|
在數學中，一個代數結構由一個非空集A（稱為基礎集）、對A的操作的集合（通常是加法和乘法等二元操作）和一個有限的恒等式集（稱為公理）組成，這些操作必須滿足這些恒等式。 數，最好是不看成個別的對象，而是看作數系的元素。數系里面包含了一些對象（即數），以及施加于它們的一些運算（如加法和乘法）。這樣，數系就是一個代數結構。然而，還有許多不是數系的重要的代數結構。 群 若S是一個幾何圖形，S上的一個剛性運動，就是一種移動S的方式，使得在此運動中，S的任意兩點的距離不變（就是不允許擠壓和拉伸）。如果在一個剛性運動以后，S的形狀不變，就說這個剛性運動是S的一個對稱。舉例來說，設S是一個等邊三角形，讓S繞它的中心旋轉120°，這個旋轉就是一個對稱；S對于經過其一個頂點與該點對邊中點的直線作反射，這也是一個對稱。
這個思想可以大大地推廣∶如果S是任意的數學結構，S的對稱就是一個由S 到其自身的保持這個結構的函數。由于有這樣的廣泛性，對稱在數學里面就是一個滲透到各處的概念∶只要哪里有了對稱出現，群的概念就會緊緊地跟上來。
為什么會這樣？令f是頂點為 A，B，C的等邊三角形，設它的邊長為1。這時，f（A），f（B），f（C）就是此三角形中的三個點，這個三角形中任意兩點的最遠距離是1。不難看到，一旦選定了f（A），f（B），f（C），則三角形內任意點處f的值也就完全確定了。
讓我們寫出 A，B，C三點在變換以后的次序，由此來記這些對稱。所以，舉例來說，對稱ACB就是保持A點不動，而令B，C交換位置的對稱，只要把三角形對于過 A 和 B，C 中點的連線作反射，就可以得到這個對稱。一共有3個這樣的對稱∶ACB，CBA，BAC，還有兩個旋轉BCA，CAB。最后還有一個"平凡的"對稱ABC，它讓所有的點都不動（這個“平凡的”對稱的用處，恰好和零在整數加法的代數里的作用一樣）。 使得對稱的這一個集合成為群的，是任意兩個對稱可以互相復合，意思是一個對稱以后再跟著一個對稱就會產生第三個對稱。例如，如果在反射 BAC 后面再來一個反射ACB，就會得到一個旋轉CAB。要但是注意，進行對稱的次序是有關系的∶如果是先作反射 ACB，再作 BAC，就會得到旋轉 BCA。 我們把對稱本身也看成“對象”。而把復合看成是對于這些對象的代數運算，有點像加法和乘法之于數一樣。這個運算有下面的有用的性質∶
更一般地說，任何一個帶有一個二元運算的集合，若此運算有以上的性質，就叫做一個群。 至于這個運算是否可交換，這并不是群的定義的一部分，因為如我們剛才所看見的，復合兩個對稱時，哪一個在先，哪一個在后是有區別的。然而，如果這個二元運算是可交換的，這個群就成為阿貝爾群。數系Z，Q，R，C對于加法都是阿貝爾群，或者用我們常用的說法，它們在加法下成為阿貝爾群。如果把零從Q，R，C中除去，它們在乘法下也是阿貝爾群，但是Z并不是，因為缺少逆元∶整數的倒數，一般并不是整數。 域 在數學中，域是一組定義加減乘除運算的集合，其行為如同對有理數和實數的相應運算。因此，域是一種基本的代數結構，廣泛應用于代數、數論和許多其他數學領域。最有名 兩個域之間的關系用域擴展的概念表示。伽羅瓦理論，致力于理解域擴展的對稱性。這個理論表明，角
域（Field）在交換環的基礎上，增加了二元運算除法，要求元素（除零以外）可以作除法運算，即每個非零的元素都要有乘法逆元。由此可見，域是一種可以進行加減乘除（除0以外）的代數結構，是數域與四則運算的推廣。整數集合，不存在乘法逆元（1/3不是整數），所以整數集合不是域。 雖然好幾個數域都是群，但是只把它們看成群就是忽略了其代數結構的很大一部分。特別是，群里面只有一個二元運算，標準的數系卻有兩個，即加法和乘法（由此還可以得到其他附加的運算，如減法和除法）。域的形式定義很長，它是一個具有兩個二元運算的集合，還有幾個這些運算必須滿足的公理。有一個好辦法來記憶這些公理。先把數系Q，R和C中的加法和乘法所滿足的性質寫出來。 這些性質如下：
