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一個全面的數學框架將皺紋模式視為幾何問題的優雅解。
作者：Stephen Ornes 2022-9-22 譯者：zzllrr小樂 2022-9-25 2018 年在密歇根大學的一次演講開始幾分鐘后，伊恩·托巴斯科（Ian Tobasco）拿起一張大紙，把它揉成一個看似無序的混亂球。他把它舉起來讓觀眾看，捏了幾下，然后又攤開。 “我得到了大量的褶皺，這就是謎團，”他說。“是什么從另一個更有序的模式中選擇了這個模式？” 然后，他舉起第二張大紙——這張紙預先折疊成著名的平行四邊形折紙圖案，稱為三浦折紙（Miura-origami，日本人三浦公亮在1980年發明，靈感來源是蜻蜓的翅膀和樹葉的紋路，譯者注，據知乎Tish）——然后將其壓平。他說，他在每張紙上使用的力大致相同，但結果卻大不相同。三浦折紙被整齊地劃分為幾何區域；皺巴巴的球是一團鋸齒狀的線條。 “你會感覺到，”他指著皺巴巴的紙上零散排列的折痕說，“這只是個隨機無序版本。” 他指了指整潔有序的三浦折紙。“但我們還沒有確定這是否屬實。” 建立這種聯系需要建立彈性模式的通用數學規則。托巴斯科多年來一直在研究這個問題，研究描述薄彈性材料的方程式——通過試圖彈回其原始形狀來響應變形的材料。用力戳一個氣球，就會形成放射狀皺紋的星爆圖案；移開你的手指，它們會再次變得平滑。擠壓一個皺巴巴的紙球，當你松開它時它會膨脹（盡管它不會完全不皺）。工程師和物理學家已經研究了這些模式在特定情況下是如何出現的，但對數學家來說，這些實際結果提出了一個更基本的問題：一般來說，是否有可能理解是什么選擇了這一種模式而不是另一種？ 2021 年 1 月，托巴斯科發表了一篇論文 https://link./article/10.1007/s00205-020-01566-8 ，肯定地回答了這個問題——至少在將光滑、彎曲、有彈性的片材壓平的情況下（這種情況為探索這個問題提供了明確的方法）。他的方程式預測看似隨機的皺紋如何包含“有序”域，而具有重復的、可識別的模式。他與人合寫了一篇論文，上個月發表，https://www./articles/s41567-022-01672-2 （另可參見今日新材料公眾號文章：《研究前沿：Nature Physics-超可拉伸的褶皺膜材料》，譯者注）展示了一種新的物理理論，它以嚴謹的數學為基礎，可以預測現實場景中的模式。 值得注意的是，托巴斯科的工作表明，皺紋，在許多方面，可以被視為幾何問題的解。“這是一篇美妙的數學分析，”德國波恩大學豪斯多夫數學中心的斯特凡·穆勒 ( Stefan Müller ) 說。 它首次優雅地闡述了這一普遍現象背后的數學規則——以及一種新的理解。“這里數學的作用不是證明物理學家已經做出的猜想，”紐約大學庫朗研究所的數學家、托巴斯科的研究生院導師羅伯特·科恩（Robert Kohn）說，“而是提供一個以前沒有系統解釋的理論。” 大踏步走 發展皺紋和彈性模式理論的目標是一個古老的目標。1894 年，在《自然》雜志的一篇評論中，數學家喬治·格林希爾（George Greenhill）指出了理論家（“我們要思考什么？”）和他們可以弄清楚的有用應用（“我們要做什么？”）之間的區別。 在 19 世紀和 20 世紀，科學家們在后者方面取得了很大進展，研究了與正在變形的特定物體的皺紋有關的問題。早期的例子包括為航海船只鍛造光滑、彎曲的金屬板的問題，以及試圖將山脈的形成與地殼的加熱聯系起來。 最近，數學家和物理學家擴大了將理論與對各種起皺情況、幾何形狀和材料的觀察聯系起來的努力。“這已經持續了大約 10 年，我們首先進行實驗，然后試圖找到理解它們的理論，”牛津大學的數學家Dominic Vella說。“直到最近，我們才開始有了正確的認識。”
伊恩·托巴斯科（Ian Tobasco）提出了一種理論，該理論以數學方式描述了曲面被壓平時出現的各種皺紋。Petra Lein 供圖 有一些令人興奮的里程碑。2015 年，麻省理工學院的機械工程師 Pedro Reis描述了在癟陷硅球上形成的幾何圖案的物理規律。他的工作將這些皺紋與彈性材料內外層的厚度聯系起來。Reis 還指出，皺紋可能會提供設計新機械行為的機會，而不是被視為缺陷。然后在 2017 年，Vella領導分析了彈性薄膜在壓力下的起皺不穩定性，https:///doi/full/10.1098/rsta.2016.0330 描述了皺紋數量如何根據初始戳點的深度和其他具體細節而變化。 但這些發展仍然只解決了部分問題。為了更一般地理解皺紋是如何形成的，需要一種不同的方法。托巴斯科將是推動它前進的人。 追隨好奇心 當他年輕的時候，托巴斯科認為他會進入航空航天工程。他于 2011 年畢業于密歇根大學，獲得該領域的學士學位，但那時他已經開始深入思考數學推理和物理系統。他獲得了數學博士學位，但他責怪現在雪城大學的物理學家喬伊·保爾森（Joey Paulsen）讓他走上了皺紋的特定道路。 