什么？萬億萬億萬億個？我的意思是，這些都是我們正在談論的大數字，不是嗎？ 梅蘭妮 (21:49)：嗯，對于孿生素數的列表，也就是說——絕對是由計算機完成的。但是為了建立這個模型并提出模型給出的公式。你知道，這是手工完成的，本質上，是由數學家思考模型并計算出來的。 Strogatz (22:07)：太酷了。所以這就是模型展示它的東西的地方，模型實際上可以預測計算機看到的東西。而且它不需要計算機來做出這個預測。這可以由人手工完成，并且實際上可以得到證明。除了它是模型屬性的證明之外，還不一定是你感興趣的事物的證明。 梅蘭妮 (22:28)：對。在某個點，計算機停止了。你知道，只有這么多的計算能力。但是你會得到、模型會給你、你可以證明是正確的、關于這個拋硬幣情況模型的那個公式，將繼續下去。你可以將越來越大的數字放入該公式中，比你的計算機可以計算的要大得多。 Strogatz (22:53)：你已經告訴我們一些關于隨機性如何幫助建立數論中有趣現象的模型，我相信在數學的其他部分也是如此。在某些情況下，可以使用隨機性來提供實際證明，而不僅僅是模型？ 梅蘭妮 (23:10)：當然。數學的另一個分支稱為概率論。在概率論中，他們證明了關于隨機系統的定理及其行為方式。你可能會想，如果你從一些隨機的東西開始，然后你用它做一些事情，你總會有一些隨機的東西。但是在概率論中發現的一件非常美妙的事情是，有時你可以從隨機的東西中得到確定性的東西。 Strogatz (23:45)：嗯，它是如何工作的？比如？ 梅蘭妮 (23:48)：嗯，你已經看到了數學家所說的鐘形曲線或正態分布。它出現在自然界的各處。就像你看人們的血壓，或者嬰兒的出生體重，或者其他東西。你可能會想，這個鐘形曲線，是自然的事實。但事實上，有一個定理，稱為概率論中的中心極限定理，它告訴你實際上，這條鐘形曲線在某種意義上不是自然事實，而是數學事實。中心極限定理告訴你，如果你獨立地組合一大堆小的隨機效應，那么它的輸出將始終符合某種分布，這個形狀，這個鐘形曲線。數學和概率論，可以證明，如果你組合了很多小的獨立隨機事物，所有組合的結果會給你一個看起來像這個鐘形曲線的分布，即使你不知道輸入是什么樣的。這是一個非常強大的定理，也是一個非常強大的數學工具。 Strogatz (25:05)：是的，確實如此。我喜歡你強調你不需要知道小效應發生了什么。那個，不知何故，被洗掉了。不需要該信息。鐘形曲線是可以預測的，即使你不知道小效應的本質是什么。只要它們很多而且它們很少。它們不會相互影響，對，它們在某種意義上是獨立的。 梅蘭妮 (25:27)：是的，當然。所以這是一個想法，有時它在概率論中被稱為普遍性（universality），如果你輸入大量隨機輸入，你可以預測某些類型的機器的輸出。比如，你會得到這個鐘形曲線，或者這個正態分布，即使你不知道你在機器里放了什么。當有些事情我們不太了解時，這非常強大，因為—— Strogatz (25:56)：但是，——哦，我很抱歉打斷你的話——你是在告訴我這也在數論中發生嗎？不知何故，我們正在數論中出現普遍性的想法？還是我在做夢？ 梅蘭妮 (26:09)：嗯，在某種程度上，我會說這是我的一個夢，它正在開始。你知道，我們只是，我們正在邁出實現它的第一步。這不僅僅是你的夢想，也是我的夢想。我今天所做的一些工作以及我和我的合作者正在努力使這種夢想成為現實，這樣一些關于我們不知道答案的令人費解的問題，也許我們可以理解有一些模式會出現，比如鐘形曲線，比如正態分布，即使我們不知道往其中所放入的奧秘也能從機器中證明出來。 Strogatz (26:55)：嗯，事實上，這是一個非常鼓舞人心、激動人心的愿景，我希望這一切都能實現。非常感謝你今天接受我們采訪，梅蘭妮。 梅蘭妮 (27:03)：謝謝。這很有趣。 參考鏈接 https://www./how-do-mathematicians-know-their-proofs-are-correct-20220713/ |
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