全同粒子:不可區(qū)分的微觀世界|全同粒子|原子|玻色子|..._...

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全同粒子

不可區(qū)分性

全同粒子是指靜止質(zhì)量\mu、電荷Q、自旋S等固有性質(zhì)，或稱為內(nèi)稟性質(zhì)完全相同的微觀粒子。例如，所有的電子式全同粒子，所有的質(zhì)子也是全同粒子。

考慮由兩個全同粒子構(gòu)成的體系，設(shè)這兩個全同粒子都在外場中運(yùn)動，它們之間還可能存在相互作用。在時間t為0的時刻，可以給這兩個粒子編號為第一個粒子和第二個粒子。

在經(jīng)典力學(xué)中可以認(rèn)為，根據(jù)它們的運(yùn)動軌道，在任意t時刻仍然可以區(qū)分哪一個是第一個粒子、哪一個是第二個粒子，即兩個全同粒子仍是可區(qū)分的

在量子力學(xué)中，體系的狀態(tài)使用波函數(shù)\Phi來描寫的，其中q_1包含第一個粒子的位置坐標(biāo)r_1和自旋坐標(biāo)s_{1z}，q_2包含第二個粒子的位置坐標(biāo)r_2和自旋坐標(biāo)s_{2z}，在量子力學(xué)中的全同粒子并不一定是可以區(qū)分的。

設(shè)兩個全同粒子分別置于兩個絕熱盒A和B中，兩盒之間的隔板是不可穿透的絕熱板。設(shè)A中的粒子能量較高，而B中的粒子能量較低，兩個全同粒子的波函數(shù)無重疊。

顯然，在A中發(fā)現(xiàn)的粒子總是能量較高的第一個粒子，在B中發(fā)現(xiàn)的粒子總是能量較低的第二個粒子，這說明當(dāng)兩個全同粒子的波函數(shù)無重疊時，這兩個全同粒子仍是可以區(qū)分的。

由此可推知，當(dāng)兩個全同粒子不可區(qū)分時，它們的波函數(shù)必有重疊。

如果人為地將兩個全同粒子交換，則A中的粒子將變?yōu)槟芰枯^低的粒子，而B中的粒子將變?yōu)槟芰枯^高的粒子。如果只交換兩個全同粒子的坐標(biāo)，則波函數(shù)中q_1和q_2的位置交換。

由于上述兩個粒子被封閉在不同的絕熱盒中，所以這種交換相當(dāng)于第一個粒子仍在A中而坐標(biāo)處在B中，以及第二個粒子仍在B中而坐標(biāo)處在A中的情況實(shí)際上這種交換是不可能進(jìn)行的，這種交換能夠進(jìn)行的必要條件是兩個全同粒子的波函數(shù)存在重疊。

為了使這種交換能夠進(jìn)行，可以將隔板抽出。當(dāng)隔板抽去后，這種交換實(shí)際上是兩個全同粒子自動進(jìn)行的交換，這使得兩個波包很快融合在一起而過渡到平衡狀態(tài)。這時，兩個全同粒子處在高能態(tài)的概率相同，處在低能態(tài)的概率也相同，實(shí)際上各種概率都相同，從而使得兩個全同粒子不可區(qū)分。

可見，全同粒子之所以不可區(qū)分，是由于各全同粒子的波函數(shù)存在重疊時，全同粒子之間進(jìn)行自動交換的結(jié)果。

設(shè)有兩個相距很遠(yuǎn)的束縛態(tài)氫原子A與B，其中兩個電子的波函數(shù)無重疊，所以這兩個電子仍可區(qū)分。

在氦原子中也有兩個電子，由于這兩個電子的波函數(shù)存在重疊，所以是不可區(qū)分的。

交換對稱性與全同性原理

在由N個全同粒子構(gòu)成的體系中，設(shè)算符E_{ij}表示將第i個粒子與第j個粒子進(jìn)行人為交換的算符，設(shè)算符P_{ij}表示將第i個粒子的坐標(biāo)q_i與第j個粒子的坐標(biāo)q_j進(jìn)行自動交換的算符。由于全同粒子的固有性質(zhì)完全相同，所以算符P_{ij}也可視為將第i個粒子與第j個粒子進(jìn)行自動交換的算符。

