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文/老余 數學，是很多朋友的噩夢。 有人說，數數和學習都問題不大，但合在一起，數學就要了命了。甚至有很多人穿越了數學的分水嶺，在大學學高等數學仍有想死的感覺，激動時甚至要問候牛頓的媽媽才能泄憤（微積分是牛頓發明的）。 但我覺得，很多朋友之所以學不好甚至憤恨，都不是數學本身的問題，而是老師的問題，他們一上來就是做題做題，永遠的做題，從來不告訴學生這些數定理學背后的故事，其實基本所有的數學概念之所以被發明、發現，是因為創造者遇到了現實的問題，想要通過數學工具去解決問題的。 比如微積分，牛頓當時為什么要發明微積分？他是要解決什么問題？如果我們知道這背后的原因，也就理解了微積分的內核，然后從具體返回到數學抽象，去做微積分的題就會舒服很多，顛倒過來問題就大了，本來抽象的就難理解，然后還要在難理解的抽象上去擴展更多的抽象的推論和定理。 不糊才怪！ 那老師們為何不從具體的故事和問題出發，再返回到抽象呢？其中原因可能是老師們自己也不知道微積分到底是啥，到底是要解決啥問題的，他的老師們也是這么教的，所以也這么教我們，還有就是這與老師的績效無關，他們沒有動力教這些不考的內容。 以上原因導致一代又一代人討厭數學，也有很多人覺得，學這些討厭的東西對我們現實生活有什么用？小學搞完加減乘除就得了，能應對現實生活就夠了，學什么高等數學、什么微積分、什么向量，這都是吃飽了撐的。 真的是這樣嗎？ 我覺得不是，很多數學里的思想和理念對我們的現實生活有很多深刻的啟發。 所以，這個《數學思維的妙處》小系列就來介紹幾個數學概念對我們生活、工作、創業的啟發，我保證當你明白這四個數學概念后，你就不再是原來的你了，因為你眼里的混沌世界開始清晰起來。 當然，首先要交代的是我們不解題，我們偏重的是思維方式，不到萬不得已，我也不會用到讓人頭大的公式。 我們從很多人最討厭的「微積分」開始。  （一）牛頓發明微積分，是為了解決什么問題？一看到微積分，這些如蚯蚓般的東西好像真的從視線鉆進了大腦里，弄得很多朋友腦闊疼。 牛頓為何要發明這么個讓后世學子如此頭疼的東西呢？ 因為他當時遇到了一個問題： 在理解速度上，他前面人的理解還很淺薄，僅限于速度的平均值上，比如一個人花了5分鐘走了100米，那這個人的平均速度=100?5=20米/分鐘。 但牛頓覺得這個太寬泛了不夠細致，這個人在前行的過程中的速度并不是每分每秒都是勻速的，我想了解他每個瞬間的速度，怎么辦？ 那我把這個人的行進過程進行無限分割，那我不就可以得到這個人每個瞬間的速度了嗎！ 由此牛頓發現了加速度這個概念，一個物體靜止不動，我們推一下它，會瞬間產生一個加速度，加速度累積到一定程度，才會產生速度，而速度再累計到一定程度后，才會有位移。 雖然我們從外面看，是我們把物體推動了，但從物體里面看，整個過程是這樣的：加速度累計→變成速度→速度累積→產生位移。 這個過程，就是積分。 反過來，就是微分：位移的一階導數，就是速度，而速度的一階導數就是加速度。所以，加速度就是位移的二階導數。 說白了： ——積分就是微觀累積到宏觀的過程；微分就是宏觀切分到微觀的過程。 這還是有點難理解，這個過程我們換一個例子會更直觀——圓的面積S=πR2。 為何數學家會得出圓的面積公式呢？是因為他們運用微積分思維，把圓的面積轉化為了長方形面積： 第一步：把一個圓先微分：也就是先以圓心為中點無限分割成扇形（我畫得還不夠無限）：  圖很丑，您湊合看 第二步：把扇形積分：也就是把這些無限分割的扇形一正一反地拼接在一起，如下圖：  從以上兩個圖可以看出，只要分得越細，圓的面積就越接近這個長方形面積，只要無限分割，那這個圓的面積就是這個長方形面積，而大家都知道，長方形面積=長??寬。 于是圓的面積S=πR（長）??R（寬）=πR×R=πR2。 