初中數學幾何培優(yōu)第三十八講：巧用圓的對稱性（四）

知識解讀

    古希臘數學家畢達哥拉斯認為：“一切立體圖形中最美的是球形，一切平面圖形中最美的是圓形。”圓的美體現在它既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，而且繞圓心旋轉任意的角度都能與自身重合。由圓的對稱性研究了很多重要的定理：同圓或等圓的半徑相等；垂徑定理及其推論；同圓或等圓中，圓心角、弧、弦之間的關系；圓周角定理等。這些性質在證明或計算時往往通過構造直角三角形，使其三邊分別為“弦長的一半，圓的半徑，圓心到弦的距離”，常與勾股定理相結合.巧用圓的對稱性能妙解許多問題，可使解題方法更靈活，思想更豐富，敘述更簡潔，答案更完整。

典例示范

例4如圖1-3-9，在半徑為2的扇形AOB中，∠AOB=90°，點C是上的一個動點（不與點A，B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分別為D，E.

（1）當BC=1時，求線段OD的長；

（2）在△DOE中是否存在長度保持不變的邊？如果存在，請指出并求其長度；如果不存在，請說明理由；

（3）設BD=x，△DOE的面積為y，求y關于x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍.（輔助線作法見文末）

【提示】（1）在△DOB中運用垂徑定理和勾股定理求解；（2）不難發(fā)現D，E是中點，聯(lián)想三角形的中位線定理，DE=?AB，不變；（3）選擇OE作為底，作出OE邊上的高，設法將△DOE的底和高用x表示出來.

拓展訓練

1.如圖1-3-10，等圓⊙O₁與⊙O₂相交于A，B兩點，⊙O₁經過⊙O₂的圓心O₂，點A在x軸的正半軸上，兩圓分別與x軸交于C，D兩點，y軸與⊙O₂相切于點O₁，點O₁在y軸的負半軸上.

①四邊形AO₁BO₂為菱形；

②點D的橫坐標是點O₂的橫坐標的兩倍；

③∠ADB=60°；

④△BCD的外接圓的圓心是線段O₁O₂的中點.

以上結論正確的是________.（寫出所有正確結論的序號）

【提示】①根據題意較容易觀察出AO₁=AO₂=BO₁=BO₂,所以四邊形AO₁BO₂為菱形；②過點O₂作O₂E⊥AD，根據垂徑定理得：E為AD中點，所以點D的橫坐標是點O₂的橫坐標的兩倍是錯的；③根據題意較容易觀察出△BO₁O₂與△AO₁O₂是等邊三角形，所以的度數=120°，根據圓周角定理即可求出∠ADB的大小；④根據題意知，O₁O₂是△DCB的中位線，而中位線的中點不是三角形的外接圓的圓心。

例題4圖解如下：