算符E_{ij}與算符P_{ij}的區(qū)別為：無論第i個粒子與第j個粒子的波函數(shù)是否存在重疊，算符E_{ij}總是存在的。而算符P_{ij}只在第i個粒子與第j個粒子的波函數(shù)重疊時才存在。

下面主要考慮算符P_{ij}。設(shè)N個全同粒子體系的哈密頓算符為：

其中，算符H_i表示第i個粒子的動能算符與在外場中的勢能算符之和，W_{ij}表示第i個粒子與第j個粒子之間的相互作用能。因?yàn)?/span>

所以在上式右邊第二項(xiàng)中應(yīng)含因子二分之一。

算符H具有下述交換對稱性

即

由“力學(xué)量平均值”一節(jié)

可以得知：如果算符F和算符H可以對易，且算符F不顯含t，則F的平均值對時間的導(dǎo)數(shù)為0，即F的平均值為運(yùn)動恒量。

因?yàn)樗惴鸓_{ij}只有在第i個粒子與第j個粒子的波函數(shù)存在重疊時才存在，所以當(dāng)算符P_{ij}只在一段時間內(nèi)存在，或者時而存在時而不存在時，算符P_{ij}應(yīng)視為與時間t有關(guān)的算符。

因?yàn)樽詣咏粨Q是否存在，對算符E_{ij}的作用結(jié)果有影響，所以這時算符E_{ij}也應(yīng)視為與時間t有關(guān)的算符。

如果只考慮算符P_{ij}存在時的一段時間，則根據(jù)對易式，可以認(rèn)為在這段時間內(nèi)，算符P_{ij}的平均值是運(yùn)動恒量。

體系的波函數(shù)\Phi應(yīng)滿足的薛定諤方程為：

將算符E_{ij}與算符P_{ij}作用于上式得

如果第i個粒子與第j個粒子得波函數(shù)無重疊，則上式中只存在第一式。將此式與薛定諤方程比較可知，若\Phi式薛定諤方程的解，則作用了算符E_{ij}之后，也是薛定諤方程的解。此時，雖然它們可能是相同的解，但也可能是彼此獨(dú)立的解。

如果第i個粒子與第j個粒子的波函數(shù)存在重疊，則兩式中第一式是在全同粒子自動交換的基礎(chǔ)上進(jìn)行的人為交換，這種交換應(yīng)與第二式的效果相同，所以只需考慮第二式即可。這時，波函數(shù)\Phi與作用算符P_{ij}后的波函數(shù)\Phi應(yīng)該是相同性質(zhì)的解，從而引出全同性原理。

全同性原理可以表述為：當(dāng)兩個或多個全同粒子的波函數(shù)存在重疊時，交換其中的全同粒子不引起物理狀態(tài)的改變。全同性原理是量子力學(xué)的基本假設(shè)之一。

應(yīng)注意，如果第i個粒子與第j個粒子的波函數(shù)只在一段時間內(nèi)重疊，則算符P_{ij}只在這段時間內(nèi)存在，這兩個粒子之間的全同性原理也只在這段時間內(nèi)起作用。

根據(jù)全同性原理，波函數(shù)\Phi與作用算符P_{ij}后的波函數(shù)\Phi應(yīng)該描寫體系的同一個狀態(tài)，所以只能相差一個常數(shù)因子，以\lambda表示這個常數(shù)因子得到：

根據(jù)

可以得到

則上式化為

上兩式表示全同粒子波函數(shù)在算符P_{ij}存在時的交換對稱性。滿足作用算符P_{ij}后不變的\Phi稱為對稱波函數(shù)，滿足作用算符P_{ij}后變號的\Phi稱為反對稱波函數(shù)。

如果在一個包含有非全同粒子與全同粒子的體系中，只有其中一部分全同粒子的波函數(shù)存在重疊，則對于這一部分粒子而言，上述討論同樣適用。 

費(fèi)米子與玻色子

實(shí)驗(yàn)表明，自旋為半奇數(shù)的全同粒子組成的體系，在全同粒子的自動交換中，體系的波函數(shù)是反對稱的。這類粒子服從費(fèi)米狄拉克（Fermi-Dirac）統(tǒng)計，因而被稱為費(fèi)米子（fermion）。

自旋為0或正整數(shù)的全同粒子組成的體系，在全同粒子的自動交換中，體系的波函數(shù)是反對稱的。這類粒子服從玻色愛因斯坦（Bose-Einstein）統(tǒng)計，因而被稱為費(fèi)米子。

