看到這個題目，老朋友們可能會想到我的那篇文章《錯著、錯著、錯著，就對了》。那是寫我在生活中讓差錯多飛一會兒的故事。今天，和您分享我在課堂上，與四年級學生一起學習“角的度量”的故事。
上課伊始，課件上出示第一個坡度小的滑梯，如圖1之一。我問：“玩過嗎？”學生們喜笑顏開：“玩過。”我笑著說：“地球人都玩過。”
再出示第二個坡度稍大的滑梯，我問：“想玩哪個？”學生們異口同聲：“第二個。”
當我出示第三個坡度大的滑梯，還沒問，學生們都笑了。我裝著莫名其妙：“為什么笑？”
常常是男孩搶著回答：“太刺激啦！”我接著說：“刺激完了，就麻煩啦！第三個滑梯不能玩，第一個滑梯不好玩。
請問，這三個滑梯不同在哪兒？”
學生們七嘴八舌：“有高有矮。”“有胖有瘦。”“有的太斜了。”“角度不同。”
我夸贊道：“佩服，佩服！有一雙數學的眼睛。”課件隱去滑梯，只留下三個角。停頓三秒后，我說：“第一個角太小了，第三個角太大了，第二個角正好。那滑梯的角，多大才合適呢？這就需要量角了。怎么量角呢？”學生們用出謀劃策的語氣說：“用量角器。”因為前一天布置購買量角器的作業了。
我問：“會量嗎？”學生們自信十足：“會！”“行，請同學們量量這個角有多大。”我下發畫有角的練習紙。
巡視之后，我請一名學生投影展示，如圖2。
臺下，會量的學生著急地說：“錯了，錯了。”展示的學生有些局促不安，抬頭看看發聲的同學，再轉過頭來看看我，眼睛里寫的是：“我可以回座位嗎？”
我雙手扶著展示學生的肩，引導全班同學響起四次掌聲。
我說：“還沒學，不會量很正常，但敢于嘗試值得表揚。第一，我提議大家為這樣敢于嘗試的精神鼓掌！（我帶頭鼓掌，學生們響應）第二，以前我們量長度的時候，就是這樣從0開始的。這一點他做得非常棒！（同學們自發的熱烈的掌聲響起）第三，他這樣量角，非常不簡單，他告訴我和很多數學老師都不知道的一個道理，量角就是用量角器上的角重合在要量的角上！（我雙手舉到頭上鼓掌，教室里掌聲一片。展示的學生在起勁的鼓掌中自豪地回到自己的座位）第四，孩子們，壞的差錯會提出好的問題，他提出了一個好的問題—我們在量角器上能找到角嗎？掌聲再次感謝他給我們帶來的好問題！”熱情的掌聲里，展示的學生熱淚盈眶。
我拿出教具大量角器，指著尖角，問：“這是一個角嗎？認為是角的，請舉手。有幾位，大部分同學不同意，為什么？”一名學生指著量角器的圓弧，說：“這條邊不是直的。”全班學生頻頻點頭。
“量角器上的角到底在哪兒？能不能在紙量角器上畫出一個90度的角？”我一邊說，一邊發紙量角器。畫90度的角，全班全對。我問：“這個90度角的頂點在哪兒？知道這個點叫什么點嗎？對，叫中心點······”然后再讓學生先后畫出60度、1度、157度的角，最后讓學生舉著量角器，看看能看出什么。學生說完后，我承上啟下地說：“量角器上有若干個大小不同的角，怎么用它量角呢？對，重合在要量的角上。”
而后，請學生量了各種開口方向的角和滑梯的角。
······
全課總結的最后，我問：“角的度量是很難學的一節課，今天同學們學得特別棒，請問，是誰啟發了我們？”全班同學都看著開始展示的學生，先是有幾聲鼓掌，后是潮水般的掌聲。展示的學生站起身、鞠躬······
這節在全國小學數學界引起強烈反響的課，是怎么備出來的？
2005年，北京師范大學，全國各省（市）數學教研員培訓會上，我介紹了與自己的學生一起探究“角的度量”的故事，引起了與會者的強烈興趣。
為了讓學生創造出“小角量大角”的方法、經歷角的度量單位的產生、感受統一單位的必要、理解量角器的結構，我提出了如何比較兩個角大小的問題。
一個角35度，邊畫得短一些；另一個角30度，邊畫得長一點。看上去，兩個角難分伯仲。我準備了若干個10度和5度的“小角”，秘而不露。
大部分學生都想到重合的方法，哪知道一名學生說，他可以用直尺量出來。用直尺怎么能比較出角的大小呢？我請學生展示。學生在實物投影儀上，先用直尺在第一個角的兩邊分別量出2厘米，角的頂點是起點，邊上各點上一個端點，然后量出這兩個端點間的距離是1.2厘米。同樣地，他在第二個角上，量出兩個端點間的距離是1厘米。最后，他說第一個角大。出乎意料，我和同學們熱烈鼓掌······
會后，劉堅教授跟我說：“在鄭州，有一場全國小學數學骨干教師培訓，請您現場執教這節課，好不好？”我爽快答應。如果說現在的我在全國小學數學界有一定的影響力，那很大程度上是由于劉堅教授多次給我這樣的任務。
