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本題選自2022年廣州中考數學填空壓軸題，考查動點產生的幾何最值問題，是之前討論比較多的瓜豆模型。雖然是小題，但是值得練練手。 【題目】 （2022·廣州）如圖，在矩形ABCD中，BC＝2AB，點P為邊AD上的一個動點，線段BP繞點B順時針旋轉60°得到線段BP′，連接PP′，CP′．當點P′落在邊BC上時，∠PP′C的度數為 ° ；當線段CP′的長度最小時，∠PP′C的度數為 ° ．
【分析】 （1）第一問比較直接，當點P′落在BC上時，可以得到∠PP′C=120°。
（2）第二問有一定難度，因為需要確定點P′的軌跡，然后再得到CP′ 的最小值，求出此時∠PP′C的度數。
從題目的條件可以得到△BPP′始終為等邊三角形，而點P在邊AD上運動，那么△BPP′的大小一直在變，但是形狀不變。 這其實就是前面介紹過的非常常見的一種類型，就是大家常說的瓜豆模型。
通過上方的動圖，很明顯觀察到點P′的軌跡是線段，那么就可以得到當CP′與點P′的軌跡垂直時最小，因為垂線段最短。此時只需要畫出圖形，求出角度即可。 那為什么軌跡是線段呢，如何說明？
如圖，當點P與A重合時，點P′落在點O處，也就是起始位置。以AB為邊在右側構造等邊三角形ABO，那么可以得到一組手拉手等邊三角形，此時根據SAS可以得到△ABP≌△OBP′（SAS），可以發現∠BOP′=∠BAP=90°。 而BO固定不變，那么OP′始終與BO垂直，點P′的軌跡就是BO的垂線段。
如下圖所示，此時可以得到BO與CP′平行，那么可以得到∠BCP′=∠CBO=30°，那么就可以得到OP′=1/2BC=AB=BO，此時可以得到△BOP′ 為等腰直角三角形。
所以此時∠PP′C=∠BP′C-∠BP′P ＝∠BP′O+∠OP′C-∠BP′P ＝45°＋90°﹣60° ＝75°。 當然，其實還可以有其他的突破口。 我們知道，遇到等長共點的圖形的時候，常常考慮旋轉構造輔助線。
如圖，將△BCP′逆時針旋轉60°至△BC′P，那么就可以得到CP′=C′P，而點C′的位置是確定的，點P在AD上運動，當C′P⊥AD時C′P最小，即此時CP′最小。
由于△BCC′為等邊三角形，可以得到此時點P為AD的中點，得到△ABP為等腰直角三角形，那么就可以得到∠BP′C=∠BPC′=45°+90°=135°，那么此時 ∠PP′C=∠BP′C-∠BP′P=135°-60°=75°。 【總結】 遇到等腰、等邊等“等長共點”的圖形時常考慮旋轉進行構造輔助線。遇到幾何最值問題，常需要確定動點的軌跡，再根據“兩點之間，線段最短”或者“垂線段最短”進行判斷。 |
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