如果一個粒子由多個費(fèi)米子與多個玻色子構(gòu)成，則當(dāng)這個粒子中包含奇數(shù)個費(fèi)米子時，這個粒子便是費(fèi)米子。當(dāng)這個粒子中包含偶數(shù)個費(fèi)米子時，這個粒子便是玻色子。這個結(jié)論很容易從角動量的耦合性質(zhì)，或體系的波函數(shù)在全同粒子的自動交換對稱性中得到。

例如，一個氫原子，從角動量耦合性質(zhì)可知，氫原子中的電子和質(zhì)子的自旋都是二分之一，它們的耦合只能為0或1，而相對軌道角動量的角量子數(shù)l只能為0或正整數(shù)，進(jìn)一步耦合得到的氫原子的總自旋也只能為0或正整數(shù)，所以氫原子是玻色子。

如果考慮兩個內(nèi)部狀態(tài)相同的全同氫原子之間進(jìn)行的自動交換，則這種交換相當(dāng)于交換了一對全同電子和一對全同質(zhì)子，因?yàn)殡娮雍唾|(zhì)子都是費(fèi)米子，所以交換后體系的波函數(shù)相當(dāng)于交換前體系的波函數(shù)改變符號兩次，因而體系的波函數(shù)不變，由此同樣可得知?dú)湓邮遣Ｉ印?/span>

多個內(nèi)部狀態(tài)相同的氫原子體系是全同玻色子體系。

后面的各節(jié)只涉及交換算符P_{ij}，而不涉及算符E_{ij}。凡用到算符P_{ij}時，均認(rèn)為算符P_{ij}時存在的，算符P_{ij}只是全同粒子之間的自動交換算符。

薛定諤方程在不考慮波函數(shù)對稱性時的解

考慮定態(tài)問題，設(shè)體系由N個全同粒子組成，粒子之間都可以自動交換，哈密頓算符為H，則定態(tài)薛定諤方程為：

對于全同玻色子體系，要求\Phi是對稱的。對于全同費(fèi)米子體系，要求\Phi是反對稱的。求解上式時，通常先不考慮對\Phi的對稱性要求，求出\Phi后再利用\Phi構(gòu)成滿足對稱性要求的波函數(shù)。

當(dāng)粒子間無相互作用時，算符H可以表示為

利用分離變量法可以將這個方程化為N個單粒子方程。

其中下標(biāo)i從1到N。由上式可以求出單粒子的能級\epsilon_{k_i}和對應(yīng)的本征函數(shù)\phi_{k_i}。如果能級\epsilon_{k_i}有簡并，則可將\phi_{k_i}中的下標(biāo)k_i視為兩個數(shù)的集合，其中一個為表示能級的量子數(shù)，另一個為表示簡并的序數(shù)。

當(dāng)考慮束縛態(tài)時，\epsilon_{k_i}為分立譜，\phi_{k_i}的正交歸一條件為

上式的積分表示對位置坐標(biāo)積分和對自旋坐標(biāo)求和。設(shè)\phi_{k_i}表示第i個粒子處在第k_i個單粒子的本征態(tài)上，則不考慮波函數(shù)的對稱性要求時，體系的波函數(shù)為

體系處在\Psi態(tài)時的總能量為

如果將第i個粒子與第j個粒子交換，則由上式可知，總能量E保持不變，記為

當(dāng)算符P_{ij}作用于體系波函數(shù)的表達(dá)式時，下標(biāo)k_i與k_j發(fā)生交換。如果兩個下標(biāo)相等，則交換后波函數(shù)不變。如果兩個下標(biāo)不相等，則交換后波函數(shù)改變。

將各種算符P作用于薛定諤方程可知，作用的結(jié)果都是對應(yīng)于同一本征能量E的本征函數(shù)，可見，能級是簡并的。

除了單粒子方程可能出現(xiàn)的簡并外，由于全同粒子的交換而產(chǎn)生的簡并稱為交換簡并。交換簡并只有在不考慮全同粒子波函數(shù)的對稱性要求時才出現(xiàn)。通過兩個和多個全同粒子的各種交換得到的獨(dú)立波函數(shù)的個數(shù)f，即為交換簡并度。