這就覆蓋了加法和乘法單獨具有的全部性質。但是在定義數學結構時，有一個很一般的原理∶如果一個數學定義可以分成幾個部分，則除非這些部分可以相互作用，否則這個定義是沒有什么意思的。現在加法和乘法就是這兩個部分，而迄今所講到的性質并未把它們以某種方式連接起來。
在列出了這些性質以后，可以抽象地來看待整個情況，并把這些性質看作公理，于是我們說∶域就是具有兩種二元運算的集合，這些運算需適合以上全部公理。但是，當我們在域中從事研究時，通常并不是把這些性質看成公理的清單，而是看作一個許可證∶允許我們在其中做有理數域、實數域和復數域中的所有代數運算。 很清楚，公理越多，尋找滿足它們的數學結構就越難，遇到域的情況比遇到群的情況更少見一些。因此，理解域的最好的辦法可能莫過于集中注意于例子。除了Q，R和C以外還有一個域跳了出來，成為域的一個基本的例子，它就是整數 mod p（這里p是一個素數）所成的集合 F_p，其中的加法和乘法都是 mod p 來定義的。 使得域有意義的其實還不在于存在這些基本的例子，而在于有一個重要的過程與域有關，這個過程稱為域的擴張，它使我們能夠從原來的域構造出新的域來。這里的思想是∶先已有了一個域F，找一個多項式P使它的根不在F中，然后把一個新的元素“附加”到F上，規定這個新元素是P的不在F中的根。用這個根和F中的元素通過一切可能的加法和乘法做出新的式子來，這些式子就構成了一個新的域F'。稱為F的擴張。 我們看一下域R的擴張過程的一個例子。多項式
在R中沒有根，于是我們把i附加到R上去，得到了所有形如a＋bi，（a，b∈R）的式子，這樣就得到了復數域C。 我們也可以把這個過程用于F_3，P（x）=x^2＋1在其中也沒有根。這樣，也會得到一個新的域，它和C一樣，也是形如a＋bi的復合所成的一個集合，但是現在的 a 和 b都是F_3的元素。因為 F_3中只有3個元，所以現在的新域只有9個元素。再一個例子是
它是
這樣的數的集合，a和b是有理數。 Q（γ）是一個稍微復雜的例子，這里γ是多項式 x^3-x-1的根。這個域的典型的元素就是形如 a＋by＋cγ^2的式子，而a，b和c是有理數。如果我們在Q（γ）中做算術，則見到γ^3就要把它換成γ＋1（因為γ^3-γ-1=0），正如在復數域中見到i^2就要換成-1一樣。為什么域的擴張很重要？以后討論。 引進域的第二個非常值得注意的地方是，它們可以用來構成向量空間。 向量空間 表示平面上一個點的最方便的方法之一是使用笛卡兒坐標。選一個原點互相成直角的方向 X，Y。如果從原點出發，沿方向 X走過距離 a，再從這一點繼續沿方向Y走過距離b，那么（a，b）這一對數就表示所達到的平面上的點。 同是這件事換一個說法是∶令x和y表示X和Y方向的單位向量，它們的笛卡兒坐標分別是（1，0）和（0，1）。這時，平面上的每一個點都是基底向量x和y的線性組合 ax＋by。 下面是線性組合出現的另一個情況。一個（線性）微分方程
知道了y=sinx和y=cosx是兩個可能的解，則容易驗證，對于任意的數a和b，y=asinx+bcosx也是解。就是說，已經存在的解sinx 和 cosx 的任意線性組合仍然是解。結果會得出，所有的解都是這種形式，所以我們把 sinx 和 cosx 也看成這個微分方程的解"空間"的"基底向量"。 線性組合出現在整個數學的許多情況下。再給一個例子，任意的3次多項式的形式都是
