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      【原】求解運動學微分方程：原函數法
      
                    
                    
                    
                    
      
                         cosmos2062
                        
                        
                        2022-07-21
                        
                             發布于廣東
                        
                    
      
                    
      
                        
                        
      
                    
      
                    
                    
      
                        
      
                            
                        
      
                        
      
                            
                                
      
                                    
                                        
      

                                        
                                        

                                        
      將運動學微分方程改寫成微分形式，對時間求不定積分，利用初始條件確定積分常數，就可以得到位置或速度與時間的依賴關系。
      在《獲取物體的運動學量》中，我們首先從物理的層面出發對粒子的運動進行分析，得到了獲取位置和速度的數學公式。其實，這個問題也可以先從數學的層面出發得到解決。
      讓我們重新考察速度和加速度的定義式：
      如果你已經有了一定的數學基礎，應該馬上就意識到如何從數學的層面上解決我們的問題。不過，我還是假定你對數學的了解并不多，所以，接下來要對這個問題做仔細的回應。
      在上面的速度或加速度的定義式中，有一個我們想要知道的未知物理量，并且這個物理量是以對時間的導數的形式出現的。另一方面，與這個時間導數同時存在于一個等式中，還有一個已知的物理量，比如說速度或者加速度對時間的依賴關系。我們知道，在一個等式中，如果既含有已知量又含有未知量，這個等式就被稱為“方程”，或者更準確地說，是一個“代數方程”。我們在中學中熟悉的“一元一次方程”或者“一元二次方程”等就是代數方程。現在，在關于速度與加速度的定義式中，甚至還含有未知變量對自變量的導數，這種等式被稱為“微分方程”。通過對這兩個微分方程進行求解，就可以得到我們想要知道的未知的物理量的表達式。我們不打算詳細地討論微分方程的求解理論，這些理論你很快就會在數學課程中學到。在這里僅對上面提出的問題給出一個詳細的解決方案。
      假定已經知道了速度對時間的依賴關系，先把速度的定義式改寫成如下形式：
      對上面這個經過改寫的等式的兩邊同時做一次不定積分，將兩邊做不定積分時得到的任意常數合并，就可以得到下面的等式：
      等式最右邊的那個式子被稱為速度的原函數，一個函數的原函數可以帶有一個任意的積分常數。顯然，由于積分常數是任意的，由上述等式給出的位置對時間的依賴關系并不完全確定。為了能夠明確地得到位置與時間的函數關系，需要把這個任意的積分常數確定下來。通常的做法是，在一個特定的時刻(稱之為初始時刻)測量粒子所處的位置(稱之為初始位置)，把這兩個數值代入上面的等式中：
      由此就得到了積分常數的表達式，并最終確定了位置與時間的函數關系：
      結果發現，只要求出了速度的原函數，再測得粒子的初始位置，粒子在任意時刻的位置就確定了。
      在許多情況下，我們可能會通過某種途徑獲得加速度對時間的依賴關系。在這種情況下，可以利用加速度與速度之間的關系，先把速度對時間的依賴關系求出來。為了達到這個目的，把加速度是速度對時間求一階導數這個定義式改寫成：
      再仿照上面的求解過程對這個經過改寫的等式的兩邊做不定積分，就可以得到
      等式最右邊的式子是加速度的原函數。如果在初始時刻測得粒子的初始速度為，粒子的速度對時間的依賴關系就確定下來了：
      我們再一次看到了類似的情況：只要求出了加速度的原函數，再測得粒子的初始速度，粒子在任意時刻的速度就確定了。有了速度對時間的依賴關系，就可以繼續求解位置隨時間的變化規律了。
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