顯然，處在相同狀態(tài)的全同粒子的交換，不可能得到不同的波函數(shù)。若以置換算符P表示處于不同狀態(tài)的全同粒子之間進(jìn)行的某種交換，例如兩個粒子的交換或多個粒子的交換，并認(rèn)為各置換算符P的集合也包含不作交換的情況在內(nèi)，即包含單位算符，則波函數(shù)P\Psi的個數(shù)就是交換簡并度f。

設(shè)有n_\nu個粒子處在\phi_{k_i}態(tài)，總和為N，則根據(jù)排列組合的知識可知，交換簡并度f為

當(dāng)各全同粒子所處的狀態(tài)完全不同時，交換簡并度f就是n的階乘。當(dāng)各全同粒子所處的狀態(tài)完全相同時，交換簡并度f為1，這時無交換簡并。

根據(jù)各個單粒子方程的正交歸一條件可以得到：

其中dq為對全體N個粒子求積分。

泡利不相容原理

當(dāng)\Psi確定后，由各種置換得到的P\Psi的任意線性組合，都是薛定諤方程的解。

由各個P\Psi的某種線性組合可以構(gòu)成描寫全同玻色子體系的對稱波函數(shù)\Psi_S為：

其中\(zhòng)Psi為體系波函數(shù)表達(dá)式。由交換簡并度f可知，上式的求和中總共有f項(xiàng)，所以歸一化系數(shù)為f的倒數(shù)開根號。根據(jù)正交歸一條件，可以證得\Psi_S是歸一化的。

當(dāng)用算符P_{ij}作用于上式時，對P\Psi作用后的各項(xiàng)之和與作用前P\Psi的各項(xiàng)之和是相同的，只是求和中各項(xiàng)的次序可能有所變化，所以由上式得到的\Psi_S是對稱波函數(shù)。

由各P\Psi的某種線性組合可以構(gòu)成描寫全同費(fèi)米子體系的反對稱波函數(shù)\Psi_A為

上式中行列式展開后的每一項(xiàng)都是某種P\Psi的形式。當(dāng)算符P_{ij}作用于上式時，在行列式中相當(dāng)于兩列互換，這使行列式改變符號，所以由上式得到的\Psi_A是反對稱波函數(shù)。

設(shè)置換P中相當(dāng)于進(jìn)行了n_P次兩個粒子的交換，則上式可以改寫為

如果N個全同費(fèi)米子所處的狀態(tài)\phi_{k_1}到\phi_{k_N}中，有兩個態(tài)相同，則在上式中的行列式中，有兩行相同，因此行列式等于0。可見，不能有兩個或兩個以上的費(fèi)米子處于同一狀態(tài)，這就是泡利不相容原理，簡稱泡利原理。

泡利不相容原理只在能進(jìn)行自動交換的全同費(fèi)米子中起作用。當(dāng)N個全同費(fèi)米子之間能進(jìn)行自動交換時，由于各費(fèi)米子所處的狀態(tài)不同，則由交換簡并度f以及行列式可知，\Psi_A的求和中總共有N的階乘項(xiàng)，所以歸一化系數(shù)為N的階乘的倒數(shù)開根號。根據(jù)歸一化條件，可證\Psi_A是歸一化的。

粒子間的相互作用不能忽略的情況

當(dāng)N個全同粒子體系的粒子之間存在相互作用時，體系的總能量E通常不能表示為各單粒子能量之和的形式，但仍可證明交換簡并依然存在。

設(shè)薛定諤方程對應(yīng)本征能量E的解為\Psi，以算符P_{ij}作用于方程得到

則

將上式中的積分變量q_i和q_j互換后，其積分值應(yīng)當(dāng)不變。而當(dāng)q_i和q_j互換后，算符H保持不變，波函數(shù)\Psi經(jīng)過算符P_{ij}作用，再變量互換后變?yōu)椴ê瘮?shù)\Psi。于是得到

所以在波函數(shù)\Psi前作用任意的算符P_{ij}，結(jié)果都是對應(yīng)于同一本征能量E的本征函數(shù)，這就證明了交換簡并仍舊存在。

當(dāng)不考慮全同粒子體系波函數(shù)的對稱性質(zhì)時，由薛定諤方程可以求出本征函數(shù)組\Psi，然后根據(jù)全同玻色子體系的對稱波函數(shù)表達(dá)式可以構(gòu)成對稱函數(shù)組\Psi_S，根據(jù)全同費(fèi)米子體系的反對稱波函數(shù)表達(dá)式可以構(gòu)成反對稱函數(shù)組\Psi_A。此外，若N大于2，則還可以利用\Psi構(gòu)成各種混合對稱函數(shù)組。