繼續備課階段，我犯愁了。鄭州的學生情況如何？“橘生淮南則為橘，生于淮北則為枳。”我決不能將在北京上課的這一套照搬到鄭州。“角的度量”這節課很難上，我能不能上出一節讓學生們都感到好玩的數學課？我能不能上出一節讓老師們都能借鑒的數學課？我決定重新備課。
我思考：①我們讓學生量了各種各樣的角，學生感受到了量角的用處嗎？量角的大小是“屠龍之技”，還是生活中必不可少的技能？②“角的度量”一課教學的難點是什么？為什么會有這樣的難點？量角器的結構很復雜，量角之前先要認識量角器，那認識量角器的什么呢？怎么認識量角器？關于量角的技能，以往教學中簡要概括出了“二合一看”“0度刻度線在左邊看外圈，0度刻度線在右邊看內圈”等話語，為什么學生還是不會量角？③教學有三個層次：教知識，教方法，教思想。以前我們只是教了量角的知識和技能，那么這一節課可以給學生什么方法和思想的提升呢？
為了有一個好的話題情境，我搜尋生活中的角，發覺生活中的角，地板、家具、生活用品上的角都不需要測量，因為大多數的角是直角。
我想到了2002年，我講三年級的“分數的初步認識”，成功創設了大頭兒子、小頭爸爸用領帶測量床長的情境。于是，輕車熟路，創設動畫：小頭爸爸在商場，要為家中廚房窗戶上配玻璃，可是忘記量尺寸。
門上的窗戶是扇形的，大頭兒子該怎么去測量呢？電話中又怎么告訴小頭爸爸呢？要量半徑，正好復習測量長度的方法。還要量圓心角，也就是要學的角的度量。
我挺興奮地與劉堅教授交流，哪知道他說：“您設計得真巧妙！不過，我不主張用這個情境。”我問為什么，他說：“您知道您的影響力嗎？老師們聽課之后會說，這么巧妙的情境只有華應龍老師才能設計出來，不利于大家開發出好的情境。”我點頭稱是。有一天，我躺在床上，發現衣柜里衣領的角是千差萬別的，我又興奮起來。生活中不是沒有銳角或鈍角，而是需要抽象，需要擁有一雙數學的眼睛。進而，我發現牙刷上也有非常講究的角，椅子靠背向后傾斜一定的角······
過了幾天，半夜起床看足球賽。看完之后，似睡非睡間，迷迷糊糊地，我想到了滑梯。如果滑梯的坡度太大或太小，都不合適。這個情境既簡捷又有趣，學生們熟悉，還能引發學習需求。劉堅教授聽說后，十分滿意。
“角的度量”一課教學的難點是什么？是量角器復雜的結構帶來的？為什么學生沒學之前，十有八九總是如圖2所示的量法？我習慣性地去找這樣量的正確之處。恍然大悟：量角的本質不就是重合嗎？十分感謝學生的差錯點醒了我。我尋求的第三個問題“方法和思想的提升”，也有了答案，那就是——重合。
如果不是半圓形量角器，而是直角扇形量角器，學生從頭開始量，就不會有錯了。原來，我教了20多年的數學，量角器的認識都沒有教對。只帶學生認識了中心點、零度刻度線和兩圈刻度，沒有教學生認識量角器上的角在哪兒，我犯了“只見樹木，不見森林”的錯。
我決定“冒天下之大不韙”，帶著學生在量角之前，先畫角。不管哪個版本的教材，都是先量角，后畫角。現在先讓學生在量角器上畫角，其實就是認識量角器上的角。
我用水彩筆在量角器上一畫，不行，根本留不下痕跡。試了幾種筆，都不行。我去西單商場文具柜臺，請教售貨員。售貨員說：“油畫筆就行。”一試，特別清晰。我心滿意足地買了50支油畫筆。
在鄭州的示范教學非常成功。聽課老師們把雙手舉過頭頂為學生們鼓掌的回憶，讓我繼續改進：老師們買不上油畫筆，就沒法借鑒我的教法，怎么辦？在量角器上，用牙簽擺角？1度的角沒法擺。
一個周日的上午，我在辦公室加班，當時的辦公室里有復印機。工作的間隙，鬼使神差，我打開復印機，鋪上四個量角器，合上蓋子，一摁，出來了紙量角器。紙量角器的誕生，為學生畫角帶來了便利。
如此的教學，化錯養正，將錯誤的嘗試最終引導向正確的結果，這正是化錯教育的魅力所在。學生真切感受到的是“失敗是成功之母”，成功真是失敗生出來的。下次再面對失敗、面對差錯時，他的心態是會不一樣的。
朋友，看到這里，您是不是想到——功不唐捐，一切都是最好的安排？您是不是想到——艱難困苦，玉汝于成？
不論是課堂中的學習進程，還是備課中的心路歷程，如果說最后呈現的是正確的，那么之前的就是有差錯的。是錯了，但只差一點，不然就對了。為了突出“差一點就對”的錯，我一般用“差錯”，而不用“錯誤”。差錯中都有正確的因子，堅持正確的方向，
向前走，就會走出差錯，走向詩和遠方。
朋友，如果您“山重水復疑無路”，如果您感覺到了地獄，千萬別停下來，請繼續向前走，正確就在差錯中生長。管子說：“思之，思之，又重思之。思之而不通，鬼神將通之。非鬼神之力也，精誠之極也。”用大家都熟悉的話來說，那就是“愚者千慮，必有一得”。
與您共勉。
