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新證明區分神秘而強大的“模形式” 使用“令人耳目一新的古老”工具，數學家們解決了50年前關于如何對模形式（一類重要函數）進行分類的猜想，這對數論和理論物理產生了影響。
這個模形式的圖形使用了顏色和高度描繪了其復數值。 在一個新的證明中，一個長期被忽視的數學對象終于成為人們關注的焦點。 乍一看，模形式——幾個世紀以來，其豐富的對稱性吸引了數學家的函數——似乎已經引起了足夠的關注。它們出現在各種各樣的問題中：它們是安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles）1994年證明費馬大定理的關鍵成分，該定理解決了數論中最大的懸而未決的問題之一。它們在朗蘭茲綱領中發揮著核心作用，這是一個不斷發展“大統一數學理論”的持續努力。它們甚至被用來研究弦理論和量子物理學中的模型。 但是在這些上下文中出現的模形式屬于特殊類型。所謂的congruence“同余”模形式擁有額外的結構，使它們更容易研究。但是更一般的“非同余”模形式遠遠超過它們的友好的同余模形式。“如果你隨機取一個模形式，那它是同余模形式的概率為1，”加拿大麥克馬斯特大學的數學家Cameron Franc說。“除非你有充分的理由遇到同余模形式，否則你不要指望。它們非常罕見。 然而，數學家對非同余模形式知之甚少，盡管它們無處不在。“它們完全是神秘的，”劍橋大學數學家安東尼·肖爾（Anthony Scholl）說。不僅對這樣一個一般的函數類做出包羅萬象的陳述很難，而且為研究在非同余情況下分解模形式而開發的工具也很難。這讓數學家們不確定他們應該試圖證明什么。 然而，關于非同余模形式的一個主要猜想長期以來一直很突出：就像沙漠中一個孤獨的、不穩定的路標。 1968年，數學家Oliver Atkin和Peter Swinnerton-Dyer（BSD猜想提出者之一，zzllrr小樂譯注）注意到非同余模形式似乎有一個特別明顯的性質，將它們與同余模形式區分開來。應該有這樣一種公然的方式區分兩者“真的非常令人驚訝，”加州大學圣克魯斯分校的數學家Geoffrey Mason說。同余和非同余模形式非常不同，因為非同余模形式缺乏同余模形式所具有的對稱性。但這些差異雖然重要，但可能很微妙，難以察覺。 突然之間，這些差異的明顯證據顯而易見。 Atkin和Swinnerton-Dyer的觀察后來被稱為“無界分母”（unbounded denominators）猜想。如果這是真的，它將允許數學家在大部分未開發的非同余對象領域站穩腳跟。通過提供一種簡單的方法來識別給定的模形式屬于哪個類，該猜想還可以將理論物理學中的一個主要項目 - 旨在理解稱為共形場論的粒子相互作用模型 - 置于更堅實的數學基礎上。 但50多年來，沒有人能證明這一點。最終，在 2021 年底，三位數學家成功了。他們的證明似乎憑空而來，采用了沒有人期望在這個研究領域看到的技術。數學家和物理學家現在開始探索這項工作的結果。 對稱性和結構 非同余模形式并不總是被降級到邊緣。 在19世紀，數學家剛剛開始發展模形式的理論。這是給一種特殊類型的高度對稱函數的名稱 - 它存在于復平面的上半平面中。 復平面是一種繪制復數的方法，復數分為兩部分：實數和虛數。模形式輸入值是虛部為正數（對應于平面的上半部分）的復數。（上半平面可以很容易地映射到單位圓盤的內部；模形式通常使用此映射進行描述。）