對稱函數(shù)組\Psi_S對于N個全同玻色子體系構(gòu)成完備基組，反對稱函數(shù)組\Psi_A對于N個全同費(fèi)米子體系構(gòu)成完備基組。但應(yīng)注意，當(dāng)N大于2時，本征函數(shù)組\Psi并不能對對稱函數(shù)組\Psi_S與反對稱函數(shù)組\Psi_A展開，這說明此時，將\Psi_S與\Psi_A合在一起，對于\Psi而言也不是完備基組。

兩個全同粒子組成的體系

當(dāng)不考慮波函數(shù)的對稱性質(zhì)時，設(shè)\Psi時定態(tài)薛定諤方程的解，則

其中\(zhòng)Psi_S是前一項(xiàng)經(jīng)過歸一化后得到的對稱波函數(shù)，\Psi_A是后一項(xiàng)經(jīng)過歸一化后得到的反對稱波函數(shù)。用算符P_{12}作用于上式得

以上兩式表明，對于兩個全同粒子組成的體系，將\Psi_S與\Psi_A合在一起對于\Psi與算符P_{12}作用后的\Psi而言構(gòu)成完備基組。由以上兩式可得

如果\Psi是對稱的，則由上式只能得到\Psi_S。如果\Psi是反對稱的，則由上式只能得到\Psi_A。如果等式右端兩個函數(shù)相互獨(dú)立，則由上式可以得到\Psi_S與\Psi_A。

如果不考慮自旋軌道耦合，則哈密頓算符可以寫為兩部分之和，其中一部分只與位置有關(guān)，另一部分只與自旋有關(guān)，自旋這部分也可以為0，則由求解薛定諤方程的分離變量法可知，波函數(shù)可以表示為

對稱波函數(shù)\Psi_S與反對稱波函數(shù)\Psi_A可用下述方法構(gòu)成

上式中的\Psi_S對于兩個全同玻色子體系構(gòu)成完備基組。

上式中的\Psi_A對于兩個全同費(fèi)米子體系構(gòu)成完備基組。

對于N大于2的多個全同粒子，如果不考慮自旋軌道耦合，則同樣有

但完備的\Psi_S與完備的\Psi_A不能根據(jù)兩個粒子完備基組的表達(dá)式構(gòu)成，而應(yīng)根據(jù)全同玻色子或費(fèi)米子體系的波函數(shù)表達(dá)式得到。

兩個電子的對稱自旋波函數(shù)和反對稱自旋波函數(shù)

考慮由兩個電子和外場構(gòu)成的體系，如氦原子、氫分子，設(shè)哈密頓算符H近似地與自旋無關(guān)，則體系的波函數(shù)可以寫為一個與位置有關(guān)的部分和一個與自旋有關(guān)的部分之積，這個與自旋有關(guān)的部分就是自旋波函數(shù)x。因?yàn)樗惴鸋與自旋無關(guān)，所以沒有相應(yīng)的方程限制兩個電子的自旋狀態(tài)，只有全同性原理對兩個電子的自旋狀態(tài)有影響。

當(dāng)不考慮自旋波函數(shù)的對稱性質(zhì)時，可以取自旋波函數(shù)x為：

等式的右端是算符s_{1z}和算符s_{2z}的共同本征函數(shù)。因?yàn)?/span>

所以等式右端就是無耦合表象中，算符s_1平方、算符s_{1z}、算符s_2平方、算符s_{2z}的共同本征函數(shù)。

由兩個全同費(fèi)米子構(gòu)成的完備基組可知，兩個電子的自旋波函數(shù)，在不考慮自旋軌道耦合時，應(yīng)該是對稱的或者反對稱的，利用上述等式右端的表達(dá)式可以構(gòu)成兩個電子的對稱自旋波函數(shù)x_S和反對稱自旋波函數(shù)x_A為