它是四個基底多項式1，x，x^2，x^3的線性組合。 向量空間就是一個線性組合概念在其中有意義的數學結構。屬于此向量空間的對象，除非我們在討論一個特定的例子，或者把它想作一個具體的對象，如多項式或線性微分方程的解的時候，通常就稱為向量。稍微形式化一點，一個向量空間就是一個集合V，使得對其中任意兩個向量（即V的元素）w和w，以及任意兩個實數a和b，都可以構成其線性組合av＋bw。 注意，線性組合涉及兩個不同類的對象，一類是向量v和w，另一類是數a和b。后者稱為標量。構造線性組合的運算可以分成兩個組成部分，即加法以及乘以標量。為了構造出 av＋bw，先要用標量a和b去乘向量v和 w，分別得出向量av和bw，再把所得的向量加起來，得出完全的線性組合av＋bw。 線性組合的定義必須服從一些自然的規則。下列的相加要是可交換的和結合的，就有恒等元（稱為零向量）。對于每一個向量v，又必須有逆元（記作-v）。乘以標量也要服從某種結合律，即 a（bv），（ab）v 必須恒相等。我們也需要兩個分配律，即對任意的標量a，b和任意的向量v，w均有（a＋b）g=av＋bv，以及a（v＋w）=av＋aw。 給定了一個向量空間V以后，所謂它的基底無非就是具有以下性質的一組向量∶v_1，V_2，…，V_n，而V的任意元素，即任意向量都可以用唯一的方式寫成它們的一個線性組合
可能有兩種情況使得這件事失敗∶一是可能有某個向量不能寫成 v_1，V_2，…，V_n的線性組合，二是可能有一個向量雖然可以寫成這種線性組合，但是寫法不止一種。如果V的所有向量都可以寫成v_1，V_2，…，V_n的線性組合，就說v_1，V_2，…，V_n張成了整個空間 V。如果沒有哪一個向量能以多于一種方式寫成它們的線性組合，就說v_1，V_2，…，V_n 是獨立的。一個等價的定義是∶v_1，V_2，…，V_n是獨立的，如果把零向量寫成
的方法只能是取
基底中元素的個數稱為V的維數（簡稱維）。一個向量空間不會有兩個大小不同的基底，這一點并非顯然，但是可以證明確實不會有，所以維的概念才有意義。對于平面，前面說到的向量x和y構成了一個基底，所以平面的維數是2。 最明顯的n維向量空間就是由n個實數所成的序列（x_1，x_2，…，x_n）的空間。如果要把序列（y_1，y_2，…，y_n）加到它上面去，只需構造序列（x_1+y_1，x_2+y_2，…，x_n＋y_n）即可，要用標量c去乘它，只需作（cx_1，cx_2，…，cx_n）即可，這個向量空間記作
基底中的向量的個數并不一定是有限數。一個沒有有限基底的向量空間稱為無限維的。許多最重要的向量空間，特別是“向量”為函數的向量空間，常是無限維的。 關于標量，還有最后一個說明。在前面標量是定義為構造向量的線性組合時所用的實數。真正重要的是它們必須屬于一個域，所以Q，R 和C都可以用作標量的系統，說真的，更一般的域也是可以的。如果一個向量空間V的標量來自域F，就說V是域F上的向量空間。這個推廣重要而且有用。 環 另一個非常重要的代數結構是環。環對于數學并不如群、域或向量空間那樣處于中心地位。粗略地說，環就是具有域的幾乎所有的但不是所有性質的代數結構。特別是對于乘法運算，環就不如域要求得那么嚴格，最重要的放松之處是，不要求環中的非零元具有乘法逆，而且有時環的乘法不一定是可交換的。如果它是，這個環就叫做可換環——可換環的典型例子就是所有整數的集合Z，另一個例子是系數在某個域F中的多項式的集合。 |
|
|