同余模形式（左）具有非同余模形式（右）所缺乏的附加結構。 模形式的許多對稱性是根據 2×2 矩陣（四個數字的方形數組）的特殊集合或“群”定義的。在模形式中，這四個數字始終是整數。至關重要的是，與確定其某些屬性的矩陣相關的數字（稱為行列式determinant）必須為 1。 有無限多的這樣的矩陣集。在某些群中，矩陣可以用相對簡單的規則來描述。例如，在所有矩陣中，右上角和左下角的元素可能是偶數，而其他兩個元素是奇數。或者，右上角和左下角的元素可以被 11 整除，而其他兩個元素都比11的倍數多 1。 可以用這些關系定義的群——以及與這些群相關的模形式——是被廣泛研究的同余群。 但它們就像大海撈針：大多數 2×2 矩陣的集合不能以這種方式用很好的規則來表征，這使得它們及其相關的模形式不一致。 直到 1930 年代后期——大約在第二次世界大戰開始時——同余模形式的研究才開始超越非同余模形式的研究。就在那時，德國數學家埃里希·赫克（Erich Hecke）開發了一個工具箱，使他能夠確定模形式的許多屬性，并將它們與其他重要的數學對象相關聯。 Hecke的方法只適用于同余群及其模形式。非同余群缺乏使Hecke工具箱有效的額外結構。“當你移動到非同余世界中時，你在同余世界中擁有的這個東西就會消失，”Franc說。 因此，非同余模形式似乎注定要永遠被忽視。這并不是說它們沒有任何自己的特殊結構，潛伏在表面之下。正如Swinnerton-Dyer的合作者Bryan Birch（BSD猜想另一共同提出者，zzllrr小樂譯注）曾經寫道的那樣，“雖然結構更神秘，但似乎幾乎一樣豐富。”但是當涉及到訪問這種結構時，數學家們卻不知所措。他們甚至不知道從哪里開始。 這時Atkin和Swinnerton-Dyer登場了。 整潔的標準 這兩位數學家想知道更多關于非同余模形式，以及他們可能隱藏的任何秘密。 “這總是數學進步的方式，”賓夕法尼亞州立大學的數學家李文卿（Winnie Li）說。“你研究具有非常特殊屬性和更多結構的東西。然后你去概括它，試圖了解哪些屬性會延續，哪些不會。 為了研究給定的模形式，數學家通常將其表示為稱為q展開式（q-expansion，一種特殊類型的冪級數）的無限和，然后分析該展開的系數。眾所周知，如果給定的模形式是同余的，那么系數的分母永遠不會大于某個固定值。 在1960年代，Atkin和Swinnerton-Dyer計算了q展開式的分數和模形式的分數。當他們這樣做時，他們注意到，如果模形式是不同余的，那么其相關數列中的分母就會無限制地增長。“他們實際上可以對這些神秘的非同余形式說些什么，”加州大學伯克利分校的數學家唐云清（首位獲拉馬努金獎的華人女數學家，2022年）說。 2021年元旦，高等研究院的數學家 Vesselin Dimitrov 給兩位同事發了一封電子郵件，講述了“一個一廂情愿的想法”：他想應用他們一直在研究的技術來解決一個完全不相關的問題，即無界分母猜想。 區分這兩種類型的模形式真的這么容易嗎？ 數學家們在1968年加利福尼亞的一次會議上提到了他們的觀察結果，表明無界分母可能是非同余模形式的普遍標志。這個猜想“非常驚人”，達特茅斯學院的數學家約翰·沃伊特（John Voight）說。“它給了我們一個整潔的標準來決定一個模形式是否屬于同余群”——對于數論者來說，這是一個非常方便的試金石，在其他情況下可能很難檢測到。 “這幾乎好得令人難以置信，”他補充說。“人們真的不指望出現這樣的奇跡。” 事實上，沒有人能證明無界分母的猜想。李文卿和其他少數人能夠證明對于非同余模形式的特定族是正確的，但數學家不知道如何處理一般情況。 然后在 2021年9月，唐與芝加哥大學的Frank Calegari和高等研究所的Vesselin Dimitrov一起發布了一份50頁的證明。