可以驗(yàn)證，上述四個等式左端均為

兩個算符的共同本征函數(shù)，也就是耦合表象中算符s_1平方、算符s_2平方、算符s平方、算符s_z的共同本征函數(shù)。因?yàn)?/span>

所以s的值為0與1。

在x_S，上標(biāo)分別為1、2、3的態(tài)中，s為1，則

此時

相應(yīng)值分別為1、-1、0。

在x_A態(tài)中，s為0，m_s也為0。所以應(yīng)當(dāng)有

上式中三個x_S稱為兩個全同電子的自旋三重態(tài)，而x_A稱為兩個全同電子的自旋單態(tài)。

這些等式的一個驗(yàn)證如下，令：

就有：

算符s_1只作用在第一個電子的自旋波函數(shù)上，而算符s_2只作用在第二個電子的自旋波函數(shù)上。利用“自旋與角動量”一節(jié)中升降算符的相關(guān)公式，可以求出算符s平方與算符s_z在三個x_S和一個x_A，總共四個態(tài)中的本征值。

因?yàn)?/span>

則得

同理可以驗(yàn)證上述等式中的其余各式。

三個x_S和一個x_A，總共四個等式，是算符s平方與算符s_z的共同本征函數(shù)對算符s_{1z}與算符s_{2z}的共同本征函數(shù)的展開式。根據(jù)此四式可以求得算符s_{1z}與算符s_{2z}的共同本征函數(shù)對算符s平方與算符s_z的共同本征函數(shù)的展開式為：

上式中，前兩式的左邊可以稱為兩個電子的自旋平行態(tài)，后兩式的左邊可以稱為兩個電子的自旋反平行態(tài)。應(yīng)注意將自旋單態(tài)與自旋反平行態(tài)嚴(yán)格區(qū)分開來。

在算符s_{1z}的本征態(tài)中，測量s_{1z}有確定值，但是測量s_{1x}與s_{1y}都沒有確定值。為了形象地表示這種性質(zhì)，可以用一個沿圓錐面旋轉(zhuǎn)的矢量表示s_{1z}與s_{2z}，圓錐面的對稱軸為z軸，這個矢量在z軸上的投影為確定值，而在x、y軸上的投影值不確定。

自旋的直乘積表象

矩陣的直乘積

定義為矩陣A的各矩陣元都乘以矩陣B。矩陣的直乘積不可交換。

這里“矩陣的直積”的概念可以簡單的理解為，直積符號前面的矩陣是分塊矩陣，然后把后面的矩陣按位置填進(jìn)去。

關(guān)于

的直乘積表象中，三個x_S和一個x_A的矩陣表示為

因?yàn)?/span>

于是在直乘積表象中，算符s平方與算符s_z的矩陣表示為

得到

容易驗(yàn)證，三個x_S和一個x_A是s平方與s_z的共同本征函數(shù)。

通過矩陣的直乘積表示，把兩個自旋空間的運(yùn)算統(tǒng)一在一起，這是采用直乘積表示的優(yōu)點(diǎn)。

兩個電子在對撞中自旋波函數(shù)的變化

設(shè)兩個電子在對撞中的哈密頓算符與自旋無關(guān)，其質(zhì)心為坐標(biāo)系原點(diǎn)，即在質(zhì)心坐標(biāo)系中討論兩個電子的對撞，兩個電子在對撞前后都可視為自由粒子。

如果認(rèn)為自由粒子的波包為無限大，則全同性原理始終起作用，這時兩個電子的自旋波函數(shù)便只能處在自旋三重態(tài)或自旋單態(tài)。

當(dāng)討論兩個電子的彈性散射時，通常都是在認(rèn)為全同性原理始終起作用的基礎(chǔ)上進(jìn)行討論的。

事實(shí)上，兩個自由電子的波包應(yīng)為有限大，當(dāng)兩個電子的波包無重疊時，全同性原理應(yīng)該不起作用，這時兩個電子都應(yīng)具有單獨(dú)的自旋波函數(shù)，和單獨(dú)的位置波函數(shù)。

在碰撞前，當(dāng)兩個波包無重疊時，設(shè)第一個電子的自旋波函數(shù)為u_1，第二個電子的自旋波函數(shù)為u_2，如果自旋取向未被控制，則u_1與u_2的自旋取向都是任意的。

在碰撞過程中，兩個波包存在重疊，出現(xiàn)在坐標(biāo)系原點(diǎn)的鄰域內(nèi)，則兩個電子的自旋波函數(shù)應(yīng)為x_S或x_A。

