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1.掌握計數常用方法； 2.熟記一些計數公式及其推導方法； 3.根據不同題目靈活運用計數方法進行計數． 本講主要介紹了計數的常用方法枚舉法、標數法、樹形圖法、插板法、對應法等，并滲透分類計數和用容斥原理的計數思想．
一、幾何計數 在幾何圖形中，有許多有趣的計數問題，如計算線段的條數，滿足某種條件的三角形的個數，若干個圖分平面所成的區域數等等．這類問題看起來似乎沒有什么規律可循，但是通過認真分析，還是可以找到一些處理方法的．常用的方法有枚舉法、加法原理和乘法原理法以及遞推法等．n條直線最多將平面分成 在其它計數問題中，也經常用到枚舉法、加法原理和乘法原理法以及遞推法等．解題時需要仔細審題、綜合所學知識點逐步求解． 排列問題不僅與參加排列的事物有關，而且與各事物所在的先后順序有關；組合問題與各事物所在的先后順序無關，只與這兩個組合中的元素有關． 二、幾何計數分類 數線段：如果一條線段上有n+1個點(包括兩個端點)（或含有n個“基本線段”），那么這n+1個點把這條線段一共分成的線段總數為n+(n-1)+…+2+1條 數角：數角與數線段相似，線段圖形中的點類似于角圖形中的邊． 數三角形：可用數線段的方法數如右圖所示的三角形（對應法），因為DE上有15條線段，每條線段的兩端點與點A相連，可構成一個三角形，共有15個三角形，同樣一邊在BC上的三角形也有15個，所以圖中共有30個三角形．
數長方形、平行四邊形和正方形：一般的，對于任意長方形（平行四邊形），若其橫邊上共有n條線段，縱邊上共有m條線段，則圖中共有長方形（平行四邊形）mn個．
模塊二、復雜的幾何計數 【例 1】 如下圖在釘子板上有16個點，每相鄰的兩個點之間距離都相等，用繩子在上面圍正方形，你可以得到 個正方形．
【考點】復雜的幾何計數 【難度】4星 【題型】填空 【關鍵詞】學而思杯，2年級，第4題 【解析】 先看橫著的正方形如下圖⑴，可以得到
⑴ ⑵ ⑶ <考點> 圖形計數 【答案】 【鞏固】 如圖，
【解析】 根據正方形的大小，分類數正方形．共能組成五種大小不同的正方形(如右圖)．
以 故可以組成 【鞏固】 下圖是3×3點陣，同一行(列)相鄰兩個點的距離均為1。以點陣中的三個點為頂點構成三角形，其中面積為1的形狀不同的三角形有 種。
【考點】復雜的幾何計數 【難度】4星 【題型】填空 【關鍵詞】希望杯，四年級，二試，第11題 【解析】 在本題中，三角形的面積是1，底和高只能一個是1，一個是2，可以有以下三種情況： 【答案】 【例 2】 一塊木板上有13枚釘子（如左下圖）。用橡皮筋套住其中的幾枚釘子，可以構成三角形，正方形，梯形，等等（如右下圖）。請回答：可以構成多少個正方形？
【考點】復雜的幾何計數 【難度】4星 【題型】填空 【關鍵詞】華杯賽，初賽，試題，第2題 【解析】 如下圖所示，可以將正方形分為四類，分別有5個、1個、4個、1個，共11個。
【答案】 【例 3】 在3×3的方格紙上（如圖1），用鉛筆涂其中的5個方格，要求每橫行和每豎行列被涂方格的個數都是奇數，如果兩種涂法經過旋轉后相同，則認為它們是相同類型的涂法，否則是不同類型的涂法。例如圖2和圖3是相同類型的涂法。回答最多有多少種不同類型的涂法？說明理由。
【考點】復雜的幾何計數 【難度】3星 【題型】填空 【關鍵詞】華杯賽，決賽，第10題，10分 【解析】不同類型的涂法有3種，如下圖A
說明：①所涂5個陰影方格分布在3行中，只有一行涂有3個陰影方格．同樣，僅有一列涂有3個陰影方格．②所以，僅有一個方格，它所在的行和列均有3個陰影方格，有這種性質的方格稱為“特征陰影方格”．“特征陰影方格”在3×3正方格紙中的位置，就唯一地決定了3×3的方格紙的涂法．“特征陰影方格”在方格紙的角上（圖A左邊）、外邊中間的方格（圖A中間）和中心的方格（圖A右邊）三個位置確定了只有3種類型的涂法． 【答案】 【例 4】 在下面的圖中，包含蘋果的正方形一共有 個．
【考點】復雜的幾何計數 【難度】3星 【題型】填空 【關鍵詞】學而思杯，1年級，第4題 【解析】 包含1個基本正方形的帶蘋果正方形有1個，包含4個基本正方形的帶蘋果正方形有4個，包含9個基本正方形的帶蘋果正方形有6個，包含16個基本正方形的帶蘋果正方形有2個，所以共有 <考點> 圖形的計數方法之——分類計數 【答案】 【鞏固】 圖中，不含“A”的正方形有 個。 【考點】復雜的幾何計數 【難度】3星 【題型】填空 【關鍵詞】希望杯，4年級，1試 【解析】 面積為1的有15個，面積為4的有7個，面積為3的有2個，共24個.