“這太神奇了，真的很出乎意料，”Frank說。“感覺（數學）社區對如何處理這個問題沒有任何想法。” 作者希望他們的論文是將沙漠中的路標發展成成熟道路網絡的第一步。“我們通過為最簡單的問題提供答案，為數論的這一部分做出了微薄的貢獻，”Dimitrov說。 回到老路 Calegari、Dimitrov和唐并沒有著手解決無界分母猜想。在2019年底，他們希望證明某個數字（黎曼zeta函數的類似值）是無理的——就像2的平方根一樣，它不能寫成分數。（他們的最終目標是證明這個數字和其他類似的數字是超越的，這意味著，與數字π和e一樣，它們不能寫為具有整數系數的多項式方程的解。） 從表面上看，這個問題是完全無關的。但在2021年元旦，Dimitrov在新的一年里給其他人發了一封電子郵件，他在電子郵件中描述了 “一廂情愿的想法”：也許他們在過去一年中開發的技術可以重新用于證明無界分母猜想。 他們試了一下。在七個月內，他們得到了證明。
在證明了無界分母猜想之后，加州大學伯克利分校的數學家唐云清（Yunqing Tang）繼續與她的兩位合著者合作，研究最初激發證明的問題。“我們正在努力完成我們開始的事情，”她說。 首先，他們考慮了兩個空間：所有具有有界分母的模形式的空間，以及所有同余模形式的空間。根據無界分母猜想，這兩個空間應該是相同的。由于空間滿足某些屬性，數學家只需要證明它們的大小相同。這樣做將自動暗示它們的等價性。 Calegari、Dimitrov 和唐可以相對容易地計算第二個空間的大小，從而獲得一種同余模形式的粗略計數。但是很難得到第一個空間的大小估計。他們必須結合許多不同的技術——包括來自超越數論的技術。 使用這些方法，他們表明具有有界分母的模形式的空間最多可以達到一定的大小。該最大大小比同余模形式的空間大小略大。盡管如此，這一步“確實是證明的核心，”巴黎薩克雷大學（Paris-Saclay University）的數學家讓-貝努瓦·Bost（Jean-Beno?t Bost）說。“你需要很大的毅力才能做到這一點。（Calegari、Dimitrov和唐以幾種不同的方式證明了這種空間大小的界，可能給他們的技術帶來更廣泛的應用。） “這是非常古典、美麗的數學，帶有19世紀的味道，”法國巴黎綜合理工學院（école Polytechnique）的數學家哈維爾·弗雷桑（Javier Fresán）說。 然后，三人需要縮小兩個空間之間的差距。這樣做將確定任何具有有界分母的模形式必須是同余的。
因此，他們假設了相反的情況：存在具有有界分母的非同余模形式。根據定義，它將生活在Calegari、Dimitrov和唐試圖縮小的間隙中。然后，這三人表明，這種非同余模形式的存在自動暗示了許多其他具有有界分母的非同余模形式的存在。仿佛整片森林都是從那顆種子長出來的。 但他們已經確定了間隙的最大大小 - 它太小了，無法容納那么多非同余形式。 這意味著即使是一種這樣的形式也不可能存在。他們證明了Atkin和Swinnerton-Dyer幾十年前的猜想。 數學家發現工作中使用的技術比結果本身更有趣。“這些想法以前從未用于研究模形式的算術，”Scholl說。 正如Voight所解釋的那樣，盡管模形式的研究最初是復分析領域的一部分，但目前的工作一直是數論和代數幾何的范圍。他說，這篇新論文標志著對復分析的回歸：“這是一個令人耳目一新的古老觀點。 尋找新理論 數學家并不是唯一對無界分母猜想感到興奮的人。它也出現在理論物理學中。 在1970年代，另一個故事與Atkin和Swinnerton-Dyer開始的故事同時展開。數學家們注意到一個叫做魔群（Monster Group）的對象和一個叫做j函數的模形式之間有一種奇怪的聯系。