在碰撞后，當(dāng)兩個波包過渡到無重疊狀態(tài)時，全同性原理應(yīng)失去作用。這時，將兩個電子重新編號，設(shè)第一個電子的自旋波函數(shù)為v_1，第二個電子的自旋波函數(shù)為v_2，則v_1與v_2的自旋取向應(yīng)與兩個波包分離前的x_S或x_A有關(guān)。

根據(jù)兩個電子自旋組合態(tài)的示意，x_S上標(biāo)1和2，為沿z軸方向的自旋平行態(tài)，上標(biāo)3為xy平面上自旋平行的組合態(tài)。

為了說明x_S上標(biāo)3為xy平面上自旋平行的組合態(tài)，可將z軸旋轉(zhuǎn)至x軸，設(shè)對第一個電子的自旋旋轉(zhuǎn)算符為U_1，對第二個電子的自旋旋轉(zhuǎn)算符為U_2，則

設(shè)有

則可得

由以上兩式可知，新的上標(biāo)3為兩個電子自旋平行的組合態(tài)，而新的x_A為兩個電子自旋反平行的組合態(tài)。

如果兩個電子波包分離前為x_S態(tài)，則波包分離后的v_1態(tài)與v_2態(tài)有可能為自旋平行態(tài)。如果兩個電子波包分離前為x_A態(tài)，則波包分離后的v_1態(tài)與v_2態(tài)有可能為自旋反平行態(tài)。具體v_1與v_2是怎樣的自旋態(tài)尚未確定。

設(shè)兩個電子波包在分離前處于x_A態(tài)，在分離后運(yùn)動到相距很遠(yuǎn)時，才對兩個電子的自旋取向進(jìn)行測量，如果認(rèn)為兩個電子波包在分離后，由于全同性原理失去作用，而使得x_A態(tài)變?yōu)閮蓚€單電子的自旋態(tài)v_1與v_2，則對v_1與v_2的測量應(yīng)彼此無關(guān)。

如果認(rèn)為兩個電子波包在分離后仍能保持為兩個自旋糾纏在一起的x_A態(tài)，則對兩個電子自旋取向的測量便應(yīng)彼此有關(guān)。當(dāng)測到一個電子為某個自旋取向時，與此同時應(yīng)立刻測到另一個電子的自旋取相反的方向，這種現(xiàn)象被稱為超距關(guān)聯(lián)。

任何物質(zhì)由一個有能部分與一個無能部分構(gòu)成，物質(zhì)中任何有能部分都有其對應(yīng)的無能部分，有能部分與其對應(yīng)的無能部分是一個不可分離的整體。

物質(zhì)中有能部分的特點(diǎn)是，攜帶能量，可以屏蔽，具有慣性，最大運(yùn)動速度為光速c，既可作為有時間通信的信息載體，也可作為傳遞直接作用的媒體。

物質(zhì)中無能部分的特點(diǎn)是，不攜帶能量，不可屏蔽，沒有慣性，物質(zhì)的無能部分只能跟隨對應(yīng)的有能部分做同步運(yùn)動和變化。

通常物質(zhì)的有能部分占據(jù)的空間范圍較小，對應(yīng)的無能部分占據(jù)的空間范圍可視為無限大。

一部分物質(zhì)的有能部分通過其自身對應(yīng)的無能部分對另一部分物質(zhì)有能部分的作用為超距作用，超距關(guān)聯(lián)以物質(zhì)的無能部分作為媒介，不存在與任何媒介都無關(guān)的超距關(guān)聯(lián)現(xiàn)象。

非相對論的量子力學(xué)更新完畢，至此一共講了薛定諤方程、力學(xué)量算符、表象變換、自旋、全同粒子，一共有五部分內(nèi)容。其他更多的內(nèi)容，如果我學(xué)到了，隨緣再寫。

相對論的量子力學(xué)更加困難，一節(jié)往往相當(dāng)于前文半章的內(nèi)容，總共加起來得有前面的三四章。這部分也是隨緣更新，完全不定期，也可能最終會斷掉。相對論波動方程的開頭會從自旋矩陣的代數(shù)引出，逐漸表明，非相對論情形的自旋性質(zhì)，實(shí)際是相對論性質(zhì)在低速情況的某種體現(xiàn)。