【答案】 【鞏固】 圖中，不含“A”的正方形有____________個。
【考點】復雜的幾何計數 【難度】3星 【題型】填空 【關鍵詞】希望杯，四年級，二試，第10題 【解析】 面積為1的有15個，面積為4的有5個，面積為9的沒有，所以不含A的有20個. 【答案】 【例 5】 在下圖中，不包含☆的長方形有________個．
【考點】復雜的幾何計數 【難度】3星 【題型】解答 【關鍵詞】學而思杯，4年級，第4題 【解析】 根據乘法原理，所有長方形總數為(1+2+3+4+5+6)×(1+2+3+4+5+6)=441(個)，包含☆的長方形有3×3×4×4=144(個)，所以不包含☆的長方形有 【答案】 【例 6】 如圖，其中同時包括兩個☆的長方形有 個．
【考點】復雜的幾何計數 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 先找出同時包括兩個☆的最小長方形，然后其余所有滿足題目要求的長方形都必須包括該最小長方形．根據乘法原理2×2×2×3=24（種）不同的長方形． 【答案】 【例 7】 圖中含有“※”的長方形總共有________個．
【考點】復雜的幾何計數 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 根據本題特點，可采用分類的方法計數．按長方形的寬分類，數出含※號的長方形的個數． 含有左上※號的長方形有： 其中，寬為1(即高度為一層)的含※號的長方形為：6個； 寬為2(即高度為兩層)的含※號的長方形為：6個； 寬為3(即高度為三層)的含※號的長方形為：6個； 含有右上※號的長方形有： 其中，寬為1(即高度為一層)的含※號的長方形為：6個； 寬為2(即高度為兩層)的含※號的長方形為： 寬為3(即高度為三層)的含※號的長方形為：6個； 同時含有兩個※號的重復計算了，應減去，同時含有兩個※號的長方形有： 其中，寬為2(即高度為兩層)的含※號的長方形為：4個； 寬為3(即高度為三層)的含※號的長方形為：4個； 所以，含有※號的長方形總共有： 【答案】 【例 8】 在圖中，包含
【考點】復雜的幾何計數 【難度】3星 【題型】填空 【關鍵詞】學而思杯，2年級，第5題 【解析】 包含五角星的三角形中含一個基本三角形的有 【答案】 【例 9】 右圖中有
【考點】復雜的幾何計數 【難度】3星 【題型】填空 【關鍵詞】學而思杯，2年級，第7題 【解析】 正方形：正著的方塊有4個小的，1個大的，斜的方塊有4個小的，1個大的；以正方形共有10個。三角形：小號的三角形有16個，其中有1個包含★ 中號的三角形有16個，其中有2個包含★ 大號的三角形有8個，其中有3個包含★ 特大號的三角形有4個，其中有2個包含★ 所以三角形有44個，包含★的有8個 【答案】正方形 【例 10】 下圖是5×5的方格紙，小方格為邊長1厘米的正方形，圖中共有_______個正方形，所有這些正方形的面積之和為_______。
【考點】復雜的幾何計數 【難度】3星 【題型】填空 【關鍵詞】走美杯，四年級，初賽，第14題 【解析】 圖中面積為1、4、9、16、25平方厘米的正方形分別有25、16、9、4、1個，共有55個小正方形，所有小正方形的面積和為259. 【答案】 【例 11】 由20個邊長為1的小正方形拼成一個
【考點】復雜的幾何計數 【難度】3星 【題型】解答 【關鍵詞】走美杯，6年級，決賽，10題 【解析】 根據鼠標法，☆左上角共有6個點，右下角有8個點，所以共有長方形有 面積總和為: 【答案】長方形 【例 12】 圖中內部有陰影的正方形共有 個。
【考點】復雜的幾何計數 【難度】3星 【題型】填空 【關鍵詞】希望杯，五年級，一試，第10題 【解析】 面積為1的正方形有8個，面積為4的正方形有8個，面積為9的正方形有8個，面積為16的正方形有2個，共計26個. 【答案】 【例 13】 在圖中(單位：厘米)： ①一共有幾個長方形? ②所有這些長方形面積的和是多少?