很多朋友現在已經不需要做題了，但這種微分、積分的過程，能給我們日常生活什么啟發？ 其實很深刻。 （二）微積分，如何怎么指導我們的現實生活？我看到了兩點： 1、今天的努力，并不能帶來明天的成功，但能為后天的成功做準備 在物理世界里，我們推一個物體，雖然我們看到的是這個在移動，但當我們在推它時，是先產生一個加速度，這個加速度累計后，才會產生速度，而這個速度累計后，才能產生位移。 這與「努力→能力→成功」的過程是一模一樣的。 你看是不是這么一個過程：如果把努力看成加速度，把能力看成速度，把最后的成功看成位移。那這三者之間的關系其實就是一個積分的過程。 短時的努力并不能轉化為能力，我們得長時間、滴水穿石的努力才能累積為自身的能力，而能力累積到成功，也需要時間。 很多人為何一生碌碌無為？ 或許不是因為不夠聰慧，而是沒有了解「微積分的思想」，所謂無志之人常立志，當一開始立志做某件事時會努力一陣，但這一陣的努力由于時間太短，并不會立即轉化為能力，最后的成功也就無從談起了。 但他的理解可能不是努力的時長不夠，而是方向錯誤，于是成了那個挖井水的人，到處挖，可每次要挖到水之前就又放棄了。 從努力→能力的過程，會隔絕大部分人；從能力→成功，也是需要時間的，這個過程又會隔絕很多人。 這也解釋了為何最后成事的人會寥寥無幾的原因（當然，運氣也是很重要的）。 所謂有志之人立長志，確實也符合「微積分」的思想，從「努力→能力→成功」要穿越重重關卡： ——滴水穿石的時間忍耐，力出一孔的聚焦，都是常人難以跨越的巨大心理和行動障礙。  2、今天的懈怠，并不會給明天埋下隱患，但能成為后天失敗的墊腳石 很多朋友生活、工作一直兢兢業業，但在漫漫長路上慢慢懈怠了，但懈怠后他會驚喜地發現：也沒什么啊，我的能力、我的眼光、我的業績都沒受啥影響。 于是，給懈怠找到了一堆感統協調的理由，什么努力并不能影響成功，選擇才能；什么努力就是使蠻勁，你看好些人不努力也成功了等等。 當斷了那條「努力→成功」的念想后，我們的行為就再也找不回這條通道了，因為從「不努力→能力下降→成不了事」也是一個累積的過程，我們現在松懈了，這個松懈的結果可能要好幾個月甚至好幾年才能顯現。 而此時，我們是不會自省到是幾個月、幾年的不努力埋下的種子的。 自省沒有找到真正的原因，怎么可能再回到「努力→能力→成功」的道路上來呢？ 永無可能了！ 這可能與人性的弱點有關吧： ——當我們努力時、給別人幫助時，總是希望能立即得到回報；而當出了問題，我們也總是找別人的原因。  大神-牛頓 （三）結語在微積分被發明之前，我們以為推力到位移沒有中間過程，我們以為推力就是位移的直接原因。 殊不知，這中間還有「加速度的累積」，還有「速度的累積」，最后才是物體的位移。 同理，世間所有事都需要一個過程，而從你的出發點到期望的終點之間，其實還有好幾座山要翻越，最可怕的事是我們「不知道自己不知道」，當我們不知道這幾座山時，就會因為起點到終點的實際情況與你的預期不相符，而放棄。 這其實就是我們常說的「反饋滯后」。 但當我們了解了「微積分」的思維，就會非常清楚這種滯后是客觀存在： 在工作中，當我們努力時，心里就會明白要將努力變成能力，需要累積需要一個過程，而從能力累積到成就，也需要一個過程。 在家庭里，當我們想改變緊張的夫妻關系、親子關系時，心里也就明白了自己做出的改變需要一個過程讓對方接受，接受完了自己還得繼續，這是要讓接受變為相信，只有對方相信了，才會回應你的改變，這都需要時間。 ... ... 在第一季《樂隊的夏天》里，九連真人的一首歌讓我印象深刻——《莫欺少年窮》，為何莫欺少年窮？ 因為少年們現在的積累確實還少，但只要一路上在數學上稱為導數的東西夠大（積累夠快），在不久的將來，他們的成就不可限量。 而少年們最大的優勢，就是擁有在“求導”過程中有所成就的重要因素： ——時間。 （完） |
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