在保爾森職業生涯的早期，在研究不尋常材料的特性時，他學會了使用一種稱為旋涂（spin coating）的技術制造和分析超薄聚合物薄膜。首先，他會制造一種特殊的液體材料，其中含有微量溶解的聚合物；然后他將材料放在旋轉板上。大部分液體會蒸發，而聚合物在凝固之前會擴散到均勻的厚度。在雪城大學擁有自己的實驗室后，保爾森學會了如何利用旋涂技術來制造彎曲的薄膜——比如超薄的龜殼。 有一天，他將其中一些彎曲的薄膜放在靜止的水面上，并拍攝了它們是如何沉降在水面上的。“這純粹是出于好奇，”他說。這些照片在 2017 年與保爾森的一次非正式會議上引起了托巴斯科的注意。 “他們表明你可以得到這些隨機無序的皺紋模式——當你做了兩次實驗時，你得到了兩種不同的模式，”托巴斯科說，他現在是芝加哥伊利諾伊大學的助理教授。“我想看看我是否可以從彈性中提出一些可推導的方法[來預測那些模式]，它結合了外殼的形狀。而且模型不會因殼而異。” 起皺圖案是能量最少的配置。也就是說，隨著薄膜沉積在平坦的表面上，它會變形，直到找到皺紋的排列，無論是否無序，這需要最少的能量來維持。“你可以通過[模式]顯現時存儲的能量來組織模式，”托巴斯科說。 在該指導原則的指導下，他分離出薄膜的一些特征，這些特征被證明是選擇其圖案的特征，包括一種稱為高斯曲率（Gaussian curvature）的形狀度量。具有正高斯曲率的表面會遠離自身彎曲，就像球的外部一樣。相反，負曲率的表面是馬鞍形的，就像一片薯片：如果你朝一個方向走，你會往上走，但如果你朝另一個方向走，你就會往下走。 托巴斯科發現正高斯曲率區域產生一種有序和無序區域的排列，而負曲率區域產生其他類型。“詳細的幾何形狀并不那么重要，”Vella 說。“這真的只取決于高斯曲率的符號。”
他們曾懷疑高斯曲率對起皺很重要，但 Vella 表示，令人驚訝的是領域如此嚴重地依賴于符號。更重要的是，托巴斯科的理論也適用于廣泛的彈性材料，而不僅僅是保爾森的形式。“這是一個很好的幾何結構，可以顯示皺紋出現的位置，”Vella 說。“但理解它的來源真的很深刻，有點令人驚訝。” 保爾森同意了。“伊恩的理論非常美妙之處是一次性給你整個模式。” 現實生活中的皺紋 2018 年初，托巴斯科的理論基本確定了——但即使它在紙上有效，他也不能確定它在現實世界中是否準確。托巴斯科聯系了保爾森，詢問他是否有興趣合作。“有些東西馬上就奏效了，”保爾森說。“伊恩的一些預測，放在實驗圖片之上，我們可以立即看到它們排列整齊。” 在當年的工業和應用數學學會的材料科學數學方面的會議上，托巴斯科被介紹給賓夕法尼亞大學的物理學家卡蒂福里（Eleni Katifori） ，他正在探索受限殼中的皺紋模式問題并建立一個結果數據庫。這是一個偶然的時刻。“我們可以看到 Ian 的工作所解釋的領域[在模擬中]，”她說。這場比賽是不可思議的。即使在他們的第一次討論中，很明顯托巴斯科的理論、保爾森的實驗圖像和卡蒂福里的模擬都描述了相同的現象。“即使在早期階段，當我們沒有任何具體的東西時，我們也可以看到這種聯系。” 這種早期的興奮很快引起了質疑。這似乎好得令人難以置信。“他是一位數學家，他把所有這些東西都變成了無維度的，”保爾森說，他指的是托巴斯科關于曲率的想法如何可以擴展到二維平面材料之外。“我們真的在看同一個系統嗎？它是一致的，但它應該一致嗎？” 在接下來的兩年里，三位研究人員對細節進行了討論，表明托巴斯科的理論確實——準確地——預測了保爾森在他的實驗中看到的皺紋的排列，以及卡蒂福里在她的計算機模型中發現的皺紋的排列。8 月 25 日，他們在Nature Physics上發表了一篇論文 https://www./articles/s41567-022-01672-2 ，展示了這三種方法是如何匯聚在相同的、直接的皺紋幾何排列上的。值得注意的是，他們發現這些圖案屬于整齊的等腰三角形（ isosceles triangles）家族，這些三角形劃分了有序和無序的領域。此外，結果不僅限于對不可能的薄度材料的數學抽象，而是解決了多個數量級的厚度問題。 他們的工作還為推廣該理論及其應用提供了機會。卡蒂福里說，作為一名物理學家，她有興趣利用這些預測來設計新材料。“我想了解如何設計表面，以便它們實際上將起皺圖案自組織成你想要的東西。” 另一個懸而未決的問題是該理論如何普遍適用于不同類型的曲面。“它非常關注 [高斯曲率] 為正或負的情況，但在很多情況下，有些區域是正的，有些是負的，”Vella 說。 保爾森同意這是一個令人興奮的可能性，托巴斯科說他正在這個領域積極工作，并考慮其他形狀的貝殼——比如那些有孔的貝殼。 但保爾森表示，即使就目前而言，這個理論也是美麗而令人驚訝的。“如果我給你一個殼和一個邊界形狀，以及伊恩理論預測的這套簡單規則，那么你可以拿一個圓規和尺子，畫出基本皺紋，”他說。“它不必以這種方式發生。這可能是完全令人震驚的。” 原文鏈接： https://www./the-new-math-of-wrinkling-patterns-20220922/ |
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