【考點】簡單的幾何計數 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 ①一共有 ②所求的和是
【答案】（1） 【鞏固】如圖，其中的每條線段都是水平的或豎直的，邊界上各條線段的長度依次為5厘米、7厘米、9厘米、2厘米和4厘米、6厘米、5厘米、1厘米．求圖中長方形的個數，以及所有長方形面積的和．
【考點】簡單的幾何計數 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 利用長方形的計數公式：橫邊上共有 【答案】長方形共有： 【例 14】 如圖是由18個大小相同的小正三角形拼成的四邊形．其中某些相鄰的小正三角形可以拼成較大的正三角形若干個．那么，圖中包含“
【考點】復雜的幾何計數 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 分三類進行計數(設小正三角形邊長為1)包含*的三角形中， 邊長為1的正三角形有1個； 邊長為2的正三角形有4個； 邊長為3的正三角形有1個； 因此，圖中包含“*”的所有大、小正三角形一共有 【答案】 【例 15】 圖中共有多少個三角形？
【考點】復雜的幾何計數 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 顯然三角形可分為尖向上與尖向下兩大類，兩類中三角形的個數相等．尖向上的三角形又可分為6類L （1）最大的三角形1個(即△ABC)， （2）第二大的三角形有3個 （3）第三大的三角形有6個 （4）第四大的三角形有10個 （5）第五大的三角形有15個 （6）最小的三角形有24個 所以尖向上的三角形共有1+3+6+10+15+24=59（個） 圖中共有三角形2×59=118（個）． 【答案】 【例 16】 圖3，由邊長為1的小三角形拼成，其中邊長為4的三角形有_____個。
【考點】復雜的幾何計數 【難度】3星 【題型】填空 【關鍵詞】希望杯五年級一試第16題，5分) 【解析】 1+2+3=6 【答案】 【例 17】 右圖是半個正方形，它被分成一個一個小的等腰直角三角形，圖中，正方形有 個，三角形有 個。
【考點】復雜的幾何計數 【難度】3星 【題型】填空 【關鍵詞】希望杯，五年級，一試，第7題 【解析】 正方形10個,角形18+15+4+4+1=42 【答案】正方形 【例 18】 如圖，連接一個正六邊形的各頂點．問圖中共有多少個等腰三角形(包括等邊三角形)？
① ② ③ 【考點】復雜的幾何計數 【難度】4星 【題型】解答 【關鍵詞】華杯賽 【解析】 本題需要分類進行討論． ⑴先考慮其中的等邊三角形． 圖①中，六邊形的每1個頂點是某個小號等邊三角形的頂點，而且，每個小號等邊三角形，有且僅有一個頂點是六邊形的一個頂點，既然六邊形有6個頂點，所以圖中有6個小號三角形； 圖②中，六邊形的每一條邊是某個中號等邊三角形的一條邊，而且，每個中號等邊三角形有且僅有一條邊是六邊形的一條邊，既然六邊形有6條邊，所以圖中有6個中號等邊三角形； 圖③中，大號等邊三角形有2個； ⑵再考慮其中非等邊的等腰三角形． 圖中非等邊的等腰三角形，按照面積大小分類有3種類型，見圖④．
④ ⑤ ⑥ 其中小號的等腰三角形有6個，因為這類三角形均以六邊形的一條邊為其邊長，并且，六邊形的每一條邊只唯一對應一個小號等腰三角形，而正六邊形有6條邊，所以有6個小號等腰三角形； 中號的等腰三角形有12個，因為每個中號等腰三角形的長邊都是六邊形的一條非直徑的弦，并且，以非直徑的弦為長邊的三角形有2個，如圖⑤，這樣的弦共有6條，所以有12個中號等腰三角形； 大號的等腰三角形有6個，因為每個大號等腰三角形的長邊都是六邊形的一條直徑，每條直徑上都對應有2個大號三角形，如圖⑥，共有3條直徑，所以有6個大號等腰三角形． 那么圖中共有 【答案】 【例 19】 圖中有 個正方形，有 個三角形。
【考點】復雜的幾何計數 【難度】4星 【題型】解答 【關鍵詞】華杯賽，初賽，第14題 【解析】 邊線是水平或垂直方向的正方形共有 此題也可以計算不同面積的正方形各有多少個，以面積大小數正方形，記最小的正方形面積為1；則面積為1的正方形的個數為36；面積為2的正方形的個數為4；面積為4的正方形的個數為25；面積為9的正方形的個數為16；面積為16的正方形的個數為9；面積為25的正方形的個數為4；面積為36的正方形的個數為1．所以，共有 第2問。方法1：以圖中的最小的直角三角形為計數基本單位數三角形：
【答案】 【例 20】 將右圖中的2007(即陰影部分)分成若干個1×2的小長方形，共有 種分法．
【考點】復雜的幾何計數 【難度】5星 【題型】填空 【關鍵詞】迎春杯，五年級，初賽，15題 【解析】 下圖中用斜線標出的部分是只存在唯一分法的部分，也就是說，實際上只需要考慮未用斜線連接的陰影部分，先把這些方框標記上字母，以便分析．
取 ⑴第一次劃分 所以劃分 ⑵第一次劃分 所以，一共有 【答案】 【例 21】 如右圖是一個跳棋棋盤，請你算算棋盤上共有多少個棋孔？
【考點】復雜的幾何計數 【難度】3星 【題型】填空 【關鍵詞】華杯賽，初賽，試題，第3題 【解析】 把棋盤分割成一個平行四邊形和四個小三角形，如下圖。平行四邊形中棋孔數為9×9＝81，每個小三角形中有10個棋孔。所以棋孔的總數是81＋10×4＝121(個) 【答案】 |
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