j函數的系數精確地反映了魔群的某些性質。 后來的研究表明，這種聯系是由于群和模形式都與稱為二維共形場論的重要粒子相互作用模型有關。 但是，將魔群與j函數聯系起來的共形場論只是無數共形場論的一個例子。雖然這些理論沒有描述我們生活的宇宙，但理解它們可以對更現實的量子場論的行為產生新的見解。 因此，物理學家繼續通過觀察它們相關的模形式來研究共形場論。（在這種情況下，物理學家使用更一般的模形式概念，稱為向量值模形式。 為了了解特定共形場論的情況，你必須證明它的模形式是同余的，愛爾蘭戈爾韋大學的數學家和理論物理學家Michael Tuite說。然后，你可以開始描述共形場論，甚至可以發現你不知道要尋找的新場論。這對于對所有共形場論進行分類的持續努力尤其重要 - 物理學家稱之為模引導的項目。 “一旦你知道它是一個同余模形式，它使你能夠在這個項目中取得巨大的進步，”Mason說。 物理學家開發了一個框架，允許他們為正在研究的模形式假設這種同余性質。但這并不等同于擁有嚴格的數學證明——雖然其他數學家后來能夠提供這樣的證明，但他們的論點只在某些環境中有效。根據Mason的說法，它還涉及通往同余的“一條非常曲折、錯綜復雜的道路”，盡管他也指出，這條錯綜復雜的道路產生了重要的見解。 Calegari、Dimitrov和唐對無界分母猜想的證明打破了這一切。這是因為，事實證明，與共形場論相關的模形式總是具有整數系數。根據定義，整數的分母為 1，這意味著它們的分母始終是有界的。由于無界分母猜想指出有界分母僅與同余模形式相關，因此不再需要做出假設。“你甚至不需要了解[共形場論]，”唐說。新的證明會自動為所有這些情況提供同余性 —— 以免費的方式。
芝加哥大學的數學家弗蘭克·卡萊加里（Frank Calegari）研究模形式和相關數學對象。 “這是幾十年來一直存在的東西，”Bost說。現在終于解決了。 “這真的是一個奇跡，”Mason說。“這只是奇跡般地從這些數列是整數的事實中得出的。” 他已經開始將結果應用到自己的工作中。“從那篇論文出現的那天起，我就一直在使用它，”他說。“它為我想要解決的結果提供了一個非常受歡迎的捷徑。它削減了大量我無法看到的潛在工作。” 它還將模引導項目和其他結果置于更強大的數學基礎上。“這將使數學家能夠重新證明[以前的]結果，或者相信它們，”Mason說。 “我認為這真的會產生影響，特別是在數學方面，只是真的，真的把事情聯系起來，確切地了解正在發生的事情，”Tuite說。 數學超越性 在他們發布證明后的一年里，Calegari、Dimitrov和唐繼續他們的合作。他們現在又回到了超越數論中最初激發他們對猜想興趣的問題類型。“我們正在努力完成我們開始的事情，”唐說。事實上，他們已經用他們的技術來證明幾個感興趣的數字是無理數。 “他們真的把[方法]推向了極限，”Fresán 說。“我對此感到非常興奮。” 這些方法也可能適用于數論中的其他問題。 撇開技術不談，無界分母猜想的解決標志著更好地理解非同余模形式的第一個重要里程碑之一。“這是一個了不起的成就，我們可以通過這種方式在不同余形式上取得一些進展，”Franc說。“我對未來10年，20年感到興奮，看看會發生什么。” 李文卿，Voight和其他人已經開始尋找出現在這些神秘模形式分母中的數字模式。他們希望通過這樣做，可以找到更深層次結構的暗示。 “這個無界分母的猜想只是一個開始，”李文卿說。 作者：Jordana Cepelewicz 2023-3-9 |
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